Fragen und ihre detaillierten Lösungen
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Welcher Bruchteil des großen Quadrats ist rot?
Welcher Bruchteil des großen Quadrats ist blau?
Welcher Bruchteil des großen Quadrats ist orange?
Welcher Bruchteil des großen Quadrats ist grün?
Welcher Bruchteil des großen Quadrats ist schwarz?
Welcher Bruchteil des großen Quadrats ist gelb?
Lösung
Das große Quadrat besteht aus 16 gleichen kleinen Quadraten. Davon sind 4 rot. Daher ist der Bruchteil des großen Quadrats, der rot ist:
\[ \dfrac{4}{16} \]
Den Bruch vereinfachen, indem man Zähler und Nenner durch 4 teilt:
\[ \dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4} \]
Es gibt 1 blaues Quadrat. Der Bruchteil des großen Quadrats, der blau ist, beträgt:
\[ \dfrac{1}{16} \]
Es gibt ein halbes Quadrat, das orange ist. Der Bruchteil des großen Quadrats, der orange ist, beträgt:
\[ \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{32} \]
Es gibt eineinhalb grüne Quadrate. Der Bruchteil des großen Quadrats, der grün ist, beträgt:
\[ \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{32} = \dfrac{2}{32} + \dfrac{1}{32} = \dfrac{3}{32} \]
Es gibt 3 schwarze Quadrate. Der Bruchteil des großen Quadrats, der schwarz ist, beträgt:
\[ \dfrac{3}{16} \]
Es gibt 3 gelbe Quadrate. Der Bruchteil des großen Quadrats, der gelb ist, beträgt:
\[ \dfrac{3}{16} \]
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Welcher Bruchteil ist der schattierte Teil?
Lösung
Es gibt zwei ganze Teile und \(\dfrac{3}{4}\) eines Teils. Daher ist der schattierte Teil:
\[ 2 + \dfrac{3}{4} = 2 \dfrac{3}{4} \]
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Welcher Punkt auf dem Zahlenstrahl stellt 1 1/5 dar?
Lösung
Beachten Sie, dass \(1 \dfrac{1}{5}\) größer als 1 und kleiner als 2 ist. Jede kleine Einteilung auf dem Zahlenstrahl repräsentiert:
\[ \dfrac{1}{10} \]
Daher repräsentiert Punkt R:
\[ 1 + \dfrac{2}{10} = 1 \dfrac{2}{10} \]
Den Bruch vereinfachen:
\[ 1 \dfrac{2}{10} = 1 \dfrac{1}{5} \]
Daher repräsentiert Punkt R \(1 \dfrac{1}{5}\).
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\[ 3 \dfrac{1}{2} + 5 \dfrac{1}{2} = \]Lösung
Um die gemischten Zahlen zu addieren, kombiniert man die ganzen Zahlen und die Bruchteile getrennt:
\[ 3 \dfrac{1}{2} + 5 \dfrac{1}{2} = (3 + 5) + \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\right) \]
\[ = 8 + \dfrac{2}{2} = 8 + 1 = 9 \]
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\[ \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{14} = \]Lösung
Um Brüche zu addieren, schreibt man sie zuerst mit einem gemeinsamen Nenner:
\[ \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{14} = \dfrac{7}{14} + \dfrac{1}{14} \]
Jetzt die Zähler addieren:
\[ \dfrac{7}{14} + \dfrac{1}{14} = \dfrac{8}{14} \]
Schließlich den Bruch vereinfachen, indem man Zähler und Nenner durch 2 teilt:
\[ \dfrac{8}{14} = \dfrac{4}{7} \]
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\[ \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{12} = \]Lösung
Um Brüche zu subtrahieren, schreibt man sie zuerst mit einem gemeinsamen Nenner:
\[ \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{4}{12} - \dfrac{1}{12} \]
Jetzt die Zähler subtrahieren:
\[ \dfrac{4}{12} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{3}{12} \]
Schließlich den Bruch vereinfachen, indem man Zähler und Nenner durch 3 teilt:
\[ \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4} \]
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Ein Halb ist dasselbe wie?- ein Viertel
- zwei Viertel
- drei Viertel
- vier Viertel
Lösung
Ein Halb wird geschrieben als
\[ \dfrac{1}{2} \]
Ein Viertel wird geschrieben als
\[ \dfrac{1}{4} \]
Zwei Viertel werden geschrieben als
\[ \dfrac{2}{4} \]
Zähler und Nenner teilen, um den Bruch zu kürzen
\[ \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \]
Daher ist ein Halb dasselbe wie zwei Viertel.
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Frage: Welche zwei Brüche sind nicht äquivalent?
- \(\dfrac{1}{2}\) und \(\dfrac{2}{4}\)
- \(\dfrac{4}{3}\) und \(\dfrac{8}{6}\)
- \(\dfrac{1}{5}\) und \(\dfrac{3}{15}\)
- \(\dfrac{2}{3}\) und \(\dfrac{8}{9}\)
Lösung
\(\dfrac{2}{4}\) ist äquivalent zu \(\dfrac{1}{2}\), da:
\[ \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \quad \text{(nach Teilen von Zähler und Nenner von \(\dfrac{2}{4}\) durch 2)} \]
\(\dfrac{8}{6}\) ist äquivalent zu \(\dfrac{4}{3}\), da:
\[ \dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{6} \quad \text{(nach Multiplizieren von Zähler und Nenner von \(\dfrac{4}{3}\) mit 2)} \]
\(\dfrac{1}{5}\) ist äquivalent zu \(\dfrac{3}{15}\), da:
\[ \dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{15} \quad \text{(nach Multiplizieren von Zähler und Nenner von \(\dfrac{1}{5}\) mit 3)} \]
Jedoch sind \(\dfrac{2}{3}\) und \(\dfrac{8}{9}\) nicht äquivalent.
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\[ 5 \dfrac{2}{3} + 5 \dfrac{1}{2} = \]Lösung
Um die gemischten Zahlen zu addieren, kombiniert man die ganzen Zahlen und addiert dann die Bruchteile:
\[ 5 \dfrac{2}{3} + 5 \dfrac{1}{2} = (5 + 5) + \left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2}\right) \]
Einen gemeinsamen Nenner für die Brüche finden:
\[ \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{6} + \dfrac{3}{6} = \dfrac{7}{6} \]
Jetzt wieder einsetzen:
\[ 10 + \dfrac{7}{6} = 10 + \left(\dfrac{6}{6} + \dfrac{1}{6}\right) = 10 + 1 + \dfrac{1}{6} = 11 \dfrac{1}{6} \]
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Frage: Ordnen Sie die folgenden Brüche vom kleinsten zum größten: \(\dfrac{8}{9}, \dfrac{17}{18}, \dfrac{2}{3}, \dfrac{7}{6}\).
Lösung
Es ist einfacher, Brüche zu vergleichen, wenn sie denselben Nenner haben. Wir wählen 18 als gemeinsamen Nenner und schreiben jeden Bruch um:
\[ \dfrac{8}{9} = \dfrac{16}{18}, \quad \dfrac{17}{18} = \dfrac{17}{18}, \quad \dfrac{2}{3} = \dfrac{12}{18}, \quad \dfrac{7}{6} = \dfrac{21}{18} \]
Ordnen Sie nun die Brüche vom kleinsten zum größten:
\[ \dfrac{12}{18} \; \lt \; \dfrac{16}{18} \; \lt \; \dfrac{17}{18} \; \lt \; \dfrac{21}{18} \]
Daher ist die richtige Reihenfolge:
\[ \dfrac{2}{3},\; \dfrac{8}{9},\; \dfrac{17}{18},\; \dfrac{7}{6} \]
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Frage: Welcher Bruch liegt am nächsten an 1?
- \(\dfrac{10}{11}\)
- \(\dfrac{11}{10}\)
- \(\dfrac{9}{11}\)
- \(-\dfrac{9}{10}\)
Lösung
Um die Brüche zu vergleichen, schreiben wir sie mit einem gemeinsamen Nenner von 110. Dann sehen wir, welcher am nächsten an \(\dfrac{110}{110} = 1\) liegt.
\[ \dfrac{10}{11} = \dfrac{100}{110}, \quad \dfrac{11}{10} = \dfrac{121}{110}, \quad \dfrac{9}{11} = \dfrac{90}{110}, \quad - \dfrac{9}{10} = - \dfrac{99}{110} \]
Da sie jetzt denselben Nenner haben, suchen wir den Zähler, der am nächsten an 110 liegt:
- \(100\) ist 10 von 110 entfernt.
- \(121\) ist 11 von 110 entfernt.
- \(90\) ist 20 von 110 entfernt.
- \(-99\) ist weit unter 110.
Der Bruch mit dem Zähler, der am nächsten an 110 liegt, ist:
\[ \dfrac{10}{11} \]
Daher liegt der Bruch \(\dfrac{10}{11}\) am nächsten an 1.
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\[ \dfrac{5}{2} \div \dfrac{2}{5} = \]Lösung
Um Brüche zu dividieren, multipliziert man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten:
\[ \dfrac{5}{2} \div \dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{2} \times \dfrac{5}{2} \]
Jetzt die Zähler und Nenner multiplizieren:
\[ \dfrac{5}{2} \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{25}{4} \]
Den unechten Bruch in eine gemischte Zahl umwandeln:
\[ \dfrac{25}{4} = \dfrac{24}{4} + \dfrac{1}{4} = 6 \dfrac{1}{4} \]
Daher ist \(\dfrac{5}{2} \div \dfrac{2}{5} = \; 6 \dfrac{1}{4}\).
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\[ 5 \div \dfrac{1}{5} = \]Lösung
Um eine ganze Zahl durch einen Bruch zu dividieren, multipliziert man die ganze Zahl mit dem Kehrwert des Bruchs:
\[ 5 \div \dfrac{1}{5} = 5 \times \dfrac{5}{1} \]
Jetzt die Multiplikation durchführen:
\[ 5 \times \dfrac{5}{1} = \dfrac{25}{1} = 25 \]
Daher ist \(5 \div \dfrac{1}{5} = \; 25\).
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\[ \dfrac{2}{5} \times \dfrac{7}{8} = \]Lösung
Um Brüche zu multiplizieren, multipliziert man die Zähler miteinander und die Nenner miteinander:
\[ \dfrac{2}{5} \times \dfrac{7}{8} = \dfrac{2 \times 7}{5 \times 8} \]
Vor dem Multiplizieren, wo möglich, kürzen:
\[ \dfrac{2 \times 7}{5 \times 8} = \dfrac{1 \times 7}{5 \times 4} = \dfrac{7}{20} \]
Daher ist \(\dfrac{2}{5} \times \dfrac{7}{8} = \dfrac{7}{20}\).
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Schreiben Sie die gemischte Zahl \( 7 \dfrac{7}{8} \) als unechten Bruch.
Lösung
Um eine gemischte Zahl in einen unechten Bruch umzuwandeln, multipliziert man die ganze Zahl mit dem Nenner und addiert dann den Zähler:
\[ 7 \dfrac{7}{8} = \dfrac{7 \times 8}{8} + \dfrac{7}{8} \]
\[ = \dfrac{56}{8} + \dfrac{7}{8} = \dfrac{56 + 7}{8} = \dfrac{63}{8} \]
Daher ist die gemischte Zahl \(7 \dfrac{7}{8}\) als unechter Bruch geschrieben \(\dfrac{63}{8}\).
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Frage: Schreiben Sie den Bruch \(\dfrac{31}{8}\) als gemischte Zahl.
Lösung
Um einen unechten Bruch in eine gemischte Zahl umzuwandeln, dividiert man den Zähler durch den Nenner:
\[ \dfrac{31}{8} = \dfrac{24 + 7}{8} = \dfrac{24}{8} + \dfrac{7}{8} \]
\[ \dfrac{24}{8} = 3, \quad \text{also erhalten wir: } 3 \dfrac{7}{8} \]
Daher ist der Bruch \(\dfrac{31}{8}\) als gemischte Zahl geschrieben \(3 \dfrac{7}{8}\).
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\[ 3 \times \dfrac{1}{4} = \]Lösung
Um eine ganze Zahl mit einem Bruch zu multiplizieren, schreibt man die ganze Zahl zuerst als Bruch mit Nenner 1:
\[ 3 \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{1} \times \dfrac{1}{4} \]
Zähler und Nenner multiplizieren:
\[ \dfrac{3 \times 1}{1 \times 4} = \dfrac{3}{4} \]
Daher ist \(3 \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\).
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\[ 3 \dfrac{1}{4} \div 5 \dfrac{1}{3} = \]Lösung
Zuerst die gemischten Zahlen in unechte Brüche umwandeln:
\[ 3 \dfrac{1}{4} = \dfrac{13}{4}, \qquad 5 \dfrac{1}{3} = \dfrac{16}{3} \]
Jetzt die Brüche dividieren, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten multipliziert:
\[ \dfrac{13}{4} \div \dfrac{16}{3} = \dfrac{13}{4} \times \dfrac{3}{16} \]
Zähler und Nenner multiplizieren:
\[ \dfrac{13 \times 3}{4 \times 16} = \dfrac{39}{64} \]
Daher ist \(3 \dfrac{1}{4} \div 5 \dfrac{1}{3} = \dfrac{39}{64}\).
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\[ 4 \dfrac{2}{7} \times 5 \dfrac{3}{5} = \]Lösung
Zuerst die gemischten Zahlen in unechte Brüche umwandeln:
\[ 4 \dfrac{2}{7} = \dfrac{30}{7}, \qquad 5 \dfrac{3}{5} = \dfrac{28}{5} \]
Jetzt die Brüche multiplizieren:
\[ \dfrac{30}{7} \times \dfrac{28}{5} = \dfrac{30 \times 28}{7 \times 5} \]
Vor dem Multiplizieren kürzen:
\[ \dfrac{30 \times 28}{7 \times 5} = \dfrac{30 \times 4}{5} = \dfrac{120}{5} = 24 \]
Daher ist \(4 \dfrac{2}{7} \times 5 \dfrac{3}{5} = 24\).
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Damit \(F + 2 \dfrac{5}{7} = 4\) gilt, was muss \(F\) gleich sein?
Lösung
Wir wollen nach \(F\) in der Gleichung auflösen:
\[ F + 2 \dfrac{5}{7} = 4 \]
Subtrahieren Sie \(2 \dfrac{5}{7}\) von beiden Seiten:
\[ F = 4 - 2 \dfrac{5}{7} \]
\[ F = (4 - 2) - \dfrac{5}{7} = 2 - \dfrac{5}{7} \]
Jetzt berechnen: \[ 2 - \dfrac{5}{7} = \dfrac{14}{7} - \dfrac{5}{7} = \dfrac{9}{7} \]
Also: \[ F = 2 - \dfrac{5}{7} = \dfrac{9}{7} \]
In eine gemischte Zahl umwandeln: \[ \dfrac{9}{7} = 1 \dfrac{2}{7} \]
Daher ist \(F = \; 1 \dfrac{2}{7}\).
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Tom läuft jeden Montag \(\dfrac{3}{4}\) einer Stunde, jeden Dienstag 30 Minuten, jeden Mittwoch eine halbe Stunde, jeden Donnerstag \(1 \dfrac{1}{4}\) Stunden und jeden Freitag \(\dfrac{2}{3}\) einer Stunde. Wie viele Stunden läuft Tom von Montag bis Freitag?
Lösung
Wir rechnen zuerst die Laufzeiten für jeden Tag in Minuten um:
Montag: \[ \dfrac{3}{4} \times 60 = \dfrac{180}{4} = 45 \text{ Minuten} \]
Dienstag: \[ 30 \text{ Minuten} \]
Mittwoch: Eine halbe Stunde \[ \dfrac{1}{2} \times 60 = 30 \text{ Minuten} \]
Donnerstag: \[ 1 \dfrac{1}{4} \text{ Stunden} = 60 + \dfrac{1}{4} \times 60 = 60 + 15 = 75 \text{ Minuten} \]
Freitag: \[ \dfrac{2}{3} \times 60 = 40 \text{ Minuten} \]
Jetzt die Gesamtminuten addieren:
\[ 45 + 30 + 30 + 75 + 40 = 220 \text{ Minuten} \]
In Stunden und Minuten umrechnen: \[ 220 = 180 + 40 = 3 \text{ Stunden und } 40 \text{ Minuten} \]
Daher läuft Tom von Montag bis Freitag insgesamt 3 Stunden und 40 Minuten.
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Ordnen Sie vom kleinsten zum größten: \[ 5 \dfrac{3}{4}, \; 3 \dfrac{4}{5}, \; 3 \dfrac{1}{5}, \; 4 \dfrac{5}{6} \]Lösung
Beim Ordnen gemischter Zahlen vergleicht man zuerst die ganzen Zahlen. Die Zahl mit der kleinsten ganzen Zahl ist insgesamt die kleinste.
- \(3 \dfrac{1}{5}\) hat den ganzzahligen Anteil 3 → kleinste.
- \(3 \dfrac{4}{5}\) hat ebenfalls den ganzzahligen Anteil 3, ist aber größer als \(3 \dfrac{1}{5}\).
- \(4 \dfrac{5}{6}\) hat den ganzzahligen Anteil 4 → größer als beide 3er.
- \(5 \dfrac{3}{4}\) hat den ganzzahligen Anteil 5 → größte.
Somit ist die richtige Reihenfolge vom kleinsten zum größten:
\[ 3 \dfrac{1}{5}, \; 3 \dfrac{4}{5}, \; 4 \dfrac{5}{6}, \; 5 \dfrac{3}{4} \]
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Ordnen Sie vom kleinsten zum größten: \(7 \dfrac{2}{3}, \; 7 \dfrac{3}{5}, \; 7 \dfrac{3}{4}, \; 7 \dfrac{6}{11}\).
Lösung
Da alle gemischten Zahlen denselben ganzzahligen Anteil haben (7), müssen wir nur ihre Bruchteile vergleichen. Um den Vergleich zu erleichtern, schreiben wir alle Brüche mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner, der 660 ist.
\[ \dfrac{2}{3} = \dfrac{440}{660}, \quad \dfrac{3}{5} = \dfrac{396}{660}, \quad \dfrac{3}{4} = \dfrac{495}{660}, \quad \dfrac{6}{11} = \dfrac{360}{660} \]
Vergleichen Sie nun die Zähler, da die Nenner gleich sind:
- \(\dfrac{360}{660}\) (von \( \dfrac{6}{11} \))
- \(\dfrac{396}{660}\) (von \( \dfrac{3}{5} \))
- \(\dfrac{440}{660}\) (von \( \dfrac{2}{3} \))
- \(\dfrac{495}{660}\) (von \( \dfrac{3}{4} \))
Daher ist die Reihenfolge vom kleinsten zum größten:
\[ 7 \dfrac{6}{11}, \; 7 \dfrac{3}{5}, \; 7 \dfrac{2}{3}, \; 7 \dfrac{3}{4} \]
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Welcher Bruchteil einer Stunde sind 50 Minuten?
Lösung
Ein Bruch repräsentiert einen Teil eines Ganzen. Da 1 Stunde = 60 Minuten, vergleichen wir 50 Minuten mit 60 Minuten:
\[ \text{Bruchteil einer Stunde} = \dfrac{50}{60} \]
Jetzt den Bruch kürzen, indem man Zähler und Nenner durch 10 teilt:
\[ \dfrac{50}{60} = \dfrac{5}{6} \]
Daher sind 50 Minuten \(\dfrac{5}{6}\) einer Stunde.
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\(\dfrac{1}{3}\) ist \(\dfrac{1}{8}\) von welcher Zahl?
Lösung
Die unbekannte Zahl sei \(n\). Wir können die Aufgabe in eine Gleichung übersetzen:
\[ \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{8} \times n \]
Die rechte Seite vereinfachen: \[ \dfrac{1}{3} = \dfrac{n}{8} \]
Jetzt nach \(n\) auflösen, indem man beide Seiten mit 8 multipliziert: \[ n = 8 \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{8}{3} \]
Daher ist die Zahl: \[ n = \dfrac{8}{3} \]