Faktoren und Vielfache von ganzen Zahlen finden - Klasse 6

Faktoren (Teiler)

Division und Multiplikation sind verwandte Operationen.

• Die Division \(6 \div 3 = 2\) (mit Rest gleich 0) kann als Multiplikation geschrieben werden: \(6 = 2 \times 3\)
• Die Division \(15 \div 3 = 5\) (mit Rest gleich 0) kann als Multiplikation geschrieben werden: \(15 = 5 \times 3\)
• Die Multiplikation \(10 = 2 \times 5\) kann als Division geschrieben werden: \(10 \div 5 = 2\) (mit Rest gleich 0)
• Die Multiplikation \(18 = 6 \times 3\) kann als Division geschrieben werden: \(18 \div 3 = 6\) (mit Rest gleich 0)

Beispiele

• 1) \(6 = 1 \times 6\) ; \(6 = 2 \times 3\). 1, 2, 3 und 6 nennt man Faktoren von 6.
• 2) \(12 = 12 \times 1 = 3 \times 4 = 6 \times 2\). 1, 2, 3, 4, 6 und 12 nennt man Faktoren von 12.
• 3) \(20 = 1 \times 20 = 2 \times 10 = 2 \times 2 \times 5 = 4 \times 5\). 1, 2, 3, 4, 5, 10 und 20 nennt man Faktoren von 20.

Beispiel: Finden Sie alle Faktoren von 30

Teilen Sie 30 durch alle Zahlen beginnend bei 1 und wählen Sie die Divisionen, die einen Rest von 0 ergeben, dann schreiben Sie die Faktoren auf.

• \(30 \div 1 = 30\) Rest 0 oder \(30 = 30 \times 1\). Daher sind 1 und 30 Faktoren.
• \(30 \div 2 = 15\) Rest 0 oder \(30 = 15 \times 2\). Daher sind sowohl 2 als auch 15 Faktoren.
• \(30 \div 3 = 10\) Rest 0 oder \(30 = 10 \times 3\). Daher sind sowohl 3 als auch 10 Faktoren.
• \(30 \div 4 = 7\) Rest 2. 4 ist kein Faktor.
• \(30 \div 5 = 6\) Rest 0 oder \(30 = 6 \times 5\). Daher sind sowohl 5 als auch 6 Faktoren.

Wir hören hier auf, weil alle Faktoren größer als 5 bereits gefunden wurden. Die Faktoren von 30 sind: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

Vielfache

Nehmen Sie eine ganze Zahl und multiplizieren Sie sie mit 1, 2, 3, 4, ..., um die Vielfachen wie folgt zu erhalten:

• \(5 \times 1 = 5\)
• \(5 \times 2 = 10\)
• \(5 \times 3 = 15\)
• \(5 \times 4 = 20\)

Die Ergebnisse der Multiplikation von 5 mit 1, 2, 3, 4, ..., also 5, 10, 15, 20, ... werden als die Vielfachen von 5 bezeichnet.

Beantworten Sie die folgenden Fragen

1. Welche der folgenden Aussagen ist WAHR und welche ist FALSCH? Begründen Sie Ihre Antwort.
   1. Die Division von 4 durch 2 ist gleich 2 mit einem Rest ungleich null.
   2. 3 ist ein Faktor von 9.
   3. 5 und 3 sind Faktoren von 15.
   4. 3 ist ein Faktor von 7.
   5. Die Division von 10 durch 10 ergibt einen Rest von 0.
   6. 16 ist ein Faktor von 16.
   7. 1 ist ein Faktor aller ganzen Zahlen.
   8. Jede ganze Zahl größer als 1 hat mindestens zwei Faktoren.
2. Finden Sie alle Faktoren für die unten stehenden ganzen Zahlen.
   1. 2
   2. 6
   3. 10
   4. 24
3. Welche der folgenden Zahlen ist ein Faktor von 120?
   1. 2
   2. 5
   3. 10
   4. 11
   5. 20
   6. 30
   7. 50
4. Finden und ordnen Sie alle Faktoren von 12 und alle Faktoren von 24 vom kleinsten zum größten. Finden Sie alle Faktoren, die 12 und 24 gemeinsam haben (die gleichen sind).
5. Finden Sie die ersten 5 Vielfachen jeder der unten stehenden Zahlen.
   1. 2
   2. 11
   3. 25
6. Finden Sie die ersten 5 Vielfachen von 6 und 8. Finden Sie ein Vielfaches, das sowohl 6 als auch 8 gemeinsam haben.

Lösungen zu den obigen Aufgaben

1. Wahre oder falsche Aussagen

   1. FALSCH: \(4 \div 2 = 2\) mit Rest 0.
   2. WAHR: \(9 = 3 \times 3\).
   3. WAHR: \(15 = 5 \times 3\).
   4. FALSCH: Es gibt keine ganze Zahl \(N\), für die gilt: \(7 = 3 \times N\).
   5. WAHR: \(10 \div 10 = 1\) mit Rest gleich 0.
   6. WAHR: \(16 = 16 \times 1\).
   7. WAHR: \(N = N \times 1\).
   8. WAHR: \(N = N \times 1\), was bedeutet, dass sie mindestens zwei Faktoren hat: 1 und \(N\) (sich selbst).

2. Alle Faktoren finden

   1. Faktoren von 2:

      \(2 \div 1 = 2\) mit Rest 0, oder \(2 = 2 \times 1\). Daher sind die Faktoren von 2 1 und 2.

   2. Faktoren von 6:

      \(6 \div 1 = 6\) mit Rest 0, oder \(6 = 6 \times 1\). Zwei Faktoren: 1 und 6.

      \(6 \div 2 = 3\) mit Rest 0, oder \(6 = 3 \times 2\). Zwei Faktoren: 2 und 3.

      Alle Faktoren größer als 2 wurden bereits gefunden. Wir beenden den Divisionsprozess und schreiben die Liste der Faktoren von 6: 1, 2, 3 und 6.

   3. Faktoren von 10:

      \(10 \div 1 = 10\) mit Rest 0, oder \(10 = 10 \times 1\). Zwei Faktoren: 1 und 10.

      \(10 \div 2 = 5\) mit Rest 0, oder \(10 = 5 \times 2\). Zwei Faktoren: 2 und 5.

      \(10 \div 3 = 3\) mit Rest 1; 3 ist kein Faktor von 10.

      \(10 \div 4 = 2\) mit Rest 2; 4 ist kein Faktor von 10.

      Alle Faktoren größer als 4 wurden bereits gefunden. Wir beenden den Divisionsprozess und schreiben die Liste der Faktoren von 10: 1, 2, 5 und 10.

   4. Faktoren von 24:

      \(24 \div 1 = 24\) mit Rest 0, oder \(24 = 24 \times 1\). Zwei Faktoren: 1 und 24.

      \(24 \div 2 = 12\) mit Rest 0, oder \(24 = 12 \times 2\). Zwei Faktoren: 2 und 12.

      \(24 \div 3 = 8\) mit Rest 0, oder \(24 = 8 \times 3\). Zwei Faktoren: 3 und 8.

      \(24 \div 4 = 6\) mit Rest 0, oder \(24 = 6 \times 4\). Zwei Faktoren: 4 und 6.

      \(24 \div 5 = 4\) mit Rest 4; keine Faktoren.

      Alle Faktoren größer als 5 wurden bereits gefunden. Wir beenden den Divisionsprozess und schreiben die Liste der Faktoren von 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 und 24.

3. Faktoren von 120

   Wir teilen 120 durch jede der Zahlen in der Liste. Wenn der Rest gleich null ist, ist der Divisor (die Zahl in der Liste) ein Faktor von 120.

   • \(120 \div 2 = 60\) mit Rest 0, 2 ist ein Faktor von 120.
   • \(120 \div 5 = 24\) mit Rest 0, 5 ist ein Faktor von 120.
   • \(120 \div 10 = 12\) mit Rest 0, 10 ist ein Faktor von 120.
   • \(120 \div 11 = 10\) mit Rest 10, 11 ist KEIN Faktor von 120.
   • \(120 \div 20 = 6\) mit Rest 0, 20 ist ein Faktor von 120.
   • \(120 \div 30 = 4\) mit Rest 0, 30 ist ein Faktor von 120.
   • \(120 \div 50 = 2\) mit Rest 20, 50 ist KEIN Faktor von 120.

   In der gegebenen Liste sind alle Zahlen Faktoren von 120, außer 11 und 50.

4. Faktoren von 12 und 24

   Wir finden zuerst alle Faktoren von 12:

   • \(12 \div 1 = 12\) mit Rest 0, 1 und 12 sind Faktoren von 12.
   • \(12 \div 2 = 6\) mit Rest 0, 2 und 6 sind Faktoren von 12.
   • \(12 \div 3 = 4\) mit Rest 0, 3 und 4 sind Faktoren von 12.

   Alle Faktoren größer als 3 wurden bereits gefunden. Wir beenden den Divisionsprozess und schreiben die Liste der Faktoren von 12: 1, 2, 3, 4, 6 und 12.

   Die Faktoren von 24 wurden in der Lösung zu Aufgabe 2) Teil d) gefunden und lauten: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 und 24.

   Gemeinsame Faktoren von 12 und 24 sind: 1, 2, 3, 4, 6 und 12.

5. Ersten 5 Vielfachen

   Die ersten 5 Vielfachen einer Zahl erhält man, indem man diese Zahl mit 1, 2, 3, 4 und 5 multipliziert.

   1. Vielfache von 2:

      \(2 \times 1 = 2\) ; \(2 \times 2 = 4\) ; \(2 \times 3 = 6\) ; \(2 \times 4 = 8\) ; \(2 \times 5 = 10\)

   2. Vielfache von 11:

      \(11 \times 1 = 11\) ; \(11 \times 2 = 22\) ; \(11 \times 3 = 33\) ; \(11 \times 4 = 44\) ; \(11 \times 5 = 55\)

   3. Vielfache von 25:

      \(25 \times 1 = 25\) ; \(25 \times 2 = 50\) ; \(25 \times 3 = 75\) ; \(25 \times 4 = 100\) ; \(25 \times 5 = 125\)

6. Vielfache von 6 und 8

   Die ersten 5 Vielfachen von 6 und 8 erhält man durch Multiplikation von 6 und 8 mit 1, 2, 3, 4 und 5.

   1. Die ersten 5 Vielfachen von 6 sind:

      \(6 \times 1 = 6\) ; \(6 \times 2 = 12\) ; \(6 \times 3 = 18\) ; \(6 \times 4 = 24\) ; \(6 \times 5 = 30\)

   2. Die ersten 5 Vielfachen von 8 sind:

      \(8 \times 1 = 8\) ; \(8 \times 2 = 16\) ; \(8 \times 3 = 24\) ; \(8 \times 4 = 32\) ; \(8 \times 5 = 40\)

   24 ist ein gemeinsames Vielfaches von 6 und 8.

Referenzen und Links

• Mathematik Mittelstufe (Klasse 6, 7, 8, 9) - Kostenlose Fragen und Aufgaben mit Antworten
• Mathematik Oberstufe (Klasse 10, 11 und 12) - Kostenlose Fragen und Aufgaben mit Antworten
• Mathematik Grundschule (Klasse 4 und 5) mit kostenlosen Fragen und Aufgaben mit Antworten