Brüche und gemischte Zahlen: Aufgaben und Schritt-für-Schritt-Lösungen - Klasse 6

Das große Quadrat besteht aus 16 gleichen kleinen Quadraten.

Rot: Es gibt 4 rote Quadrate. Der Bruch lautet: $$\dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4}$$

Blau: Es gibt 1 blaues Quadrat. Der Bruch lautet: $$\dfrac{1}{16}$$

Orange: Ein halbes Quadrat ist orange. Der Bruch lautet: $$\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{32}$$

Grün: Es gibt eineinhalb grüne Quadrate. Der Bruch lautet: $$\dfrac{1}{16} + \left(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{16}\right) = \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{32} = \dfrac{2}{32} + \dfrac{1}{32} = \dfrac{3}{32}$$

Schwarz: Es gibt 3 schwarze Quadrate. Der Bruch lautet: $$\dfrac{3}{16}$$

Gelb: Es gibt 3 gelbe Quadrate. Der Bruch lautet: $$\dfrac{3}{16}$$

Richtige Antwort: D

Es sind zwei ganze Elemente und \(\dfrac{3}{4}\) eines Elements schraffiert.

Daher ist der schraffierte Teil: $$2 + \dfrac{3}{4} = 2 \dfrac{3}{4}$$

Richtige Antwort: C

Beachten Sie, dass \(1 \dfrac{1}{5}\) größer als 1 und kleiner als 2 ist.

Jeder kleine Abschnitt auf dem Zahlenstrahl entspricht: $$\dfrac{1}{10}$$

Daher repräsentiert Punkt R: $$1 + \dfrac{2}{10} = 1 \dfrac{2}{10}$$

Den Bruch vereinfachen (kürzen): $$1 \dfrac{2}{10} = 1 \dfrac{1}{5}$$

Daher stellt Punkt R \(1 \dfrac{1}{5}\) dar.

Richtige Antwort: B

Um die gemischten Zahlen zu addieren, fassen Sie die ganzen Zahlen und die Bruchteile getrennt zusammen:

$$3 \dfrac{1}{2} + 5 \dfrac{1}{2} = (3 + 5) + \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\right)$$

$$= 8 + \dfrac{2}{2} = 8 + 1 = 9$$

Richtige Antwort: C

Um Brüche zu addieren, bringen Sie diese zuerst auf einen gemeinsamen Nenner:

$$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{14} = \dfrac{7}{14} + \dfrac{1}{14}$$

Addieren Sie nun die Zähler:

$$\dfrac{7}{14} + \dfrac{1}{14} = \dfrac{8}{14}$$

Vereinfachen (Kürzen) Sie abschließend den Bruch, indem Sie Zähler und Nenner durch 2 teilen:

$$\dfrac{8}{14} = \dfrac{4}{7}$$

Richtige Antwort: A

Um Brüche zu subtrahieren, bringen Sie diese zuerst auf einen gemeinsamen Nenner:

$$\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{4}{12} - \dfrac{1}{12}$$

Subtrahieren Sie nun die Zähler:

$$\dfrac{4}{12} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{3}{12}$$

Vereinfachen (Kürzen) Sie abschließend den Bruch, indem Sie Zähler und Nenner durch 3 teilen:

$$\dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$$

Richtige Antwort: B

Ein Halb wird geschrieben als: $$\dfrac{1}{2}$$

Zwei Viertel werden geschrieben als: $$\dfrac{2}{4}$$

Teilen Sie Zähler und Nenner, um den Bruch zu kürzen: $$\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$$

Daher ist ein Halb das Gleiche wie zwei Viertel.

Richtige Antwort: B

$$\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$$ (nach dem Teilen von Zähler und Nenner durch 2)

$$\dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{6}$$ (nach dem Multiplizieren von Zähler und Nenner mit 2)

$$\dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{15}$$ (nach dem Multiplizieren von Zähler und Nenner mit 3)

\(\dfrac{2}{3}\) und \(\dfrac{8}{9}\) lassen sich jedoch nicht ineinander umwandeln. Sie sind nicht äquivalent.

Richtige Antwort: D

Um die gemischten Zahlen zu addieren, fassen Sie die ganzen Zahlen zusammen und addieren Sie dann die Bruchteile:

$$5 \dfrac{2}{3} + 5 \dfrac{1}{2} = (5 + 5) + \left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2}\right)$$

Finden Sie einen gemeinsamen Nenner für die Brüche:

$$\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{6} + \dfrac{3}{6} = \dfrac{7}{6}$$

Nun setzen wir dies wieder ein:

$$10 + \dfrac{7}{6} = 10 + \left(\dfrac{6}{6} + \dfrac{1}{6}\right) = 10 + 1 + \dfrac{1}{6} = 11 \dfrac{1}{6}$$

Richtige Antwort: C

Es ist einfacher, Brüche zu vergleichen, wenn sie denselben Nenner haben. Wir wählen 18 als gemeinsamen Nenner und schreiben jeden Bruch um:

$$\dfrac{8}{9} = \dfrac{16}{18}, \quad \dfrac{17}{18} = \dfrac{17}{18}, \quad \dfrac{2}{3} = \dfrac{12}{18}, \quad \dfrac{7}{6} = \dfrac{21}{18}$$

Ordnen Sie nun die Zähler vom Kleinsten zum Größten:

$$\dfrac{12}{18} \lt \dfrac{16}{18} \lt \dfrac{17}{18} \lt \dfrac{21}{18}$$

Daher lautet die richtige ursprüngliche Reihenfolge: $$\dfrac{2}{3}, \quad \dfrac{8}{9}, \quad \dfrac{17}{18}, \quad \dfrac{7}{6}$$

Richtige Antwort: B

Um die Brüche zu vergleichen, bringen wir sie auf den gemeinsamen Nenner 110. Wir schauen dann, welcher Wert am nächsten an \(\dfrac{110}{110} = 1\) liegt.

$$\dfrac{10}{11} = \dfrac{100}{110}, \quad \dfrac{11}{10} = \dfrac{121}{110}, \quad \dfrac{9}{11} = \dfrac{90}{110}, \quad -\dfrac{9}{10} = -\dfrac{99}{110}$$

Da sie nun denselben Nenner haben, suchen wir nach dem Zähler, der am nächsten an 110 liegt:

• \(100\) ist 10 von 110 entfernt.
• \(121\) ist 11 von 110 entfernt.
• \(90\) ist 20 von 110 entfernt.
• \(-99\) liegt weit unter 110.

Der Bruch mit dem Zähler am nächsten an 110 ist: $$\dfrac{10}{11}$$

Richtige Antwort: A

Um Brüche zu dividieren, multiplizieren Sie den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten:

$$\dfrac{5}{2} \div \dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{2} \times \dfrac{5}{2}$$

Multiplizieren Sie nun die Zähler und die Nenner:

$$\dfrac{5}{2} \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{25}{4}$$

Wandeln Sie den unechten Bruch in eine gemischte Zahl um:

$$\dfrac{25}{4} = \dfrac{24}{4} + \dfrac{1}{4} = 6 \dfrac{1}{4}$$

Richtige Antwort: D

Um eine ganze Zahl durch einen Bruch zu dividieren, multiplizieren Sie die ganze Zahl mit dem Kehrwert des Bruchs:

$$5 \div \dfrac{1}{5} = 5 \times \dfrac{5}{1}$$

Führen Sie nun die Multiplikation aus:

$$5 \times \dfrac{5}{1} = \dfrac{25}{1} = 25$$

Richtige Antwort: B

Um Brüche zu multiplizieren, multiplizieren Sie die Zähler miteinander und die Nenner miteinander:

$$\dfrac{2}{5} \times \dfrac{7}{8} = \dfrac{2 \times 7}{5 \times 8}$$

Vereinfachen (Kürzen) Sie vor der Multiplikation, wo dies möglich ist (teilen Sie 2 und 8 durch 2):

$$\dfrac{1 \times 7}{5 \times 4} = \dfrac{7}{20}$$

Richtige Antwort: C

Um eine gemischte Zahl in einen unechten Bruch umzuwandeln, multiplizieren Sie die ganze Zahl mit dem Nenner und addieren Sie dann den Zähler:

$$7 \dfrac{7}{8} = \dfrac{7 \times 8}{8} + \dfrac{7}{8}$$

$$= \dfrac{56}{8} + \dfrac{7}{8} = \dfrac{56 + 7}{8} = \dfrac{63}{8}$$

Richtige Antwort: D

Um einen unechten Bruch in eine gemischte Zahl umzuwandeln, dividieren Sie den Zähler durch den Nenner:

$$\dfrac{31}{8} = \dfrac{24 + 7}{8} = \dfrac{24}{8} + \dfrac{7}{8}$$

$$\dfrac{24}{8} = 3, \quad \text{also erhalten wir: } 3 \dfrac{7}{8}$$

Richtige Antwort: A

Um eine ganze Zahl mit einem Bruch zu multiplizieren, schreiben Sie zuerst die ganze Zahl als Bruch mit dem Nenner 1:

$$3 \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{1} \times \dfrac{1}{4}$$

Multiplizieren Sie die Zähler und Nenner:

$$\dfrac{3 \times 1}{1 \times 4} = \dfrac{3}{4}$$

Richtige Antwort: B

Wandeln Sie zuerst die gemischten Zahlen in unechte Brüche um:

$$3 \dfrac{1}{4} = \dfrac{13}{4}, \qquad 5 \dfrac{1}{3} = \dfrac{16}{3}$$

Dividieren Sie nun die Brüche, indem Sie den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten multiplizieren:

$$\dfrac{13}{4} \div \dfrac{16}{3} = \dfrac{13}{4} \times \dfrac{3}{16}$$

Multiplizieren Sie die Zähler und Nenner:

$$\dfrac{13 \times 3}{4 \times 16} = \dfrac{39}{64}$$

Richtige Antwort: D

Wandeln Sie zuerst die gemischten Zahlen in unechte Brüche um:

$$4 \dfrac{2}{7} = \dfrac{30}{7}, \qquad 5 \dfrac{3}{5} = \dfrac{28}{5}$$

Multiplizieren Sie nun die Brüche:

$$\dfrac{30}{7} \times \dfrac{28}{5} = \dfrac{30 \times 28}{7 \times 5}$$

Vereinfachen (Kürzen) Sie vor dem Multiplizieren (teilen Sie 30 und 5 durch 5; teilen Sie 28 und 7 durch 7):

$$\dfrac{6 \times 4}{1 \times 1} = 24$$

Richtige Antwort: A

Wir wollen nach \(F\) in der folgenden Gleichung auflösen: $$F + 2 \dfrac{5}{7} = 4$$

Subtrahieren Sie \(2 \dfrac{5}{7}\) auf beiden Seiten:

$$F = 4 - 2 \dfrac{5}{7}$$

Leihen Sie 1 von der 4 aus, um einen Bruch zu bilden:

$$F = 3 \dfrac{7}{7} - 2 \dfrac{5}{7} = (3 - 2) + \left(\dfrac{7}{7} - \dfrac{5}{7}\right) = 1 \dfrac{2}{7}$$

Richtige Antwort: C

Wir wandeln zuerst die Laufzeiten für jeden Tag in Minuten um:

• Montag: \(\dfrac{3}{4} \times 60 = \dfrac{180}{4} = 45\) Minuten
• Dienstag: \(30\) Minuten
• Mittwoch: Eine halbe Stunde = \(\dfrac{1}{2} \times 60 = 30\) Minuten
• Donnerstag: \(1 \dfrac{1}{4}\) Stunden = \(60 + \left(\dfrac{1}{4} \times 60\right) = 60 + 15 = 75\) Minuten
• Freitag: \(\dfrac{2}{3} \times 60 = 40\) Minuten

Addieren Sie nun die gesamten Minuten:

$$45 + 30 + 30 + 75 + 40 = 220 \text{ Minuten}$$

Wandeln Sie zurück in Stunden und Minuten um (da 180 Minuten = 3 Stunden):

$$220 = 180 + 40 = 3 \text{ Stunden und } 40 \text{ Minuten}$$

Richtige Antwort: D

Wenn wir gemischte Zahlen ordnen, vergleichen wir zuerst die ganzen Zahlen. Die Zahl mit der kleinsten ganzen Zahl ist insgesamt am kleinsten.

• \(3 \dfrac{1}{5}\) hat den ganzzahligen Anteil 3.
• \(3 \dfrac{4}{5}\) hat den ganzzahligen Anteil 3, aber \(\dfrac{4}{5} > \dfrac{1}{5}\).
• \(4 \dfrac{5}{6}\) hat den ganzzahligen Anteil 4.
• \(5 \dfrac{3}{4}\) hat den ganzzahligen Anteil 5.

Somit lautet die korrekte Reihenfolge vom Kleinsten zum Größten: $$3 \dfrac{1}{5}, \quad 3 \dfrac{4}{5}, \quad 4 \dfrac{5}{6}, \quad 5 \dfrac{3}{4}$$

Richtige Antwort: B

Da alle gemischten Zahlen denselben ganzzahligen Anteil (7) haben, müssen wir nur ihre Bruchteile vergleichen. Um den Vergleich zu erleichtern, schreiben wir alle Brüche mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner, also 660.

$$\dfrac{2}{3} = \dfrac{440}{660}, \quad \dfrac{3}{5} = \dfrac{396}{660}, \quad \dfrac{3}{4} = \dfrac{495}{660}, \quad \dfrac{6}{11} = \dfrac{360}{660}$$

Vergleichen Sie nun die Zähler:

• \(\dfrac{360}{660}\) ist der kleinste (von \(7 \dfrac{6}{11}\))
• \(\dfrac{396}{660}\) (von \(7 \dfrac{3}{5}\))
• \(\dfrac{440}{660}\) (von \(7 \dfrac{2}{3}\))
• \(\dfrac{495}{660}\) ist der größte (von \(7 \dfrac{3}{4}\))

Daher lautet die Reihenfolge vom Kleinsten zum Größten: $$7 \dfrac{6}{11}, \quad 7 \dfrac{3}{5}, \quad 7 \dfrac{2}{3}, \quad 7 \dfrac{3}{4}$$

Richtige Antwort: C

Ein Bruch stellt einen Teil eines Ganzen dar. Da 1 Stunde = 60 Minuten, vergleichen wir 50 Minuten mit 60 Minuten:

$$\text{Bruchteil einer Stunde} = \dfrac{50}{60}$$

Kürzen Sie nun den Bruch, indem Sie Zähler und Nenner durch 10 teilen:

$$\dfrac{50}{60} = \dfrac{5}{6}$$

Richtige Antwort: C

Sei die unbekannte Zahl \(n\). Wir können das Problem in eine Gleichung übersetzen:

$$\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{8} \times n$$

Vereinfachen Sie die rechte Seite:

$$\dfrac{1}{3} = \dfrac{n}{8}$$

Lösen Sie nun nach \(n\) auf, indem Sie beide Seiten mit 8 multiplizieren:

$$n = 8 \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{8}{3}$$

Richtige Antwort: A