Terme in algebraischen Ausdrücken - Klasse 6

Beispiele und Fragen der 6. Klasse zu Termen in algebraischen Ausdrücken, mit detaillierten Lösungen und Erklärungen, werden vorgestellt.

Algebraischer Ausdruck

Definition: Ein algebraischer Ausdruck besteht aus einem oder mehreren Termen und jeder Term ist entweder eine vorzeichenbehaftete Zahl oder eine vorzeichenbehaftete Zahl multipliziert mit einer oder mehreren Variablen, die mit einer bestimmten Potenz versehen sind.
Beispiel 1
\(2x + 4\) wird als algebraischer Ausdruck bezeichnet
er hat zwei Terme \(2x\) und \(4\)
Beispiel 2
\(-3x^{2} - x - 6\) ist ein weiterer Ausdruck und hat 3 Terme: \(-3x^{2}\) , \(-x\) und \(-6\)
Beispiel 3
\(-5xy - \frac{3}{4}x + y - 7\) ist ein weiterer Ausdruck und hat 4 Terme: \(-5xy\), \(-\frac{3}{4}x\), \(y\) und \(-7\)
Hinweis
Terme ohne Variable wie \(4\), \(-6\) und \(-7\) werden konstante Terme genannt.

Grad eines Terms

Definition: Der Grad eines Terms ist die Summe aller Potenzen der Variablen in diesem Term.
a) Der Grad des Terms \(2x\) ist 1, weil \(2x\) \(2x^{1}\) bedeutet und 1 die Potenz von \(x\) ist.
b) Der Grad des Terms \(-3x^{2}\) ist 2, weil 2 die Potenz von \(x\) ist.
c) Der Grad des Terms \(-5xy\) in Beispiel 3 ist 2, weil die Potenz von \(x\) 1 ist und die Potenz von \(y\) 1 ist und der Grad des Terms die Summe der beiden Potenzen ist.
d) Der Grad des Terms \(-x^{2}y\) ist 3, weil die Potenz von \(x\) 2 ist und die Potenz von \(y\) 1 ist und der Grad des Terms die Summe der beiden Potenzen ist.
e) Der Grad eines konstanten Terms wie \(4\), \(-6\) und \(-7\) ist Null.

Koeffizient eines Terms

Definition: Der Koeffizient eines Terms ist die vorzeichenbehaftete Zahl, die den Term multipliziert.
a) Der Koeffizient des Terms \(2x\), der als \((2)x\) geschrieben werden kann, ist 2.
b) Der Koeffizient des Terms \(-3x^{2}\), der als \((-3)x^{2}\) geschrieben werden kann, ist \(-3\).
c) Der Koeffizient des Terms \(-x\), der als \((-1)x\) geschrieben werden kann, ist \(-1\).
d) Der Koeffizient des Terms \(y\), der als \((1)y\) geschrieben werden kann, ist \(1\).

Gleichartige Terme

Definition: Gleichartige Terme sind Terme mit denselben Variablen, die mit derselben Potenz potenziert werden. Konstante Terme sind gleichartig.
a) Im Ausdruck \(2x + 3y - 5x + 4 - 6y + 7\)
\(2x\) und \(-5x\) sind gleichartige Terme: gleiche Variable \(x\) zur gleichen Potenz 1.
\(3y\) und \(-6y\) sind gleichartige Terme: gleiche Variable \(y\) zur gleichen Potenz 1.
\(4\) und \(7\) sind Konstanten und daher gleichartige Terme.
b) Im Ausdruck \(2xy - 3yx - 5x^{2} + 4 - 6y^{2} + 7\)
\(2xy\) und \(-3yx\) sind die einzigen gleichartigen Terme.
c) Im Ausdruck \(9x^{2}y + 6yx + 5x^{2}y + 4 + 4y^{2}\)
\(9x^{2}y\) und \(5x^{2}y\) sind die einzigen gleichartigen Terme.

Beantworte die folgenden Fragen

Liste alle Terme auf und gib den Koeffizienten und den Grad für jeden im algebraischen Ausdruck unten an.
1. \(2x + 2\)
2. \(x + 5y - 9\)
3. \(-x - y - 7\)
4. \(2x^{2} - 9\)
5. \(-xy^{2} - 9x + 6\)
6. \(x^{2}y^{2} - 6x^{3} + 8\)
Äquivalente Ausdrücke haben dieselben Terme. Welche der folgenden Ausdrücke sind äquivalent?
1. \(2x + 2y - 3\)
2. \(2x^{2} - 9\)
3. \(2y^{2} + 2x - 3\)
4. \(-9 + 2x^{2}\)
5. \(2y - 3 + 2x\)
6. \(3 + 2y^{2} + 8x\)
7. \(8x - 3 - 2y^{2}\)
8. \(-3 - 2y^{2} + 8x\)
9. \(-3 + 2y + 2x\)
Liste alle gleichartigen Terme in jedem der folgenden Ausdrücke auf?
1. \(2x - 2y + 10\)
2. \(8x - 5y + 7 - 2x\)
3. \(2x + 2y + 7 + 3x + 6y - 8\)
4. \(x + 7 - x + 4\)
5. \(2x^{2} + 5 - x^{2} - 3\)
6. \(2y^{2}x - yx + 6 + 5xy^{2} + 3xy - 3\)

Lösungen zu den obigen Fragen

Lösung
Terme werden durch Operatoren getrennt. Der Koeffizient und der Grad eines Terms wurden oben definiert.

Ausdruck	Terme im Ausdruck	Terme mit hervorgehobenen Koeffizienten und Exponenten	Koeffizient jedes Terms (rot)	Grad jedes Terms (blau)
\(2x + 2\)	\(2x\) \(+2\)	\((2)x^{1}\) \(+2\)	2 konstanter Term	1 0
\(x + 5y - 9\)	\(x\) \(+5y\) \(-9\)	\((1)x^{1}\) \((+5)y^{1}\) \(-9\)	1 +5 konstanter Term	1 1 0
\(-x - y - 7\)	\(-x\) \(-y\) \(-7\)	\((-1)x^{1}\) \((-1)y^{1}\) \(-7\)	-1 -1 konstanter Term	1 1 0
\(2x^{2} - 9\)	\(2x^{2}\) \(-9\)	\((2)x^{2}\) \(-9\)	2 konstanter Term	2 0
\(-xy^{2} - 9x + 6\)	\(-xy^{2}\) \(-9x\) \(+6\)	\((-1)x^{1}y^{2}\) \((-9)x^{1}\) \(+6\)	-1 -9 konstanter Term	1 + 2 = 3 1 0
\(x^{2}y^{2} - 6x^{3} + 8\)	\(x^{2}y^{2}\) \(-6x^{3}\) \(+8\)	\((1)x^{2}y^{2}\) \((-6)x^{3}\) \(+8\)	1 -6 konstanter Term	2+2 = 4 3 0

Lösung
Um algebraische Ausdrücke zu vergleichen, ordnen wir sie zuerst vom Term mit dem höchsten Grad zum niedrigsten.

Ausdruck	geordnet
a) \(2x + 2y - 3\)	= \(2x + 2y - 3\)
b) \(2x^{2} - 9\)	= \(2x^{2} - 9\)
c) \(2y^{2} + 2x - 3\)	= \(2y^{2} + 2x - 3\)
d) \(-9 + 2x^{2}\)	= \(2x^{2} - 9\)
e) \(2y - 3 + 2x\)	= \(2x + 2y - 3\)
f) \(3 + 2y^{2} + 8x\)	= \(2y^{2} + 8x + 3\)
g) \(8x - 3 - 2y^{2}\)	= \(-2y^{2} + 8x - 3\)
h) \(-3 - 2y^{2} + 8x\)	= \(-2y^{2} + 8x - 3\)
i) \(-3 + 2y + 2x\)	= \(2x + 2y - 3\)

Wir verwenden nun die geordneten Ausdrücke auf der rechten Seite, um die gegebenen Ausdrücke auf der linken Seite der Tabelle zu vergleichen.

Die Ausdrücke a), e) und i) sind äquivalent.

Die Ausdrücke b) und d) sind äquivalent.

Die Ausdrücke g) und h) sind äquivalent.

Die Ausdrücke c) und f) haben kein Äquivalent.

Lösung
Gleichartige Terme haben dieselbe Variable mit denselben Exponenten. Zahlen sind gleichartige Terme.

Ausdruck	gleichartige Terme in Gruppen
a) \(2x - 2y + 10\)	keine gleichartigen Terme in diesem Ausdruck
b) \(8x - 5y + 7 - 2x\)	\(8x\) , \(-2x\) sind gleichartige Terme
c) \(2x + 2y + 7 + 3x + 6y - 8\)	\(2x\) und \(3x\) sind gleichartige Terme \(2y\) und \(6y\) sind gleichartige Terme \(7\) und \(-8\) sind gleichartige Terme
d) \(x + 7 - x + 4\)	\(x\) und \(-x\) sind gleichartige Terme
e) \(2x^{2} + 5 - x^{2} - 3\)	\(2x^{2}\) und \(-x^{2}\) sind gleichartige Terme \(+5\) und \(-3\) sind gleichartige Terme
f) \(2y^{2}x - yx + 6 + 5xy^{2} + 3xy - 3\)	\(2y^{2}x\) und \(+5xy^{2}\) \(-yx\) und \(+3xy\) sind gleichartige Terme \(6\) und \(-3\) sind gleichartige Terme