Matheaufgaben mit Lösungen für Klasse 6

Folge:

1. : 2

2. : \(2 \times 3 + 2 = 8\)

3. : \(8 \times 3 + 2 = 26\)

4. : \(26 \times 3 + 2 = 80\)

5. : \(80 \times 3 + 2 = 242\)

Die 5. Zahl ist \( 242\).

Ursprüngliche Fläche des Kartons \[ \text{Fläche} = \text{Länge} \times \text{Breite} = 12 \times 8 = 96 \, \text{cm}^2 \] Fläche eines aus einer Ecke geschnittenen Quadrats \[ \text{Fläche} = 2 \times 2 = 4 \, \text{cm}^2 \] Gesamte entfernte Fläche von allen vier Ecken \[ 4 \times 4 = 16 \, \text{cm}^2 \] Verbleibende Fläche nach dem Zuschneiden \[ 96 - 16 = 80 \, \text{cm}^2 \]

Das Produkt zweier ganzer Zahlen ist gleich dem Produkt ihres kgV und ggT. Daher gilt: \[ 16 \times N = 48 \times 8 \] Löse nach \( N \) auf: \[ N = \dfrac{48 \times 8}{16} = 24 \]

Wir schreiben zuerst die Primfaktorzerlegung jeder Zahl: \[ 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3 \] \[ 40 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 5 \] \[ 60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5 \] Nun suchen wir die gemeinsamen Primfaktoren mit den kleinsten Exponenten. Der einzige gemeinsame Primfaktor aller drei Zahlen ist 2. Die kleinste Potenz von 2, die allen drei Zahlen gemeinsam ist, ist \(2^2\). \[ \text{ggT} = 2^2 = 4 \] Der größte gemeinsame Teiler von 24, 40 und 60 ist 4.

a) Verhältnis Mädchen zu Jungen:

\[ \dfrac{260}{240} \] Kürze den Bruch \[ = \dfrac{13}{12} \] das Verhältnis von Mädchen zu Jungen ist \[ 13:12 \] b)

Gesamtzahl der Schüler ist: \[ 240 + 260 = 500 \] Verhältnis von Jungen zur Gesamtzahl der Schüler: \[ \dfrac{240}{500} \] Kürze den Bruch \[ = \dfrac{12}{25} \] Das Verhältnis von Jungen zur Gesamtzahl der Schüler ist \[ 12:25\]

Das Trinkgeld beträgt 20% dessen, was er für das Mittagessen bezahlt hat. Daher gilt: \[ \text{Trinkgeld} = 20\% \text{ von } 50,50 = \left( \dfrac{20}{100} \right) \times 50,50 = 10,10 \] Gesamtausgaben: \[ 50,50 + 10,10 = 60,60 \] Tim gab insgesamt 60,60 $ aus.

Eine Division hängt mit einer Multiplikation zusammen und umgekehrt.

Die Division \( \dfrac{M}{N} = P \) kann als Multiplikation \( M = P \times N \) geschrieben werden und umgekehrt.

Da: \[ \dfrac{64}{k} = 4 \] kann die obige Division als Multiplikation wie folgt geschrieben werden: \[ 64 = 4 k \] Schreibe die obige Multiplikation als Division um: \[ \dfrac{64}{4} = k \]. Führe die Division durch: \[ \dfrac{64}{4} = 16 \]. Daher \[ k = 16 \]

Setze \( y = 3 \) in die Gleichung \( x + 2y = 10 \) ein: \[ x + 2(3) = 10 \] Vereinfache \[ x + 6 = 10 \] Um nach \( x \) aufzulösen, subtrahiere 6 von beiden Seiten: \[ x + 6 - 6 = 10 - 6\] Fasse gleichartige Terme zusammen und vereinfache \[ x = 4\]

Kosten \( C \) für einen Anruf von 1 Minute: \[ C = 0,50 + ( 0,11 )\] Kosten \( C \) für einen Anruf von 2 Minuten: \[ C = 0,50 + (0,11 + 0,11) = 0,50 + 2 \times 0,11 \] Kosten \( C \) für einen Anruf von 3 Minuten: \[ C = 0,50 + (0,11 + 0,11 + 0,11) = 0,50 + 3 \times 0,11 \] Wir beobachten, dass die Kosten \( C \) gegeben sind durch: \[ C = 0,50 + (\text{Anzahl der Minuten}) \times 0,11 \] Wenn \( N \) die Anzahl der Minuten ist, dann sind die Kosten \( C \): \[ C = 0,50 + 0,11 N \]

Für jeweils 40 Kilometer wird 1 Gallone benötigt. Wir müssen ermitteln, wie viele 40-Kilometer-Abschnitte in 180 Kilometern enthalten sind: \[ \dfrac{180}{40} = 4,5 \] Es gibt also 4,5 Abschnitte von 40 km in der Gesamtstrecke von 180 Kilometern. Daher ist die Anzahl der benötigten Gallonen gegeben durch: \[ 4,5 \times 1\ \text{Gallone} = 4,5\ \text{Gallonen} \] Das Auto würde 4,5 Gallonen Benzin benötigen, um 180 Kilometer zu fahren.

8 Minuten werden benötigt, um 150 Flaschen zu füllen.

Wie viele Gruppen von 150 Flaschen gibt es in 675 Flaschen? \[ \dfrac{675}{150} = 4,5 = 4 \text{ volle Gruppen und } \dfrac{1}{2} \text{ Gruppe} \] Für jede Gruppe werden 8 Minuten benötigt. Also für 4 volle Gruppen und eine halbe Gruppe: \[ 4 \times 8 + \dfrac{1}{2} \times 8 = 32 + 4 = 36 \text{ Minuten} \] Alternativ können wir direkt rechnen: \[ 4,5 \times 8 = 36 \text{ Minuten} \] Es wird 36 Minuten dauern, um 675 Flaschen zu füllen.

In jeder Stunde legt das Auto 65 Meilen zurück. In 5 Stunden wird es zurücklegen: \[ 65 + 65 + 65 + 65 + 65 = 5 \times 65 = 325 \text{ Meilen} \] Wir können auch die Formel verwenden: \[ \text{Strecke} = \text{Zeit} \times \text{Geschwindigkeit} = 5 \times 65 = 325 \text{ Meilen}\] Das Auto wird in 5 Stunden 325 Meilen zurücklegen.

Zwei Rechtecke \( A \) und \( B \) sind ähnlich, wenn ihre Längen und Breiten proportional sind. Sei

\( L_1 = 10 \, \text{cm} \), \( W_1 = 5 \, \text{cm} \) die Länge und Breite des Rechtecks \( A \)

\( L_2 = 30 \, \text{cm} \), und \( W_2 \) die Länge und Breite des Rechtecks \( B \)

Da die Rechtecke ähnlich sind, können wir schreiben: \[ \dfrac{L_2}{L_1} = \dfrac{W_2}{W_1} \] Setze die bekannten Werte ein: \[ \dfrac{30}{10} = \dfrac{W_2}{5} \] Multipliziere über Kreuz: \[ 30 \times 5 = 10 \times W_2 \] Teile beide Seiten durch 10: \[ W_2 = 15 \, \text{cm} \] Berechne nun die Fläche des Rechtecks \( B \): \[ \text{Fläche} = L_2 \times W_2 = 30 \times 15 = 450 \, \text{cm}^2 \] Die Fläche des Rechtecks \( B \) beträgt \( 450 \, \text{cm}^2 \).

Sei \( x \) die Anzahl der registrierten Schüler in jeder Klasse.

Die Anzahl der fehlenden Schüler in den 5 Klassen, die halb voll waren, ist: \[ 5 \times \left(\dfrac{1}{2} \times x\right) = \dfrac{5x}{2} \] Der Prozentsatz der fehlenden Schüler in einer Klasse, die zu \(\dfrac{3}{4}\) voll ist, ist: \[ 1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}\] Daher ist die Anzahl der fehlenden Schüler in den 3 Klassen, die zu \(\dfrac{3}{4}\) voll waren, gegeben durch: \[ 3 \times \left(\dfrac{1}{4} \times x\right) = \dfrac{3x}{4} \] Die Anzahl der fehlenden Schüler in den 2 Klassen, in denen \(\dfrac{1}{8}\) der Schüler fehlten, ist: \[ 2\times \left(\dfrac{1}{8} \times x \right) = \dfrac{2x}{8} \] Die Gesamtzahl der fehlenden Schüler ist mit 70 angegeben, also: \[ \dfrac{5x}{2} + \dfrac{3x}{4} + \dfrac{2x}{8} = 70 \] Multipliziere alle Terme mit 8: \[ 8 \times \dfrac{5x}{2} + 8 \times \dfrac{3x}{4} + 8 \times \dfrac{2x}{8} = 8 \times 70 \] Vereinfache: \[ 20 x + 6x + 2 x = 560 \] Fasse gleichartige Terme zusammen: \[ 28 x = 560 \] Löse nach \( x \) auf: \[ x = \dfrac{560}{28} = 20 \] Jede Klasse hat also 20 Schüler. Die Gesamtzahl der registrierten Schüler in allen 10 Klassen der Schule ist: \[ 10 \times 20 = 200 \] In der Schule sind 200 Schüler registriert.

Es gibt Quadrate in 4 verschiedenen Größen: 1 × 1, 2 × 2, 3 × 3 , 4 × 4

Es gibt:

16 Quadrate der Größe 1 × 1.

9 Quadrate der Größe 2 × 2.

4 Quadrate der Größe 3 × 3

1 Quadrat der Größe 4 × 4.

Die Gesamtzahl der Quadrate ist: \[ 16+9+4+1 = 30 \; \text{Quadrate} \]

Sei \( x \) die Anzahl der Briefmarken, mit denen John begann.

John gab die Hälfte seiner Briefmarken an Jim: \[ \text{Jim erhielt: } \quad \dfrac{1}{2}x \] Jim gab die Hälfte seiner Briefmarken an Carla: \[ \text{Carla erhielt:} \quad \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}x = \dfrac{1}{4}x \] Carla gab \(\dfrac{1}{4}\) ihrer Briefmarken an Thomas, also behielt sie \(\dfrac{3}{4}\) von dem, was sie erhalten hatte: \[ \text{Carla behielt: } \quad \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{4}x = \dfrac{3}{16}x \] Es wird gesagt, dass Carla 12 Briefmarken behielt, daher gilt: \[ \dfrac{3}{16}x = 12 \] Um nach \( x \) aufzulösen, multipliziere beide Seiten mit \( \dfrac{16}{3} \): \[ x = \dfrac{16}{3} \cdot 12 = 64 \] John begann mit 64 Briefmarken.

Es wird dauern: \[ \dfrac{120}{4} = 30 \text{ Sekunden} \] damit Ball A eine volle Umdrehung macht.

Ball A:   1 U: 30 s,   2 U: 60 s,   3 U: 90 s,   4 U: 120 s, ...

Es wird dauern: \[ \dfrac{60}{3} = 20 \text{ Sekunden} \] damit Ball B eine volle Umdrehung macht.

Ball B:   1 U: 20 s,   2 U: 40 s,   3 U: 60 s,   4 U: 80 s, ...

Der erste Zeitpunkt, zu dem beide eine ganze Anzahl von Umdrehungen gemacht haben und sich daher wieder am selben Startpunkt befinden, ist nach 60 Sekunden, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) von 30 und 20.

Es wird 60 Sekunden dauern, bis beide Bälle wieder am selben Startpunkt sind.

Um eine 3-Einheiten-Strecke in 9 gleiche Teile zu teilen, muss jede Einheit in 3 Teile geteilt werden. Daher gilt: \[ \text{1 Teil} = \dfrac{1}{3} \text{ einer Einheit} \] Somit: \[ \text{2 Teile} = 2 \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3} \text{ einer Einheit} \]

Forme die Rate von 75 Kilometern pro Stunde um, indem du Kilometer in Meter und Stunden in Minuten umwandelst. \[ 1 \, \text{Kilometer} = 1000 \, \text{Meter} \] \[ 1 \, \text{Stunde} = 60 \, \text{Minuten} \] Somit gilt: \[ 75 \; \text{Kilometer pro Stunde} = \dfrac{75 \times \text{1 Kilometer}}{ \text{1 Stunde}} \] Ersetze 1 Kilometer durch 1000 Meter und 1 Stunde durch 60 Minuten \[ 75 \; \text{Kilometer pro Stunde} = \dfrac{75 \times 1000 \;\text{Meter }}{60 \; \text{Minuten}} \] \[ = \dfrac{75000}{60} \, \dfrac{\text{Meter}}{ \text{Minute}} = 1250 \, \text{Meter pro Minute} \] Das Auto legt 1250 Meter in einer Minute zurück.

Sei \( x \) Lindas gesamte Ersparnisse. Wenn sie \( \dfrac{3}{4} \) ihrer Ersparnisse für Möbel ausgab, dann verbleibt \( \dfrac{1}{4} \) ihrer Ersparnisse, was ausgedrückt werden kann als: \[ \dfrac{1}{4} x \] Dann gab sie \( \dfrac{1}{2} \) ihrer verbleibenden Ersparnisse für einen Kühlschrank aus, der 150 $ kostet. Daher haben wir die Gleichung: \[ \dfrac{1}{2} \times \left( \dfrac{1}{4} x \right) = 150 \] Vereinfache den obigen Ausdruck: \[ \dfrac{x}{8} = 150 \] Multipliziere nun beide Seiten der Gleichung mit 8, um nach \( x \) aufzulösen: \[ 8 \times \left( \dfrac{x}{8} \right) = 8 \times 150 \] \[ x = 1200 \] Lindas ursprüngliche Ersparnisse betrugen 1200 $.

Sei \( x \) die Seitenlänge von Quadrat A und \( y \) die Seitenlänge von Quadrat B.

Die Umfänge der beiden Quadrate sind gegeben durch:

Umfang von Quadrat A: \[ 4x \] Umfang von Quadrat B: \[ 4y \] Der Satz "Der Umfang von Quadrat A ist 3-mal so groß wie der Umfang von Quadrat B" wird mathematisch geschrieben als: \[ 4x = 3(4y) = 12y \] Teile die linke und rechte Seite durch 4: \[ x = 3y \] Quadriere beide Seiten der Gleichung: \[ x^2 = (3y)^2 \] Vereinfache: \[ x^2 = 9y^2 \] Die Flächen der beiden Quadrate sind:

Fläche von Quadrat A: \[ x^2 \] Fläche von Quadrat B: \[ y^2 \] Das Verhältnis der Fläche von Quadrat A zur Fläche von Quadrat B ist: \[ \dfrac{x^2}{y^2} \] Unter Verwendung der Gleichung \( x^2 = 9y^2 \) teile beide Seiten durch \( y^2 \): \[ \dfrac{x^2}{y^2} = \dfrac{9y^2}{y^2} \] Vereinfache: \[ \dfrac{x^2}{y^2} = 9 \] Das Verhältnis der Fläche von Quadrat A zur Fläche von Quadrat B ist \( 9:1 \).

Die Länge der Schachtel ergibt sich aus (zweimal 3 cm abziehen): \[ 15 - 3 - 3 = 9 \text{ cm} \] Die Breite der Schachtel ergibt sich aus (zweimal 3 cm abziehen): \[ 10 - 3 - 3 = 4 \text{ cm} \] Die Höhe der Schachtel ist nach dem Falten gleich \[ 3 \text{ cm} \] Die Abmessungen der offenen rechteckigen Schachtel sind: Länge = 9, Breite = 4 und Höhe = 3.

Daher ist das Volumen \( V \) der offenen rechteckigen Schachtel gegeben durch \[ V = \text{Länge} \times \text{Breite} \times \text{Höhe} = 9 \times 4 \times 3 = 108 \text{ cm}^3 \]

Berechnen wir zuerst die Gesamtfläche \( A \) des Rechtecks, bevor das Quadrat herausgeschnitten wird: \[ A = \text{Länge} \times \text{Breite} = 20 \times 10 = 200 \] Ein Quadrat mit der Seitenlänge \( 2x \) hat eine Fläche \( B \) gegeben durch: \[ B = (2x) \times (2x) = 4x^2 \] Das kleine Quadrat der Fläche \( B \) wird aus dem großen Rechteck der Fläche \( A \) herausgeschnitten. Daher ist die Fläche der verbleibenden Form: \[ A - B = 200 - 4x^2 \]

Die Fläche ist gegeben durch \( \pi r^2 \). Daher gilt: \[ \pi r^2 = 81\pi \] Teile beide Seiten durch \( \pi \): \[ r^2 = 81 \] Daher \[ r = \sqrt{81} = 9 \text{ Fuß} \] Der Umfang ist gegeben durch: \[ 2\pi r = 2\pi \times 9 = 18\pi \text{ Fuß} \]

Sei \( P \) Peters aktuelles Alter. Die aktuellen Alter von Carla, Jim und Peter sind:

\[ \text{Carla}: 5 \] \[ \text{Peter}: P \] \[ \text{Jim}: P - 13 \] Vor einem Jahr waren ihre Alter (subtrahiere 1 von den aktuellen Altern):

\[ \text{Carla}: 5 - 1 = 4 \] \[ \text{Peter}: P - 1 \] \[ \text{Jim}: P - 13 - 1 = P - 14 \] Laut Aufgabe war Peters Alter vor einem Jahr doppelt so hoch wie die Summe von Carlas und Jims Alter. Also: \[ P - 1 = 2(4 + P - 14) \] Vereinfache die rechte Seite: \[ P - 1 = 2(P - 10) \] \[ P - 1 = 2P - 20 \] Addiere 20 zu beiden Seiten: \[ P - 1 + 20 = 2P - 20 + 20 \] \[ P + 19 = 2P \] Subtrahiere \( P \) von beiden Seiten: \[ P + 19 - P = 2P - P \] \[ 19 = P \] Schlussfolgerung: \[ \text{Peters Alter} : P = 19 \] \[ \text{Jims Alter} : P - 13 = 19 - 13 = 6 \] \[ \text{Carlas Alter} : 5 \]

Addiere die bereits gelaufenen Strecken: \[ 2,4 + 1,75 = 4,15 \text{ km} \] Subtrahiere vom Gesamtziel: \[ 6 - 4,15 = 1,85 \text{ km} \] Lisa muss noch 1,85 Kilometer laufen.

Die benötigte Mehlmenge sei \( x \). Das Verhältnis ist: \[ \dfrac{x}{4} = \dfrac{3}{2} \] Über Kreuz multiplizieren: \[ 2x = 12 \] Löse nach \( x \) auf \[ x = 6 \] Du benötigst 6 Tassen Mehl.

Sei \( x \) der dritte Winkel. Die Winkelsumme in einem Dreieck beträgt \( 180^\circ \). \[ x + 47 + 58 = 180^\circ \] Fasse gleichartige Terme zusammen: \[ x + 105 = 180^\circ \] Löse nach x auf: \[ x = 180 - 105 = 75^\circ \] Der dritte Winkel beträgt \( 75^\circ \).

\[ 3x + 4 = 19 \] Subtrahiere 4 von jeder Seite und vereinfache: \[ 3x = 19 - 4 = 15 \] Teile durch \( 3 \) und vereinfache die linke und rechte Seite: \[x = \dfrac{15}{3} = 5 \]

Beginne bei \( - 4^\circ \) C

Anstieg um \( 11^\circ \) \[ -4 + 11 = 7^\circ C \] Fall um \( 6^\circ \) C: \[ 7 - 6 = 1^\circ C \] Die Temperatur um 18 Uhr betrug \( 1^\circ\).

Der ursprüngliche Preis sei \( x \). Ein Rabatt von 30% bedeutet, dass sie bezahlt hat: \[ 100\% - 30\% = 70\% \] 70% des Preises, den Amira bezahlt hat, wird geschrieben als: \[ 70\% \; \text{von} \; x = \dfrac{70}{100} x = 0,7 x \] Es ist auch bekannt, dass sie 84 $ bezahlt hat, daher gilt: \[ 0,70x = 84 \] Löse nach \( x \) auf \[ x = \dfrac{84}{0,7} = \$120 \] Der ursprüngliche Preis betrug 120 $.

Da sie aufeinander zugehen, ist ihre kombinierte Geschwindigkeit die Summe ihrer individuellen Geschwindigkeiten: \[ \text{Kombinierte Geschwindigkeit} = 40 \, \text{m/min} + 60 \, \text{m/min} = 100 \, \text{m/min} \] Die Zeit, die Harry und Kate benötigen, um sich zu treffen, ist die Gesamtstrecke geteilt durch ihre kombinierte Geschwindigkeit: \[ \text{Zeit} = \dfrac{\text{Strecke}}{\text{Kombinierte Geschwindigkeit}} = \dfrac{2500 \, \text{m}}{100 \, \text{m/min}} = 25 \, \text{Minuten} \] Der Hund läuft die gesamten 25 Minuten ununterbrochen mit einer Geschwindigkeit von 120 Metern pro Minute. Daher beträgt die vom Hund zurückgelegte Gesamtstrecke: \[ \text{Strecke} = \text{Hundegeschwindigkeit} \times \text{Zeit} = 120 \, \text{m/min} \times 25 \, \text{min} = 3000 \, \text{m} \]