Primfaktorzerlegung - Klasse 6

Diese Seite bietet umfassende Lektionen, Beispiele und Übungsaufgaben zur Primfaktorzerlegung für Schüler der 6. Klasse. Jede Übungsaufgabe enthält eine Schritt-für-Schritt-Lösung mit detaillierten Erklärungen.

Bevor Sie beginnen, wird dringend empfohlen, die Grundlagen zu Faktoren (Teilern) und Vielfachen zu wiederholen. Erweitern Sie die Lösungs-Tabs unter jeder Frage, um Ihre Arbeit zu überprüfen und die zugrunde liegende Logik zu verstehen.

Konzepte und Beispiele

1. Primzahlen

Definition: Eine Primzahl ist eine ganze Zahl streng größer als 1, die genau zwei verschiedene Teiler hat: 1 und sich selbst.

2. Zusammengesetzte Zahlen

Definition: Eine zusammengesetzte Zahl ist eine ganze Zahl streng größer als 1, die mehr als zwei Teiler hat (sie kann ohne Rest durch andere Zahlen als 1 und sich selbst geteilt werden).

3. Faktorisierung (Zerlegung in Faktoren)

Definition: Eine ganze Zahl zu faktorisieren bedeutet, sie als Produkt von zwei oder mehr ganzen Zahlen zu schreiben. Division und Multiplikation sind eng miteinander verbunden; die Division \(6 \div 3 = 2\) kann als Multiplikation \(6 = 2 \times 3\) umgeschrieben werden.

4. Primfaktorzerlegung

Definition: Die Primfaktorzerlegung ist der Prozess, eine zusammengesetzte ganze Zahl ausschließlich als Produkt von Primzahlen zu schreiben.

Wie findet man die Primfaktorzerlegung von 12?

  1. Testen Sie die kleinste Primzahl, 2. \(12 \div 2 = 6\). Also \(12 = 2 \times 6\).
  2. Da 6 eine zusammengesetzte Zahl ist, testen Sie diese erneut. \(6 \div 2 = 3\). Also \(6 = 2 \times 3\).
  3. Kombinieren Sie diese: \(12 = 2 \times 2 \times 3\). Da 2 und 3 Primzahlen sind, ist die Zerlegung abgeschlossen.

Wie findet man die Primfaktorzerlegung von 21?

  1. Testen Sie 2: \(21 \div 2\) hinterlässt einen Rest. 2 ist kein Teiler.
  2. Testen Sie die nächste Primzahl, 3: \(21 \div 3 = 7\). Also \(21 = 3 \times 7\).
  3. Da 3 und 7 beide Primzahlen sind, ist die Primfaktorzerlegung \(3 \times 7\).

Übungsaufgaben

Frage 1: Primzahl vs. Zusammengesetzte Zahl

Entscheiden Sie für jede der unten stehenden Zahlen, ob es sich um eine Primzahl oder eine zusammengesetzte Zahl handelt. Begründen Sie Ihre Entscheidung.

  1. 9
  2. 11
  3. 16
  4. 22
  5. 39
  6. 41
  7. 49
  8. 57
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Zur Erinnerung: Eine Primzahl hat genau 2 Teiler: 1 und sich selbst. Eine zusammengesetzte Zahl hat 3 oder mehr Teiler.
  • a) 9: Zusammengesetzt. \(9 = 3 \times 3\). Sie hat 3 Teiler: 1, 3, 9.
  • b) 11: Primzahl. Sie hat nur 2 Teiler: 1 und 11.
  • c) 16: Zusammengesetzt. \(16 = 4 \times 4 = 2 \times 8\). Sie hat 5 Teiler: 1, 2, 4, 8, 16.
  • d) 22: Zusammengesetzt. \(22 = 2 \times 11\). Sie hat 4 Teiler: 1, 2, 11, 22.
  • e) 39: Zusammengesetzt. \(39 = 3 \times 13\). Sie hat 4 Teiler: 1, 3, 13, 39.
  • f) 41: Primzahl. Sie hat nur 2 Teiler: 1 und 41.
  • g) 49: Zusammengesetzt. \(49 = 7 \times 7\). Sie hat 3 Teiler: 1, 7, 49.
  • h) 57: Zusammengesetzt. \(57 = 3 \times 19\). Sie hat 4 Teiler: 1, 3, 19, 57.

Frage 2: Primfaktorzerlegungen identifizieren

Welche der folgenden mathematischen Aussagen stellt eine korrekte Primfaktorzerlegung dar? Erklären Sie, warum oder warum nicht.

  1. \(8 = 2 \times 4\)
  2. \(10 = 2 \times 5\)
  3. \(20 = 2 \times 10\)
  4. \(30 = 2 \times 3 \times 5\)
  5. \(38 = 2 \times 19\)
  6. \(42 = 2 \times 3 \times 7\)
  7. \(56 = 2 \times 2 \times 14\)
  8. \(75 = 3 \times 25\)
  9. \(80 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5\)
  10. \(100 = 2 \times 2 \times 25\)
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Zur Erinnerung: Eine echte Primfaktorzerlegung darf nur aus miteinander multiplizierten Primzahlen bestehen.
Gleichung Ist es eine Primfaktorzerlegung? Begründung
a) \(8 = 2 \times 4\) Nein Der Faktor 4 ist eine zusammengesetzte Zahl.
b) \(10 = 2 \times 5\) Ja Sowohl 2 als auch 5 sind Primzahlen.
c) \(20 = 2 \times 10\) Nein Der Faktor 10 ist eine zusammengesetzte Zahl.
d) \(30 = 2 \times 3 \times 5\) Ja Alle Faktoren (2, 3, 5) sind Primzahlen.
e) \(38 = 2 \times 19\) Ja Sowohl 2 als auch 19 sind Primzahlen.
f) \(42 = 2 \times 3 \times 7\) Ja Alle Faktoren (2, 3, 7) sind Primzahlen.
g) \(56 = 2 \times 2 \times 14\) Nein Der Faktor 14 ist eine zusammengesetzte Zahl.
h) \(75 = 3 \times 25\) Nein Der Faktor 25 ist eine zusammengesetzte Zahl.
i) \(80 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5\) Ja Alle Faktoren (2 und 5) sind Primzahlen.
j) \(100 = 2 \times 2 \times 25\) Nein Der Faktor 25 ist eine zusammengesetzte Zahl.

Frage 3: Primfaktorzerlegung berechnen

Bestimmen Sie die Primfaktorzerlegung für jede der folgenden ganzen Zahlen. Sie können Potenzen verwenden, um Ihr Endergebnis zu vereinfachen.

  1. 8
  2. 18
  3. 24
  4. 45
  5. 63
  6. 88
  7. 96
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Die Primfaktorzerlegung wird durch sukzessive Divisionen mit Primzahlen (2, 3, 5, 7...) durchgeführt:

  • a) 8
    \(8 = 2 \times 4 \rightarrow \mathbf{2 \times 2 \times 2}\) (oder \(2^3\))
  • b) 18
    \(18 = 2 \times 9 \rightarrow \mathbf{2 \times 3 \times 3}\) (oder \(2 \times 3^2\))
  • c) 24
    \(24 = 2 \times 12 = 2 \times 2 \times 6 \rightarrow \mathbf{2 \times 2 \times 2 \times 3}\) (oder \(2^3 \times 3\))
  • d) 45
    \(45 = 3 \times 15 \rightarrow \mathbf{3 \times 3 \times 5}\) (oder \(3^2 \times 5\))
  • e) 63
    \(63 = 7 \times 9 \rightarrow \mathbf{3 \times 3 \times 7}\) (oder \(3^2 \times 7\))
  • f) 88
    \(88 = 2 \times 44 = 2 \times 2 \times 22 \rightarrow \mathbf{2 \times 2 \times 2 \times 11}\) (oder \(2^3 \times 11\))
  • g) 96
    \(96 = 2 \times 48 = 2 \times 2 \times 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 12 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 6 \rightarrow \mathbf{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3}\) (oder \(2^5 \times 3\))

Weitere Referenzen und Links