Übungsaufgaben & Lösungen
Frage 1
Eine Zahlenfolge folgt der Regel: Beginne bei 2, multipliziere mit 3 und addiere jedes Mal 2. Was ist die 5. Zahl in der Folge?
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Befolgen Sie die Regel für die Zahlenfolge Schritt für Schritt:
- 1. Zahl: 2
- 2. Zahl: \(2 \times 3 + 2 = 8\)
- 3. Zahl: \(8 \times 3 + 2 = 26\)
- 4. Zahl: \(26 \times 3 + 2 = 80\)
- 5. Zahl: \(80 \times 3 + 2 = 242\)
Die 5. Zahl lautet 242.
Frage 2
Aus jeder Ecke eines rechteckigen Kartons mit einer Länge von 12 cm und einer Breite von 8 cm wird ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 2 cm herausgeschnitten. Wie groß ist der Flächeninhalt des Kartons, nachdem die vier Quadrate entfernt wurden?
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Berechnen Sie zunächst den ursprünglichen Flächeninhalt des Kartons:
\[ \text{Fläche} = \text{Länge} \times \text{Breite} = 12 \times 8 = 96 \text{ cm}^2 \]
Berechnen Sie als Nächstes die Fläche eines aus einer Ecke herausgeschnittenen Quadrats:
\[ \text{Fläche} = 2 \times 2 = 4 \text{ cm}^2 \]
Da es vier Ecken gibt, beträgt die insgesamt entfernte Fläche:
\[ 4 \times 4 = 16 \text{ cm}^2 \]
Subtrahieren Sie die entfernte Fläche von der ursprünglichen Fläche, um die verbleibende Fläche zu erhalten:
\[ 96 - 16 = \mathbf{80 \text{ cm}^2} \]
Frage 3
Zwei Zahlen \( N \) und 16 haben ein kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) von 48 und einen größten gemeinsamen Teiler (ggT) von 8. Finden Sie den Wert von \( N \).
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Das Produkt zweier ganzer Zahlen ist immer gleich dem Produkt aus ihrem kgV und ggT. Daher gilt:
\[ 16 \times N = 48 \times 8 \]
Nach \( N \) auflösen:
\[ N = \dfrac{48 \times 8}{16} = 3 \times 8 = \mathbf{24} \]
Frage 4
Finden Sie den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von 24, 40 und 60.
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Schreiben Sie zuerst die Primfaktorzerlegung jeder Zahl auf:
- \( 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3 \)
- \( 40 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 5 \)
- \( 60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5 \)
Identifizieren Sie die gemeinsamen Primfaktoren mit den kleinsten Exponenten. Der einzige gemeinsame Primfaktor aller drei Zahlen ist 2, und die kleinste Potenz von 2, die allen drei gemeinsam ist, ist \(2^2\).
\[ \text{ggT} = 2^2 = \mathbf{4} \]
Frage 5
In einer Schule gibt es 240 Jungen und 260 Mädchen.
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a) Verhältnis von Mädchen zu Jungen:
\[ \dfrac{260}{240} \]
Kürzen Sie den Bruch, indem Sie Zähler und Nenner durch 20 teilen: \( \dfrac{13}{12} \). Das Verhältnis lautet 13:12.
b) Verhältnis von Jungen zur Gesamtschülerzahl:
Gesamtzahl der Schüler = \( 240 + 260 = 500 \).
\[ \dfrac{240}{500} \]
Kürzen Sie den Bruch, indem Sie Zähler und Nenner durch 20 teilen: \( \dfrac{12}{25} \). Das Verhältnis lautet 12:25.
Frage 6
Wenn Tim für 50,50 $ zu Mittag gegessen und 20 % Trinkgeld gegeben hat, wie viel hat er dann insgesamt ausgegeben?
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Das Trinkgeld beträgt 20 % von dem, was er für das Mittagessen bezahlt hat. Berechnen Sie das Trinkgeld:
\[ \text{Trinkgeld} = 20\% \text{ von } 50,50 = \left( \dfrac{20}{100} \right) \times 50,50 = 10,10 \]
Addieren Sie das Trinkgeld zu den ursprünglichen Kosten für das Mittagessen:
\[ \text{Gesamt} = 50,50 + 10,10 = \mathbf{60,60 \$} \]
Frage 7
Finden Sie \( k \), wenn \( \dfrac{64}{k} = 4 \).
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Division ist mit Multiplikation verwandt. Die Gleichung kann als Multiplikation umgeschrieben werden:
\[ 64 = 4k \]
Schreiben Sie diese Multiplikation wieder als Division, um nach \( k \) aufzulösen:
\[ k = \dfrac{64}{4} = \mathbf{16} \]
Frage 8
Was ist \( x \), wenn \( x + 2y = 10 \) und \( y = 3 \)?
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Setzen Sie \( y = 3 \) in die Gleichung ein:
\[ x + 2(3) = 10 \]
\[ x + 6 = 10 \]
Subtrahieren Sie 6 von beiden Seiten, um \( x \) zu isolieren:
\[ x = \mathbf{4} \]
Frage 9
Eine Telefongesellschaft berechnet eine Grundgebühr von 0,50 $ und dann 0,11 $ für jede weitere Minute. Schreiben Sie einen Ausdruck, der die Kosten \( C \) für einen Anruf angibt, der \( N \) Minuten dauert.
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Die Kosten \( C \) setzen sich aus einer festen Grundgebühr (0,50 $) und einem variablen Satz (0,11 $ multipliziert mit der Anzahl der Minuten, \( N \)) zusammen.
\[ C = \mathbf{0,50 + 0,11N} \]
Frage 10
Ein Auto fährt 40 Kilometer pro Gallone Benzin. Wie viele Gallonen Benzin würde das Auto benötigen, um 180 Kilometer weit zu fahren?
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Für alle 40 Kilometer wird 1 Gallone benötigt. Teilen Sie die Gesamtstrecke durch die Strecke pro Gallone, um die Anzahl der 40-km-Abschnitte zu ermitteln:
\[ \dfrac{180}{40} = 4,5 \]
Das Auto würde 4,5 Gallonen Benzin benötigen.
Frage 11
Eine Maschine füllt alle 8 Minuten 150 Wasserflaschen ab. Wie viele Minuten benötigt diese Maschine, um 675 Flaschen abzufüllen?
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Finden Sie zuerst heraus, wie viele Gruppen von 150 Flaschen in 675 passen:
\[ \dfrac{675}{150} = 4,5 \text{ Gruppen} \]
Da jede Gruppe 8 Minuten benötigt, multiplizieren Sie die Anzahl der Gruppen mit 8:
\[ 4,5 \times 8 = \mathbf{36 \text{ Minuten}} \]
Frage 12
Ein Auto fährt mit einer Geschwindigkeit von 65 Meilen pro Stunde. Wie weit fährt es in 5 Stunden?
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Verwenden Sie die Weg-Zeit-Formel:
\[ \text{Entfernung} = \text{Zeit} \times \text{Geschwindigkeit} \]
\[ \text{Entfernung} = 5 \times 65 = \mathbf{325 \text{ Meilen}} \]
Frage 13
Ein Rechteck \( A \) mit einer Länge von 10 Zentimetern und einer Breite von 5 Zentimetern ist ähnlich einem anderen Rechteck \( B \), dessen Länge 30 Zentimeter beträgt. Finden Sie den Flächeninhalt von Rechteck \( B \).
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Da die Rechtecke ähnlich sind, ist das Verhältnis ihrer entsprechenden Seiten gleich:
\[ \dfrac{L_2}{L_1} = \dfrac{B_2}{B_1} \]
\[ \dfrac{30}{10} = \dfrac{B_2}{5} \]
\[ 3 = \dfrac{B_2}{5} \quad \Rightarrow \quad B_2 = 15 \text{ cm} \]
Berechnen Sie nun den Flächeninhalt von Rechteck \( B \):
\[ \text{Fläche}_B = 30 \times 15 = \mathbf{450 \text{ cm}^2} \]
Frage 14
Eine Schule hat 10 Klassen mit der gleichen Anzahl von Schülern in jeder Klasse. Eines Tages war das Wetter schlecht und viele Schüler fehlten. Fünf Klassen waren zur Hälfte voll, drei Klassen waren zu \( \frac{3}{4} \) voll, und \( \frac{1}{8} \) der Schüler in den letzten beiden Klassen fehlten. Insgesamt fehlten 70 Schüler. Wie viele Schüler sind in dieser Schule angemeldet?
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Sei \( x \) die Anzahl der angemeldeten Schüler in einer Klasse. Wir müssen die fehlenden Schüler als Brüche von \( x \) ausdrücken:
- 5 Klassen sind zur Hälfte voll (bedeutet \( \frac{1}{2} \) fehlen): \( 5 \times \left(\dfrac{1}{2}x\right) = \dfrac{5}{2}x \)
- 3 Klassen sind zu \( \frac{3}{4} \) voll (bedeutet \( \frac{1}{4} \) fehlen): \( 3 \times \left(\dfrac{1}{4}x\right) = \dfrac{3}{4}x \)
- 2 Klassen haben \( \frac{1}{8} \) Fehlende: \( 2 \times \left(\dfrac{1}{8}x\right) = \dfrac{2}{8}x = \dfrac{1}{4}x \)
Setzen Sie die Summe der Fehlenden gleich 70:
\[ \dfrac{5}{2}x + \dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{4}x = 70 \]
Finden Sie einen gemeinsamen Nenner (4):
\[ \dfrac{10}{4}x + \dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{4}x = \dfrac{14}{4}x = \dfrac{7}{2}x = 70 \]
Nach \( x \) auflösen:
\[ x = 70 \times \dfrac{2}{7} = 20 \text{ Schüler pro Klasse} \]
Da es 10 Klassen gibt, beträgt die Gesamtzahl der angemeldeten Schüler \( 10 \times 20 = \mathbf{200 \text{ Schüler}} \).
Frage 15
Ein großes Quadrat besteht aus 16 kongruenten Einheitsquadraten, die in einem \( 4 \times 4 \)-Gitter angeordnet sind. Wie groß ist die Gesamtzahl an Quadraten beliebiger Größe, die sich im Gitter verbergen?
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Es gibt Quadrate mit 4 verschiedenen Abmessungen. Wir zählen sie systematisch:
- 16 Quadrate der Abmessung \( 1 \times 1 \).
- 9 Quadrate der Abmessung \( 2 \times 2 \).
- 4 Quadrate der Abmessung \( 3 \times 3 \).
- 1 Quadrat der Abmessung \( 4 \times 4 \).
Gesamtzahl der Quadrate = \( 16 + 9 + 4 + 1 = \mathbf{30} \)
Frage 16
John gab die Hälfte seiner Briefmarken an Jim. Jim gab dann die Hälfte seiner Briefmarken an Carla. Carla gab \( \frac{1}{4} \) der ihr gegebenen Briefmarken an Thomas und behielt die restlichen 12. Mit wie vielen Briefmarken hat John angefangen?
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Sei \( x \) die Anzahl der Briefmarken, mit denen John begann.
Jim erhielt: \( \dfrac{1}{2}x \)
Carla erhielt: \( \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{1}{2}x\right) = \dfrac{1}{4}x \)
Carla gab \( \frac{1}{4} \) weg, was bedeutet, dass sie \( \frac{3}{4} \) von dem behielt, was sie erhalten hatte:
\[ \text{Carla behielt} = \dfrac{3}{4} \times \left(\dfrac{1}{4}x\right) = \dfrac{3}{16}x \]
Uns wird gesagt, dass sie 12 Briefmarken behielt. Also:
\[ \dfrac{3}{16}x = 12 \]
\[ x = 12 \times \dfrac{16}{3} = \mathbf{64 \text{ Briefmarken}} \]
Frage 17
Zwei Bälle A und B rotieren auf einer kreisförmigen Bahn. Ball A macht 4 volle Umdrehungen in 120 Sekunden. Ball B macht 3 volle Umdrehungen in 60 Sekunden. Wenn sie jetzt vom selben Punkt aus zu rotieren beginnen, wie lange wird es dauern, bis sie wieder am selben Startpunkt sind?
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Finden Sie zuerst die Zeit, die jeder Ball für eine volle Umdrehung benötigt.
Ball A: \( \dfrac{120}{4} = 30 \text{ Sekunden pro Umdrehung} \)
Ball B: \( \dfrac{60}{3} = 20 \text{ Sekunden pro Umdrehung} \)
Sie treffen sich am Startpunkt nach dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) ihrer Rotationszeiten.
\[ \text{kgV}(30, 20) = \mathbf{60 \text{ Sekunden}} \]
Frage 18
Ein Streckenabschnitt ist 3 Einheiten lang. Er ist in 9 gleiche Teile unterteilt. Welchen Bruchteil einer Einheit machen 2 Teile des Abschnitts aus?
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Wenn ein Abschnitt von 3 Einheiten in 9 gleiche Teile unterteilt wird, beträgt die Länge von 1 Teil:
\[ 1 \text{ Teil} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3} \text{ einer Einheit} \]
Daher entsprechen 2 Teile:
\[ 2 \times \dfrac{1}{3} = \mathbf{\dfrac{2}{3} \text{ einer Einheit}} \]
Frage 19
Ein Auto fährt 75 Kilometer pro Stunde. Wie viele Meter legt das Auto in einer Minute zurück?
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Rechnen Sie Kilometer in Meter und Stunden in Minuten um:
\[ 1 \text{ Kilometer} = 1000 \text{ Meter} \]
\[ 1 \text{ Stunde} = 60 \text{ Minuten} \]
Wenden Sie nun die Umrechnungen auf die Geschwindigkeit an:
\[ 75 \text{ km/h} = \dfrac{75 \times 1000 \text{ Meter}}{60 \text{ Minuten}} \]
\[ = \dfrac{75000}{60} = \mathbf{1250 \text{ Meter pro Minute}} \]
Frage 20
Linda gab \( \frac{3}{4} \) ihrer Ersparnisse für Möbel aus. Dann gab sie \( \frac{1}{2} \) ihrer verbleibenden Ersparnisse für einen Kühlschrank aus. Wenn der Kühlschrank sie 150 $ kostete, wie hoch waren ihre ursprünglichen Ersparnisse?
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Sei \( x \) ihre gesamten Ersparnisse. Wenn sie \( \frac{3}{4} \) ihrer Ersparnisse ausgab, hatte sie noch \( \frac{1}{4} \) übrig.
Sie gab die Hälfte dieses Restes für einen Kühlschrank aus, der 150 $ kostete:
\[ \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{1}{4}x\right) = 150 \]
\[ \dfrac{1}{8}x = 150 \]
Multiplizieren Sie beide Seiten mit 8:
\[ x = 150 \times 8 = \mathbf{1200 \$} \]
Frage 21
Der Umfang von Quadrat A ist dreimal so groß wie der Umfang von Quadrat B. Wie ist das Verhältnis des Flächeninhalts von Quadrat A zum Flächeninhalt von Quadrat B?
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Sei \( x \) die Seitenlänge von Quadrat A und \( y \) die Seitenlänge von Quadrat B. Ihre Umfänge betragen \( 4x \) und \( 4y \).
\[ 4x = 3(4y) \quad \Rightarrow \quad 4x = 12y \quad \Rightarrow \quad x = 3y \]
Das Verhältnis ihrer Flächeninhalte ist:
\[ \dfrac{\text{Fläche}_A}{\text{Fläche}_B} = \dfrac{x^2}{y^2} \]
Setzen Sie \( x = 3y \) ein:
\[ \dfrac{(3y)^2}{y^2} = \dfrac{9y^2}{y^2} = \mathbf{9} \] (Das Verhältnis ist 9:1).
Frage 22
Mary möchte eine offene rechteckige Schachtel basteln. Sie beginnt mit einem Stück Karton, dessen Länge 15 Zentimeter und dessen Breite 10 Zentimeter beträgt. Dann schneidet sie an den vier Ecken 4 kongruente Quadrate mit einer Seitenlänge von 3 Zentimetern aus und faltet ihn an den gestrichelten Linien, um die Schachtel zu formen. Welches Volumen hat die Schachtel?
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Die Höhe der Schachtel entspricht der Größe des herausgeschnittenen Quadrats (\( 3 \text{ cm} \)).
Die neue Länge ist die ursprüngliche Länge abzüglich der beiden an jeder Seite herausgeschnittenen Quadrate:
\[ \text{Länge} = 15 - 3 - 3 = 9 \text{ cm} \]
Die neue Breite ist die ursprüngliche Breite abzüglich der beiden an jeder Seite herausgeschnittenen Quadrate:
\[ \text{Breite} = 10 - 3 - 3 = 4 \text{ cm} \]
Berechnen Sie das Volumen:
\[ V = \text{Länge} \times \text{Breite} \times \text{Höhe} = 9 \times 4 \times 3 = \mathbf{108 \text{ cm}^3} \]
Frage 23
Ein kleines Quadrat der Seitenlänge \( 2x \) wird aus der Ecke eines Rechtecks herausgeschnitten, dessen Breite 10 Zentimeter und dessen Länge 20 Zentimeter beträgt. Schreiben Sie einen Ausdruck in Abhängigkeit von \( x \) für den Flächeninhalt der verbleibenden Form.
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Berechnen Sie den Gesamtflächeninhalt des ursprünglichen Rechtecks:
\[ A_{\text{Rechteck}} = \text{Länge} \times \text{Breite} = 20 \times 10 = 200 \]
Berechnen Sie die Fläche des kleinen Quadrats, das herausgeschnitten wird:
\[ A_{\text{Quadrat}} = (2x) \times (2x) = 4x^2 \]
Der verbleibende Flächeninhalt ist die Fläche des Rechtecks abzüglich der Fläche des Quadrats:
\[ \text{Verbleibender Flächeninhalt} = \mathbf{200 - 4x^2} \]
Frage 24
Wenn die Fläche eines Kreises \( 81\pi \) Quadratfuß beträgt, finden Sie seinen Umfang.
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Die Fläche eines Kreises wird durch \( \pi r^2 \) angegeben:
\[ \pi r^2 = 81\pi \]
Teilen Sie beide Seiten durch \( \pi \):
\[ r^2 = 81 \quad \Rightarrow \quad r = 9 \text{ Fuß} \]
Der Umfang ist \( 2\pi r \):
\[ C = 2\pi(9) = \mathbf{18\pi \text{ Fuß}} \]
Frage 25
Carla ist 5 Jahre alt und Jim ist 13 Jahre jünger als Peter. Vor einem Jahr war Peters Alter doppelt so groß wie die Summe von Carlas und Jims Alter. Finden Sie das aktuelle Alter von jedem von ihnen.
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Sei Peters aktuelles Alter \( P \). Damit ist Jims aktuelles Alter \( P - 13 \).
Vor einem Jahr waren sie so alt:
- Peter: \( P - 1 \)
- Carla: \( 5 - 1 = 4 \)
- Jim: \( (P - 13) - 1 = P - 14 \)
Stellen Sie die Gleichung auf der Grundlage der Bedingung von vor einem Jahr auf:
\[ P - 1 = 2 \times [4 + (P - 14)] \]
\[ P - 1 = 2(P - 10) \]
\[ P - 1 = 2P - 20 \]
Subtrahieren Sie \( P \) und addieren Sie 20 auf beiden Seiten:
\[ P = \mathbf{19} \]
Peter ist 19, Jim ist 6 (\(19 - 13\)) und Carla ist 5.
Frage 26
Lisa lief am Morgen 2,4 Kilometer und am Abend 1,75 Kilometer. Sie möchte insgesamt 6 Kilometer am Tag laufen. Wie viele Kilometer muss sie noch laufen, um ihr Ziel zu erreichen?
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Addieren Sie die Distanzen, die sie bereits gelaufen ist:
\[ 2,4 + 1,75 = 4,15 \text{ km} \]
Subtrahieren Sie dies von ihrem Gesamtziel:
\[ 6 - 4,15 = \mathbf{1,85 \text{ km}} \]
Frage 27
Für ein Rezept werden Mehl und Zucker im Verhältnis 3:2 benötigt. Wenn Sie 4 Tassen Zucker haben, wie viele Tassen Mehl benötigen Sie?
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Sei die Mehlmenge \( x \). Stellen Sie das Verhältnis auf:
\[ \dfrac{x}{4} = \dfrac{3}{2} \]
Über Kreuz multiplizieren:
\[ 2x = 12 \]
\[ x = \mathbf{6 \text{ Tassen}} \]
Frage 28
Zwei Winkel eines Dreiecks messen \( 47^\circ \) und \( 58^\circ \). Wie groß ist der dritte Winkel?
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Die Summe der Winkel in einem Dreieck beträgt immer \( 180^\circ \). Sei \( x \) der dritte Winkel.
\[ x + 47 + 58 = 180 \]
\[ x + 105 = 180 \]
\[ x = 180 - 105 = \mathbf{75^\circ} \]
Frage 29
Wenn \( 3x + 4 = 19 \), welchen Wert hat dann \( x \)?
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Subtrahieren Sie 4 von beiden Seiten:
\[ 3x = 19 - 4 \]
\[ 3x = 15 \]
Durch 3 teilen:
\[ x = \dfrac{15}{3} = \mathbf{5} \]
Frage 30
Die Temperatur betrug um 6 Uhr morgens \( -4^\circ\text{C} \). Bis zum Mittag war die Temperatur um \( 11^\circ\text{C} \) gestiegen. Dann fiel sie bis 18 Uhr um \( 6^\circ\text{C} \). Wie hoch war die Temperatur um 18 Uhr?
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Beginnen Sie bei \( -4^\circ\text{C} \) und addieren Sie den Temperaturanstieg:
\[ -4 + 11 = 7^\circ\text{C} \]
Subtrahieren Sie den Temperaturabfall:
\[ 7 - 6 = \mathbf{1^\circ\text{C}} \]
Frage 31
Amira kaufte eine Jacke für 84 $ nach einem Rabatt von 30 %. Was war der ursprüngliche Preis?
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Sei der ursprüngliche Preis \( x \). Ein Rabatt von 30 % bedeutet, dass sie 70 % des ursprünglichen Preises bezahlt hat:
\[ 100\% - 30\% = 70\% \]
\[ 0,70x = 84 \]
Durch 0,70 teilen:
\[ x = \dfrac{84}{0,70} = \mathbf{120 \$} \]
Frage 32
Die Entfernung zwischen Harry und Kate beträgt 2500 Meter. Kate und Harry beginnen aufeinander zuzugehen, und Kates Hund fängt an, mit einer Geschwindigkeit von 120 Metern pro Minute zwischen Harry und Kate hin und her zu rennen. Harry geht mit einer Geschwindigkeit von 40 Metern pro Minute, während Kate mit einer Geschwindigkeit von 60 Metern pro Minute geht. Welche Strecke wird der Hund zurückgelegt haben, wenn Harry und Kate einander treffen?
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Da sie aufeinander zugehen, ist ihre kombinierte Geschwindigkeit die Summe ihrer individuellen Geschwindigkeiten:
\[ \text{Kombinierte Geschwindigkeit} = 40 + 60 = 100 \text{ m/min} \]
Die Zeit, die sie benötigen, um sich zu treffen, ist die Entfernung geteilt durch ihre kombinierte Geschwindigkeit:
\[ \text{Zeit} = \dfrac{2500}{100} = 25 \text{ Minuten} \]
Der Hund rennt in diesen 25 Minuten ununterbrochen mit 120 Metern pro Minute. Die Gesamtstrecke, die der Hund zurücklegt, beträgt:
\[ \text{Entfernung} = 120 \text{ m/min} \times 25 \text{ min} = \mathbf{3000 \text{ Meter}} \]