Klasse 7 Algebra Fragen und Aufgaben mit Lösungen

Ersetzen Sie jede Variable durch ihren gegebenen numerischen Wert, wenden Sie die Vorrangregeln (Punkt vor Strich etc.) an und vereinfachen Sie.

1. \(12 (-1)^3 + 5 (-1)^2 + 4 (-1) - 6 = 12(-1) + 5(1) - 4 - 6 = -12 + 5 - 4 - 6 = \mathbf{-17}\)
2. \(2 (2)^2 + 3 (-2)^3 - 10 = 2(4) + 3(-8) - 10 = 8 - 24 - 10 = \mathbf{-26}\)
3. \(\dfrac{-2(2) - 1}{2 + 3} = \dfrac{-4 - 1}{5} = \dfrac{-5}{5} = \mathbf{-1}\)
4. \(2 + 2|(-4) - 4| = 2 + 2|-8| = 2 + 2 \times 8 = 2 + 16 = \mathbf{18}\)

Verwenden Sie das Distributivgesetz \(a(b + c) = ab + ac\), um die Ausdrücke auszumultiplizieren, und fassen Sie dann gleichartige Terme zusammen.

1. \(-2(x - 8) + 3(x - 7) = -2x + 16 + 3x - 21\)
   \(= (-2x + 3x) + (16 - 21) = \mathbf{x - 5}\)
2. \(2(a + 1) + 5b + 3(a + b) + 3 = 2a + 2 + 5b + 3a + 3b + 3\)
   \(= (2a + 3a) + (5b + 3b) + (2 + 3) = \mathbf{5a + 8b + 5}\)
3. \(a(b + 3) + b(a - 2) + 2a - 5b + 8 = ab + 3a + ba - 2b + 2a - 5b + 8\)
   \(= (ab + ba) + (3a + 2a) + (-2b - 5b) + 8 = \mathbf{2ab + 5a - 7b + 8}\)
4. \(\dfrac{1}{2}(4x + 4) + \dfrac{1}{3}(6x + 12) = 2x + 2 + 2x + 4\)
   \(= (2x + 2x) + (2 + 4) = \mathbf{4x + 6}\)
5. \(4(-x + 2 - 3(x - 2)) = -4x + 8 - 12x + 24\)
   \(= (-4x - 12x) + (8 + 24) = \mathbf{-16x + 32}\)

Vereinfachen Sie mithilfe der Bruchrechenregeln (Addition, Multiplikation und Division).

1. \(\dfrac{x}{y} + \dfrac{4}{y} = \mathbf{\dfrac{x + 4}{y}}\)
2. \(\left(\dfrac{2x}{4}\right) \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{2x \times 1}{4 \times 2} = \dfrac{2x}{8} = \mathbf{\dfrac{x}{4}}\)
3. \(\dfrac{3x}{5} \div \dfrac{x}{5} = \dfrac{3x}{5} \times \dfrac{5}{x} = \dfrac{15x}{5x} = \mathbf{3}\)

Verwenden Sie die Multiplikations- und Divisionsregeln für Potenzen (Exponenten addieren bei Multiplikation gleicher Basen, subtrahieren bei Division).

1. \(3 x^{2} \times 5 x^{3} = (3 \times 5) x^{2 + 3} = \mathbf{15 x^{5}}\)
2. \(\dfrac{(2 y)^4 \cdot 9 x^3}{4 y^4 (3 x)^2} = \dfrac{16 y^4 \cdot 9 x^3}{4 y^4 \cdot 9 x^2} = \dfrac{16 \times 9}{4 \times 9} y^{4 - 4} x^{3 - 2} = \mathbf{4x}\)

Finden Sie den größten gemeinsamen Teiler (ggT) und faktorisieren Sie die Ausdrücke, indem Sie das Distributivgesetz rückwärts anwenden (Ausklammern).

1. \(9x - 3 = 3 \times 3x - 3 \times 1 = \mathbf{3(3x - 1)}\)
2. \(24x + 18y = 6 \times 4x + 6 \times 3y = \mathbf{6(4x + 3y)}\)
3. \(bx + dx = \mathbf{x(b + d)}\)

Lösen Sie die Gleichungen Schritt für Schritt, indem Sie Umkehroperationen ausführen, um \(x\) zu isolieren.

1. \[ \begin{aligned} 2x + 5 &= 11 \\ 2x &= 6 \\ x &= \mathbf{3} \end{aligned} \]
2. \[ \begin{aligned} 3x &= \dfrac{6}{5} \\ 15x &= 6 \quad \text{(beide Seiten mit 5 multiplizieren)} \\ x &= \dfrac{6}{15} = \mathbf{\dfrac{2}{5}} \end{aligned} \]
3. \[ \begin{aligned} 3(2x + 2) + 2 &= 20 \\ 6x + 6 + 2 &= 20 \\ 6x + 8 &= 20 \\ 6x &= 12 \\ x &= \mathbf{2} \end{aligned} \]

Schreiben Sie wiederholte Multiplikationsprodukte mit Potenzen.

\[3 \times a \times a \times a - 5 \times b \times b = \mathbf{3 a^3 - 5 b^2}\]

Verwenden Sie die Umfangsformel \(U = 2 \times \text{Länge} + 2 \times \text{Breite}\), setzen Sie die Ausdrücke und den bekannten Umfang ein und lösen Sie nach \(x\) auf.

\[ \begin{aligned} 2(2x + 3) + 2(x + 1) &= 32 \\ 4x + 6 + 2x + 2 &= 32 \\ 6x + 8 &= 32 \\ 6x &= 24 \\ x &= \mathbf{4} \end{aligned} \]

Verwenden Sie die Flächeninhaltsformel \(A = \text{Breite} \times \text{Länge}\), setzen Sie die bekannten Werte ein und lösen Sie auf.

\[ \begin{aligned} 3(2x - 1) &= 27 \\ 6x - 3 &= 27 \\ 6x &= 30 \\ x &= \mathbf{5} \end{aligned} \]

Da 45 % männlich sind, sind \( 100\% - 45\% = 55\% \) weiblich.

Berechnen Sie das Verhältnis von Frauen zu Männern.

\[ \text{Verhältnis} = \dfrac{55\%}{45\%} = \dfrac{55}{45} = \mathbf{\dfrac{11}{9}} \]

Verwenden Sie die Formel: \(\text{Strecke} = \text{Zeit} \times \text{Geschwindigkeit}\).

\[ \begin{aligned} 300 &= 3(x + 30) \\ 300 &= 3x + 90 \\ 210 &= 3x \\ x &= \mathbf{70} \end{aligned} \]

Lösen Sie die Proportion durch Überkreuzmultiplikation.

\[ \begin{aligned} \dfrac{4}{5} &= \dfrac{a}{16} \\ 4 \times 16 &= 5 \times a \\ 64 &= 5a \\ a &= \dfrac{64}{5} = \mathbf{12,8} \end{aligned} \]

Setzen Sie das geordnete Paar \(x = 2\) und \(y = a + 2\) in die gegebene Gleichung ein und lösen Sie nach \(a\) auf.

\[ \begin{aligned} 2(2) + 2(a + 2) &= 10 \\ 4 + 2a + 4 &= 10 \\ 2a + 8 &= 10 \\ 2a &= 2 \\ a &= \mathbf{1} \end{aligned} \]

Listen Sie alle Teiler von 25 und 45 auf.

Teiler von 25 sind: 1, 5, 25

Teiler von 45 sind: 1, 3, 5, 9, 15, 45

Der größte gemeinsame Teiler von 25 und 45 ist \(5\).

\[ \mathbf{1.234.750.002} \]

dreihundertdreiundneunzig Milliarden zweihundertvierunddreißig Millionen vierunddreißig

Finden Sie die ersten paar Vielfachen von 15 und 35, bis Sie ein gemeinsames haben:

Vielfache von 15: \(15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, \ldots\)

Vielfache von 35: \(35, 70, 105, 140, \ldots\)

Wählen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV):

Das kgV ist \(105\).

\(\dfrac{2}{3}\) von \(x\) ist 30 wird mathematisch wie folgt geschrieben:

\[ \dfrac{2}{3} \times x = 30 \]

Multiplizieren Sie mit 3 und vereinfachen Sie:

\[ 2x = 90 \]

Nach \(x\) auflösen:

\[ x = 90 \div 2 = \mathbf{45} \]

20 % von \(\dfrac{1}{3}\) wird geschrieben als:

\[ 20\% \times \dfrac{1}{3} \]

Verwenden Sie das Bruchäquivalent \( 20\% = \dfrac{20}{100} \) zur Vereinfachung:

\[ = \dfrac{20}{100} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{20}{300} = \mathbf{\dfrac{1}{15}} \]

Sei die kleinere Zahl \( x \). Dann ist die größere Zahl \( x + 17 \).

Ihre Summe ist als 69 gegeben, daher: \[ x + (x + 17) = 69 \]

Vereinfachen: \[ 2x + 17 = 69 \]

Subtrahieren Sie 17 von beiden Seiten: \[ 2x = 52 \]

Teilen Sie beide Seiten durch 2, um nach \( x \) aufzulösen: \[ x = 26 \]

Die größere Zahl ist also: \[ x + 17 = 26 + 17 = \mathbf{43} \]

Wandeln Sie alle Werte in Dezimalzahlen um und ordnen Sie sie:

\[ \begin{aligned} \dfrac{12}{5} &= 2,4 \\ 250\% = \dfrac{250}{100} &= 2,5 \\ \dfrac{21}{10} &= 2,1 \\ 2,3 &= 2,3 \end{aligned} \]

Von der kleinsten zur größten Zahl ordnen (2,1; 2,3; 2,4; 2,5):

\( \mathbf{\dfrac{21}{10}; 2,3; \dfrac{12}{5}; 250\%} \)

Seien \( x \), \( x + 1 \) und \( x + 2 \) die 3 aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen.

Die Summe der drei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen beträgt 96, daher:

\[ x + (x + 1) + (x + 2) = 96 \]

Gleichartige Terme gruppieren:

\[ \begin{aligned} 3x + 3 &= 96 \\ 3x &= 93 \\ x &= 31 \end{aligned} \]

Die größte dieser Zahlen ist \( x + 2 \):

\[ x + 2 = 31 + 2 = \mathbf{33} \]

Sei \(x\) die Punktzahl in Geografie. Chemie ist \(2x\). Der Durchschnitt der 4 Kurse ist 79:

\[ \dfrac{93 + 88 + x + 2x}{4} = 79 \]

Gleichartige Terme im Zähler gruppieren:

\[ \dfrac{3x + 181}{4} = 79 \]

Beide Seiten mit 4 multiplizieren und vereinfachen:

\[ \begin{aligned} 3x + 181 &= 316 \\ 3x &= 135 \\ x &= 45 \end{aligned} \]

Seine Punktzahl in Geografie ist \(x = \mathbf{45}\).

Seine Punktzahl in Chemie ist \(2x = 2(45) = \mathbf{90}\).

Sei \(x\) die Punktzahl in Englisch.

Die Punktzahl in Mathe ist: \( x + 7 \)

Die Punktzahl in Physik ist 5 mehr als in Mathe: \( (x + 7) + 5 = x + 12 \).

Linda erzielte insgesamt 265 Punkte:

\[ x + (x + 7) + (x + 12) = 265 \]

Gleichartige Terme gruppieren und vereinfachen:

\[ \begin{aligned} 3x + 19 &= 265 \\ 3x &= 246 \\ x &= 246 \div 3 = 82 \end{aligned} \]

Die Punktzahl in Englisch ist \( x = \mathbf{82} \)

Die Punktzahl in Mathe ist \( x + 7 = 82 + 7 = \mathbf{89} \)

Die Punktzahl in Physik ist \( x + 12 = 82 + 12 = \mathbf{94} \)

Jedes Fahrrad hat 2 Räder, daher ist die Anzahl der Fahrräder:

\[ \dfrac{100}{2} = \mathbf{50} \text{ Fahrräder} \]

Die Anzahl der Autoräder ist die Gesamtzahl abzüglich der Fahrradräder:

\[ 300 - 100 = 200 \text{ Autoräder} \]

Jedes Auto hat 4 Räder, daher ist die Anzahl der Autos:

\[ \dfrac{200}{4} = \mathbf{50} \text{ Autos} \]