Was ist das Distributivgesetz in der Algebra?

Das Distributivgesetz besagt, dass für alle reellen Zahlen a, b und c der Ausdruck a(b + c) gleich ab + ac ist. Es wird verwendet, um einen einzelnen Term mit zwei oder mehr Termen innerhalb einer Klammer zu multiplizieren.

Wie verwendet man das Distributivgesetz, um einen Ausdruck zu faktorisieren?

Um einen Ausdruck mit dem Distributivgesetz zu faktorisieren (auszuklammern), suchen Sie den größten gemeinsamen Teiler (a), der allen Termen gemeinsam ist. Sie ziehen diesen Faktor dann heraus und schreiben den Ausdruck ab + ac in der Form a(b + c) um.

Distributivgesetz: Algebraische Ausdrücke ausmultiplizieren und faktorisieren

Das Distributivgesetz zum Ausmultiplizieren algebraischer Ausdrücke verwenden

Für die reellen Zahlen $a$, $b$ und $c$ ist das Distributivgesetz (Verteilungsgesetz) gegeben durch:

a(b + c) = ab + ac

Werten wir den numerischen Ausdruck $2(3+4)$ auf zwei verschiedene Arten aus.

Methode 1: Klammern zuerst berechnen (Rechenreihenfolge)

Berechnen Sie zuerst den Inhalt der Klammern:

$$2(3+4) = 2(7) = 14$$

Methode 2: Verwendung des Distributivgesetzes

Verteilen Sie die Multiplikation über die Addition (Ausmultiplizieren):

$$2(3+4) = (2)(3) + (2)(4) = 6 + 8 = 14$$

Beide Methoden liefern das gleiche Ergebnis. Wenn jedoch Variablen im Spiel sind, können Sie das Innere der Klammern nicht einfach berechnen. Das Distributivgesetz wird unerlässlich.

Zum Beispiel:

$$2(x+6) = (2)(x) + (2)(6) = 2x + 12$$

Da $x$ eine Variable ist, können Sie $x+6$ nicht direkt vereinfachen; das Distributivgesetz muss angewendet werden, um den Ausdruck auszumultiplizieren.

Das Distributivgesetz zum Faktorisieren algebraischer Ausdrücke verwenden

Das Distributivgesetz kann auch umgekehrt angewendet werden, um Ausdrücke zu faktorisieren (auszuklammern). Sie suchen nach einem gemeinsamen Faktor in allen Termen und ziehen ihn vor die Klammern.

ab + ac = a(b + c)

Beispiel: Faktorisieren von $3x+6$

Beachten Sie, dass sowohl $3x$ als auch $6$ den gemeinsamen Faktor $3$ haben:

$$3x+6 = 3(x) + 3(2)$$

Die umgekehrte Anwendung des Distributivgesetzes ergibt:

$$3(x+2)$$

Übungsaufgaben

Frage 1: Multiplizieren Sie die folgenden Ausdrücke aus

$2(x+2)$
$3(a+4)$
$4(3+b)$
$5(3+n)$
$2(a+b)$
$2(x+y+4)$
$(7+b)4$

Lösungen für Frage 1 ansehen

Multiplizieren Sie den äußeren Term mit jedem Term innerhalb der Klammern:

$2(x+2) = 2(x) + 2(2) = 2x + 4$
$3(a+4) = 3(a) + 3(4) = 3a + 12$
$4(3+b) = 4(3) + 4(b) = 12 + 4b$
$5(3+n) = 5(3) + 5(n) = 15 + 5n$
$2(a+b) = 2(a) + 2(b) = 2a + 2b$
$2(x+y+4) = 2(x) + 2(y) + 2(4) = 2x + 2y + 8$
$(7+b)4 = 4(7) + 4(b) = 28 + 4b$

Frage 2: Ausmultiplizieren und vereinfachen

$3(x+1)+3$
$5(1+n)+6$
$5(a+2)+2(a+3)$
$2(1+b)+6(b+2)+4$
$2(a+b)+3(a+b)$

Lösungen für Frage 2 ansehen

Zuerst ausmultiplizieren, dann gruppieren und gleichartige Terme zusammenfassen:

$3(x+1)+3 = 3x + 3 + 3 = 3x + 6$
$5(1+n)+6 = 5 + 5n + 6 = 5n + 11$
$5(a+2)+2(a+3) = (5a + 10) + (2a + 6) = 7a + 16$
$2(1+b)+6(b+2)+4 = (2 + 2b) + (6b + 12) + 4 = 8b + 18$
$2(a+b)+3(a+b) = 2a + 2b + 3a + 3b = 5a + 5b$ (Hinweis: Sie könnten $(a+b)$ auch als eine einzige Einheit betrachten: $2(a+b) + 3(a+b) = 5(a+b) = 5a + 5b$)

Frage 3: Faktorisieren Sie die folgenden Ausdrücke

$2x+4$
$3x+3$
$4a+12$
$21+7b$
$15+5x$
$\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2}$

Lösungen für Frage 3 ansehen

Bestimmen Sie den größten gemeinsamen Teiler in jedem Term und ziehen Sie ihn dann vor die Klammern:

$2x+4 = 2(x) + 2(2) = 2(x + 2)$
$3x+3 = 3(x) + 3(1) = 3(x + 1)$
$4a+12 = 4(a) + 4(3) = 4(a + 3)$
$21+7b = 7(3) + 7(b) = 7(3 + b)$
$15+5x = 5(3) + 5(x) = 5(3 + x)$
$\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}(x) + \dfrac{1}{2}(1) = \dfrac{1}{2}(x + 1)$

Distributivgesetz: Algebraische Ausdrücke ausmultiplizieren und faktorisieren - Klasse 6