Primfaktorzerlegung - Klasse 6

Beispiele und Fragen zur Primfaktorzerlegung, mit detaillierten Lösungen und Erklärungen, für Schüler der 6. Klasse werden vorgestellt. Eine Wiederholung von Teilern und Vielfachen wäre sehr hilfreich, um die Primfaktorzerlegung zu verstehen.

Primzahlen

Definition: Jede ganze Zahl, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist, wird Primzahl genannt.

Beispiel 1

2 ist eine Primzahl, warum?

2 kann durch 1 geteilt werden     2 ÷ 1 = 2 mit einem Rest von Null

2 kann durch 2 (sich selbst) geteilt werden     2 ÷ 2 = 1 mit einem Rest von Null

Versuche, eine andere ganze Zahl zu finden, die 2 ohne Rest teilt. Es gibt keine.

Beispiel 2

7 ist eine Primzahl, warum?

7 kann durch 1 geteilt werden     7 ÷ 1 = 7 mit einem Rest von Null

7 kann durch 7 (sich selbst) geteilt werden     7 ÷ 7 = 1 mit einem Rest von Null

Versuche, eine andere ganze Zahl zu finden, die 7 ohne Rest teilt. Es gibt keine.

Die ersten 10 Primzahlen sind: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

Du kannst weitere Primzahlen generieren und testen.


Zusammengesetzte Zahlen

Definition: Jede ganze Zahl, die durch eine andere ganze Zahl außer 1 und sich selbst geteilt werden kann (mit einem Rest von Null), wird zusammengesetzte Zahl genannt.

4 ist eine zusammengesetzte Zahl, warum?

4 kann durch 1, sich selbst und 2 geteilt werden.


6 ist eine zusammengesetzte Zahl, warum?

6 kann durch 1, sich selbst, 2 und 3 geteilt werden.


12 ist eine zusammengesetzte Zahl: sie kann durch 1, sich selbst, 2, 3, 4 und 6 geteilt werden.

30 ist eine zusammengesetzte Zahl: sie kann durch 1, sich selbst, 2, 3, 5, 6, 10 und 15 geteilt werden.


Faktorisierung

Von der Division zur Multiplikation zur Faktorisierung.

Division und Multiplikation sind verwandte Operationen.

Die Division 6 ÷ 3 = 2 kann als Multiplikation geschrieben werden: 6 = 2 × 3

Eine ganze Zahl zu faktorisieren bedeutet, sie als Produkt von zwei oder mehr ganzen Zahlen zu schreiben.

Beispiele

1) 6 = 1 × 6 ; 6 = 2 × 3     1, 2, 3 und 6 werden Teiler von 6 genannt.

2) 12 = 12 ×1 = 3 ×4 = 6 ×2     1, 2, 3, 4, 6 und 12 werden Teiler von 12 genannt.

3) 20 = 1 × 20 = 2 ×10 = 2 × 2 × 5 = 4 × 5     1, 2, 3, 4, 5, 10 und 20 werden Teiler von 20 genannt.


Primfaktorzerlegung

Die Primfaktorzerlegung bedeutet, eine zusammengesetzte ganze Zahl als Produkt nur von Primzahlen zu schreiben.

Beispiele

1) 6 = 2 × 3     die Faktoren 2 und 3 sind Primzahlen.

2) 12 = 2 × 2 × 3     die Faktoren 2 und 3 sind Primzahlen.

3) 20 = 2 × 2 × 5     die Faktoren 2 und 5 sind Primzahlen.

Wie findet man die Primfaktorzerlegung einer zusammengesetzten Zahl?

Beispiel 1

Schreibe die Primfaktorzerlegung von 12.

1) Prüfe, ob die erste Primzahl 2 ein Teiler der gegebenen Zahl 12 ist.

12 ÷ 2 = 6 mit Rest = 0        2 ist ein Teiler von 12        12 = 2 × 6

2) Prüfe, ob die erste Primzahl 2 ein Teiler von 6 ist.

6 ÷ 2 = 3 mit Rest = 0        2 ist ein Teiler von 6        6 = 2 × 3        Daher ist 12 = 2 × 6 = 2 × 2 × 3

12 = 2 × 2 × 3 ist vollständig faktorisiert, wobei nur die Primzahlen 2 und 3 verwendet werden.

Beispiel 2

Schreibe die Primfaktorzerlegung von 21.

1) Prüfe, ob die erste Primzahl 2 ein Teiler der gegebenen Zahl 21 ist.

21 ÷ 2 = 10 aber Rest = 1, also ist 2 kein Teiler von 21.

2) Ist die nächste Primzahl 3 ein Teiler von 21?

21 ÷ 3 = 7 mit Rest 0        3 ist ein Teiler von 21        21 = 3 × 7

3 und 7 sind Primzahlen und daher ist 21 = 3 × 7 vollständig faktorisiert, wobei nur die Primzahlen 3 und 7 verwendet werden.

Dieser Primfaktor-Rechner kann verwendet werden, um alle Primfaktoren einer gegebenen Zahl zu generieren.


Beantworte die folgenden Fragen

  1. Für jede der folgenden Zahlen entscheide, ob es sich um eine Primzahl oder eine zusammengesetzte Zahl handelt? Erkläre.
    1. 9

    2. 11

    3. 16

    4. 22

    5. 39

    6. 41

    7. 49

    8. 57

  2. Welche der folgenden Darstellungen ist eine Primfaktorzerlegung?
    1. 8 = 2 × 4

    2. 10 = 2 × 5

    3. 20 = 2 × 10

    4. 30 = 2 × 3 × 5

    5. 38 = 2 × 19

    6. 42 = 2 × 3 × 7

    7. 56 = 2 × 2 × 14

    8. 75 = 3 × 25

    9. 80 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5

    10. 100 = 2 × 2 × 25
  3. Wie lautet die Primfaktorzerlegung der folgenden ganzen Zahlen?
    1. 8

    2. 18

    3. 24

    4. 45

    5. 63

    6. 88

    7. 96

Lösungen zu den obigen Aufgaben


    1. Eine Primzahl hat nur 2 Teiler: 1 und sich selbst. Eine zusammengesetzte Zahl hat 3 oder mehr Teiler.

    1. 9 ist eine zusammengesetzte Zahl, da 9 = 3 × 3, sie hat 3 Teiler: 1, 3 und sich selbst.

    2. 11 ist eine Primzahl, weil sie nur 2 Teiler hat: 1 und sich selbst.

    3. 16 ist eine zusammengesetzte Zahl, da 16 = 4 × 4 = 2 × 8, sie hat 5 Teiler: 1, 2, 4, 8 und sich selbst.

    4. 22 ist eine zusammengesetzte Zahl, da 22 = 2 × 11, sie hat 4 Teiler: 1, 2, 11 und sich selbst.

    5. 39 ist eine zusammengesetzte Zahl, da 39 = 3 × 13, sie hat 4 Teiler: 1, 3, 13 und sich selbst.

    6. 41 ist eine Primzahl, weil sie nur 2 Teiler hat: 1 und sich selbst.

    7. 49 ist eine zusammengesetzte Zahl, da 49 = 7 × 7, sie hat 3 Teiler: 1, 7 und sich selbst.

    8. 57 ist eine zusammengesetzte Zahl, da 57 = 3 × 19, sie hat 4 Teiler: 1, 3, 19 und sich selbst.


  2. Eine Primfaktorzerlegung enthält nur Primzahlen.

    1. 8 = 2 × 4           Der Faktor 4 ist keine Primzahl, daher ist es keine Primfaktorzerlegung.

    2. 10 = 2 × 5           Beide Faktoren 2 und 5 sind Primzahlen, also ist es eine Primfaktorzerlegung.

    3. 20 = 2 × 10           Der Faktor 10 ist keine Primzahl, daher ist es keine Primfaktorzerlegung.

    4. 30 = 2 × 3 × 5 ;           Alle Faktoren 2, 3 und 5 sind Primzahlen, also ist es eine Primfaktorzerlegung.

    5. 38 = 2 × 19           Beide Faktoren 2 und 19 sind Primzahlen, also ist es eine Primfaktorzerlegung.

    6. 42 = 2 × 3 × 7           Alle Faktoren 2, 3 und 7 sind Primzahlen, also ist es eine Primfaktorzerlegung.

    7. 56 = 2 × 2 × 14           Der Faktor 14 ist keine Primzahl, daher ist es keine Primfaktorzerlegung.

    8. 75 = 3 × 25           Der Faktor 25 ist keine Primzahl, daher ist es keine Primfaktorzerlegung.

    9. 80 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5           Alle Faktoren 2 und 5 sind Primzahlen, also ist es eine Primfaktorzerlegung.

    10. 100 = 4 × 25           Beide Faktoren sind zusammengesetzt; es ist keine Primfaktorzerlegung.

  3. Die Primfaktorzerlegung wird durch aufeinanderfolgende Divisionen mit Primzahlen durchgeführt.

    1. 8 = 2 × 4 = 2 × 2 × 2

    2. 18 = 2 × 9 = 2 × 3 × 3

    3. 24 = 2 × 12 = 2 × 2 × 6 = 2 × 2 × 2 × 3

    4. 45 = 3 × 15 = 3 × 3 × 5

    5. 63 = 7 × 9 = 7 × 3 × 3

    6. 88 = 2 × 44 = 2 × 2 × 22 = 2 × 2 × 2 × 11

    7. 96 = 2 × 48 = 2 × 2 × 24 = 2 × 2 × 2 × 12 = 2 × 2 × 2 × 2 × 6 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3

Referenzen