Gleichungen mit einer Variablen - Klasse 6

Eine Gleichung ist in der Mathematik eine Aussage, dass zwei mathematische Ausdrücke gleich sind. Daher muss eine Gleichung ein Gleichheitszeichen (=) enthalten.

Aus der gegebenen Liste enthalten nur die folgenden ein Gleichheitszeichen und sind somit Gleichungen:

• b) \(x + 2 = 4\)
• c) \(8 = x\)
• e) \(\dfrac{x - 8}{3} = 9\)

Die anderen (a, d, f) sind lediglich mathematische Terme (Ausdrücke).

Der Definition nach muss eine Gleichung ein Gleichheitszeichen haben. Die folgenden Ausdrücke sind keine Gleichungen (es sind Terme):

• a) \(3x - 9\)
• d) \(8 \times x\)

Hinweis: Option c (\(12 - 7 = 5\)) ist eine numerische Gleichung, und die Optionen b und e sind algebraische Gleichungen.

Wir überprüfen die Werte für \(x\), indem wir sie in die Gleichung \(\;2x - 4 = 4\; \) einsetzen und beide Seiten vergleichen.

• Überprüfung von \(x = 0\):
  Linke Seite: \(2(0) - 4 = -4\)
  Rechte Seite: \(4\)
  \(-4 \neq 4\) → Keine Lösung.
• Überprüfung von \(x = 4\):
  Linke Seite: \(2(4) - 4 = 8 - 4 = 4\)
  Rechte Seite: \(4\)
  \(4 = 4\) → \(x = 4\) ist die korrekte Lösung.

Überprüfen Sie, welche Werte \(\dfrac{x}{3} - 1 = 2\) erfüllen:

• a) \(x = -3\): Linke Seite = \(\dfrac{-3}{3} - 1 = -1 - 1 = -2\). Rechte Seite = \(2\). Keine Lösung.
• b) \(x = 6\): Linke Seite = \(\dfrac{6}{3} - 1 = 2 - 1 = 1\). Rechte Seite = \(2\). Keine Lösung.
• c) \(x = -9\): Linke Seite = \(\dfrac{-9}{3} - 1 = -3 - 1 = -4\). Rechte Seite = \(2\). Keine Lösung.
• d) \(x = 9\): Linke Seite = \(\dfrac{9}{3} - 1 = 3 - 1 = 2\). Rechte Seite = \(2\). Dies ist die Lösung.

Um eine Gleichung zu lösen, isolieren wir \(x\), indem wir die Umkehroperation auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens anwenden:

1. \(x - 6 = 12\)
   Addieren Sie 6 auf beiden Seiten: \(x = 12 + 6 \Rightarrow \mathbf{x = 18}\)
2. \(3 = x + 3\)
   Subtrahieren Sie 3 auf beiden Seiten: \(3 - 3 = x \Rightarrow \mathbf{x = 0}\)
3. \(2 + x = 8\)
   Subtrahieren Sie 2 auf beiden Seiten: \(x = 8 - 2 \Rightarrow \mathbf{x = 6}\)
4. \(2x = 16\)
   Dividieren Sie beide Seiten durch 2: \(x = \dfrac{16}{2} \Rightarrow \mathbf{x = 8}\)
5. \(\dfrac{x}{3} = 5\)
   Multiplizieren Sie beide Seiten mit 3: \(x = 5 \times 3 \Rightarrow \mathbf{x = 15}\)

Wir lösen beide Gleichungen in jedem Paar und vergleichen ihre Lösungen:

1. \(x = 2\) und \(2x = 4\) (was sich zu \(x=2\) vereinfachen lässt)
   Gleiche Lösungen.
2. \(x + 3 = 6 \Rightarrow x = 3\)
   \(x + 4 = 8 \Rightarrow x = 4\)
   Unterschiedliche Lösungen.
3. \(\dfrac{x}{2} = 2 \Rightarrow x = 4\)
   \(x = -4\)
   Unterschiedliche Lösungen.
4. \(3x = 9 \Rightarrow x = 3\)
   \(x + 1 = 4 \Rightarrow x = 3\)
   Gleiche Lösungen.

Die Paare (a) und (d) haben die gleichen Lösungen.

Stellen Sie die Gleichung auf: \(2x + 6 = 12\)

Subtrahieren Sie 6 auf beiden Seiten: \(2x = 6\)

Dividieren Sie durch 2: \(\mathbf{x = 3}\)

Probe: \(2(3) + 6 = 6 + 6 = 12\) ✔

Stellen Sie die Gleichung auf: \(4x + 6 = 2 + 12\)

Vereinfachen Sie die rechte Seite: \(4x + 6 = 14\)

Subtrahieren Sie 6 auf beiden Seiten: \(4x = 8\)

Dividieren Sie durch 4: \(\mathbf{x = 2}\)

Probe: \(4(2) + 6 = 8 + 6 = 14\) und \(2 + 12 = 14\) ✔

Übersetzen Sie "Summe" in Addition: \(d + 23 = 56\)

Subtrahieren Sie 23 auf beiden Seiten: \(d = 56 - 23\)

\(\mathbf{d = 33}\)

Übersetzen Sie "subtrahiert von" sorgfältig (die 7 kommt nach dem x): \(x - 7 = 41\)

Addieren Sie 7 auf beiden Seiten: \(x = 41 + 7\)

\(\mathbf{x = 48}\)

Übersetzen Sie "Produkt" in Multiplikation: \(6y = 36\)

Dividieren Sie beide Seiten durch 6: \(y = \dfrac{36}{6}\)

\(\mathbf{y = 6}\)

In eine Gleichung übersetzen: \(\dfrac{b}{5} = 4\)

Multiplizieren Sie beide Seiten mit 5: \(b = 4 \times 5\)

\(\mathbf{b = 20}\)

Stellen Sie die Gleichung auf, die ihre Gesamtzahl an Karten darstellt: \(x + 23 = 121\)

Subtrahieren Sie 23 auf beiden Seiten: \(x = 121 - 23\)

\(\mathbf{x = 98}\) (Jacky hat 98 Karten)

Sei \(c\) Tobys Beitrag. Stellen Sie die Gleichung auf: \(34 + 45 + c = 123\)

Vereinfachen Sie die Konstanten auf der linken Seite: \(79 + c = 123\)

Subtrahieren Sie 79 auf beiden Seiten: \(c = 123 - 79\)

\(\mathbf{c = 44}\) (Toby hat 44 $ beigetragen)