Algebraische Ausdrücke mithilfe gleichartiger Terme vereinfachen - Klasse 6

Diese Seite präsentiert Beispiele und Übungsfragen für die 6. Klasse zum Addieren und Subtrahieren gleichartiger Terme in der Algebra. Fragen mit detaillierten Schritt-für-Schritt-Lösungen und klaren Erklärungen werden am Ende bereitgestellt, um Schülern zu helfen, das Vereinfachen von Ausdrücken zu meistern.

Wiederholung: Gleichartige Terme und Vereinfachen

In einem algebraischen Ausdruck sind gleichartige Terme alle Terme mit derselben Variable, die auf dieselbe Potenz erhoben wird.

Beispiele: Gleichartige Terme

1) \( 2x , \; 4x , \; x , \; \text{und } 10x \) sind alle gleichartige Terme mit den Koeffizienten \( 2, \; 4, \; 1, \; \text{und } 10 \).

Beachten Sie, dass die Koeffizienten gleichartiger Terme unterschiedlich sein können, aber die Potenz der Variable, in diesem Fall \( x \), muss gleich sein.

2) Im algebraischen Ausdruck: \[ 2x + 7x - 6 + 4x^{2} - 6x , \] sind die Terme \( 2x, \; 7x, \; \text{und } -6x \) alle gleichartige Terme, da sie dieselbe Variable \( x \) mit derselben Potenz \( 1 \) haben.

Gleichartige Terme sind wichtig, weil sie addiert und subtrahiert werden können, was zur Vereinfachung algebraischer Ausdrücke führt.

Wir addieren und/oder subtrahieren gleichartige Terme, indem wir ihre Koeffizienten addieren.


Beispiele: Algebraische Ausdrücke vereinfachen

3) Vereinfachen Sie den Ausdruck durch Addieren und Subtrahieren: \[ 3 x + 10 + 5 x - 6 x - 4 \]

Gegeben \[ 3 x + 10 + 5 x - 6 x - 4\] Verwenden Sie Klammern, um gleichartige Terme zusammenzufassen \[ = (3 x + 5 x - 6 x) + (10 - 4) \] Koeffizienten identifizieren und Variable ausklammern \[ = (3 + 5 - 6) x + (10 - 4) \] Koeffizienten und Zahlen addieren und/oder subtrahieren, um zu vereinfachen \[ = 2 x + 6 \]


4) Verwenden Sie das Distributivgesetz und addieren und subtrahieren Sie dann, um den Ausdruck \( 2(x - 3) + 3(x + 1) \) zu vereinfachen.

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um \( 2(x - 3) \) und \( 3(x + 1) \) zu erweitern: \[ 2(x - 3) = (2)(x) + (2)(-3) = 2 x - 6 \] \[ 3(x + 1) = (3)(x) + (3)(1) = 3 x + 3 \] Wir schreiben nun den gesamten Ausdruck unter Verwendung der obigen Ergebnisse: \[ 2(x - 3) + 3(x + 1) = 2 x - 6 + 3 x + 3 \] Fassen Sie gleichartige Terme zusammen: \[ = (2 x + 3 x) + ( - 6 + 3 ) = ( 2 + 3) x + ( - 6 + 3 ) = 5 x - 3 \] Beachten Sie, dass alle reellen Zahlen gleichartige Terme sind, da sie addiert und subtrahiert werden können.


Lösen Sie die folgenden Fragen (Lösungen am Ende der Seite)


  1. Was sind die gleichartigen Terme und ihre Koeffizienten in jedem der folgenden Ausdrücke?
    1. \( 7 x - 5 x + 6 + 3x \)
    2. \( 6 x + 11 x + 9 + x - 7 \)
    3. \( 3 x + 9 y + 9 x - y \)
    4. \( \dfrac{1}{3} x + (2/3) x - 3 \)

  2. Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke.
    1. \( 2 x + x \)
    2. \( 12 x - 5 x + 11 - 4 x \)
    3. \( 9 x + 11 x + 19 - x - 7 \)
    4. \( 4 x + 8 y + 10 x - 3 y \)
    5. \( x + 5 + 3 y + 6 x - x - 2 y + 6 \)
    6. \( \dfrac{1}{2} x + \dfrac{3}{2} x + 2 \)

  3. Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke und identifizieren Sie diejenigen, die die gleichen Terme haben (äquivalente Ausdrücke).
    1. \( 3 x + 3 + 4 x + 2 \)
    2. \( 4 x + 2 a + 6 x + 6a \)
    3. \( x + 2 + 3 x + 3 x + 3 \)
    4. \( x - x + 3 y \)
    5. \( 7 a + 10 x + a \)
    6. \( 4 x + 3 y - 4 x \)

  4. Verwenden Sie das Distributivgesetz und vereinfachen Sie dann die folgenden Ausdrücke.
    1. \( 3 (x + 1) + 5 x - 4 \)
    2. \( 3 (x - 1) + 2 (x + 2) + 5 x \)
    3. \( 4 (x + 2) + 2 (y + 2) + x + 3 y \)
    4. \( 3 (\dfrac{x}{3} + 1) + 2 (\dfrac{x}{2} - 1) + 3 \)

Lösungen zu den obigen Fragen

  1. Lösung


    Gleichartige Terme haben dieselbe Variable, die auf dieselbe Potenz erhoben wird. Daher
    1. Im Ausdruck \( 7x - 5x + 6 + 3x \) sind die Terme \( 7x \), \( -5x \) und \( 3x \) gleichartige Terme. Die Koeffizienten der gleichartigen Terme \( 7x \), \( -5x \) und \( 3x \) sind \( 7 \), \( -5 \) bzw. \( 3 \).
    2. Im Ausdruck \( 6x + 11x + 9 + x - 7 \) sind die Terme \( 6x \), \( 11x \) und \( x \) gleichartige Terme; \( 9 \) und \( -7 \) sind Zahlen und daher gleichartige Terme. Die Koeffizienten der gleichartigen Terme \( 6x \), \( 11x \) und \( x \) sind \( 6 \), \( 11 \) bzw. \( 1 \). Die Zahlen sind \( 9 \) und \( -7 \).
    3. Im Ausdruck \( 3x + 9y + 9x - y \) gibt es zwei Gruppen von gleichartigen Termen: 1) \( 3x \) und \( 9x \) sind gleichartige Terme. 2) \( 9y \) und \( -y \) sind gleichartige Terme. Die Koeffizienten der gleichartigen Terme \( 3x \) und \( 9x \) in Gruppe (1) sind \( 3 \) bzw. \( 9 \). Die Koeffizienten der gleichartigen Terme \( 9y \) und \( -y \) in Gruppe (2) sind \( 9 \) bzw. \( -1 \).
    4. Im Ausdruck \( \tfrac{1}{3}x + \tfrac{2}{3}x - 3 \) sind die Terme \( \tfrac{1}{3}x \) und \( \tfrac{2}{3}x \) gleichartige Terme, und ihre Koeffizienten sind \( \tfrac{1}{3} \) bzw. \( \tfrac{2}{3} \).

  2. Lösung

    Um algebraische Ausdrücke zu vereinfachen, gruppieren wir zuerst und addieren und/oder subtrahieren dann die Koeffizienten der gleichartigen Terme (siehe Beispiele oben).
    1. Gegeben: \[ 2x + x \] Koeffizienten identifizieren und ausklammern: \[ (2 + 1)x \] Vereinfachen: \[ 3x \]
    2. Gegeben: \[ 12x - 5x + 11 - 4x \] Gleichartige Terme gruppieren: \[ (12x - 5x - 4x) + 11 \] \(x\) ausklammern: \[ (12 - 5 - 4)x + 11 \] Vereinfachen: \[ 3x + 11 \]
    3. Gegeben: \[ 9x + 11x + 19 - x - 7 \] Gleichartige Terme gruppieren: \[ (9x + 11x - x) + (19 - 7) \] \(x\) ausklammern: \[ (9 + 11 - 1)x + (19 - 7) \] Vereinfachen: \[ 19x + 12 \]
    4. Gegebener Ausdruck hat zwei Variablen: \[ 4x + 8y + 10x - 3y \] Gleichartige Terme gruppieren: \[ (4x + 10x) + (8y - 3y) \] \(x\) und \(y\) ausklammern: \[ (4 + 10)x + (8 - 3)y \] Vereinfachen: \[ 14x + 5y \]
    5. Gegebener Ausdruck hat zwei Variablen: \[ x + 5 + 3y + 6x - x - 2y + 6 \] Gleichartige Terme gruppieren: \[ (x + 6x - x) + (3y - 2y) + (5 + 6) \] \(x\) und \(y\) ausklammern: \[ (1 + 6 - 1)x + (3 - 2)y + (5 + 6) \] Vereinfachen: \[ 6x + y + 11 \]
    6. Gegebener Ausdruck hat Brüche: \[ \tfrac{1}{2}x + \tfrac{3}{2}x + 2 \] Gleichartige Terme gruppieren: \[ \left(\tfrac{1}{2}x + \tfrac{3}{2}x\right) + 2 \] \(x\) ausklammern: \[ \left(\tfrac{1}{2} + \tfrac{3}{2}\right)x + 2 \] Vereinfachen: \[ \tfrac{4}{2}x + 2 = 2x + 2 \]


  3. Lösung


    Wir vereinfachen zuerst die gegebenen Ausdrücke (siehe Übung 2 oben)
    1. \(3x + 3 + 4x + 2 = (3x + 4x) + (3 + 2) = (3 + 4)x + (3 + 2) = 7x + 5\)
    2. \(4x + 2a + 6x + 6a = (4x + 6x) + (2a + 6a) = (4 + 6)x + (2 + 6)a = 10x + 8a\)
    3. \(x + 2 + 3x + 3x + 3 = (x + 3x + 3x) + (2 + 3) = (1 + 3 + 3)x + (2 + 3) = 7x + 5\)
    4. \(x - x + 3y = (1 - 1)x + 3y = 0x + 3y = 0 + 3y = 3y\)
    5. \(7a + 10x + a = (7a + a) + 10x = (7 + 1)a + 10x = 8a + 10x\)
    6. \(4x + 3y - 4x = (4x - 4x) + 3y = (4 - 4)x + 3y = 0x + 3y = 0 + 3y = 3y\)

    Schlussfolgerung
    Die Ausdrücke in Teil a) und c) sind äquivalent;
    die Ausdrücke in Teil b) und e) sind äquivalent
    und die Ausdrücke in Teil d) und f) sind äquivalent.

  4. Lösung

    Wir verwenden zuerst das Distributivgesetz, um die Klammern aufzulösen, und vereinfachen dann.

    1. Gegeben: \[ 3 (x + 1) + 5x - 4 \] Distributivgesetz anwenden: \[ = (3)(x) + (3)(1) + 5x - 4 \] Multiplizieren und vereinfachen: \[ = 3x + 3 + 5x - 4 \] Klammern verwenden, um gleichartige Terme zu gruppieren: \[ = (3x + 5x) + (3 - 4) \] Koeffizienten identifizieren und \( x \) ausklammern: \[ = (3 + 5)x + (3 - 4) \] Vereinfachen: \[ = 8x - 1 \]
    2. Gegeben: \[ 3 (x - 1) + 2 (x + 2) + 5x \] Distributivgesetz anwenden: \[ = (3)(x) + (3)(-1) + (2)(x) + (2)(2) + 5x \] Multiplizieren und vereinfachen: \[ = 3x - 3 + 2x + 4 + 5x \] Klammern verwenden, um gleichartige Terme zu gruppieren: \[ = (3x + 2x + 5x) + (-3 + 4) \] Koeffizienten identifizieren und \( x \) ausklammern: \[ = (3 + 2 + 5)x + (-3 + 4) \] Vereinfachen: \[ = 10x + 1 \]
    3. Gegeben: \[ 4 (x + 2) + 2 (y + 2) + x + 3y \] Distributivgesetz anwenden: \[ = (4)(x) + (4)(2) + (2)(y) + (2)(2) + x + 3y \] Multiplizieren und vereinfachen: \[ = 4x + 8 + 2y + 4 + x + 3y \] Klammern verwenden, um gleichartige Terme zu gruppieren: \[ = (4x + x) + (2y + 3y) + (8 + 4) \] Koeffizienten identifizieren und Variablen ausklammern: \[ = (4 + 1)x + (2 + 3)y + (8 + 4) \] Vereinfachen: \[ = 5x + 5y + 12 \]
    4. Gegeben: \[ 3 \left(\dfrac{x}{3} + 1\right) + 2 \left(\dfrac{x}{2} - 1\right) + 3 \] Distributivgesetz anwenden: \[ = (3)\left(\dfrac{x}{3}\right) + (3)(1) + (2)\left(\dfrac{x}{2}\right) + (2)(-1) + 3 \] Multiplizieren und vereinfachen: \[ = \dfrac{3x}{3} + 3 + \dfrac{2x}{2} - 2 + 3 \] Klammern verwenden, um gleichartige Terme zu gruppieren: \[ = \left(\dfrac{3x}{3} + \dfrac{2x}{2}\right) + (3 - 2 + 3) \] Koeffizienten identifizieren und \( x \) ausklammern: \[ = \left(\dfrac{3}{3} + \dfrac{2}{2}\right) x + (3 - 2 + 3) \] Vereinfachen: \[ = (1 + 1) x + 4 = 2x + 4 \]

Weitere Referenzen und Links