Lernen Sie wie man kreuzmultipliziert, um algebraische Gleichungen mit Brüchen zu lösen und zu überprüfen, ob zwei Brüche äquivalent sind. Diese Seite bietet klare Beispiele, Schritt-für-Schritt-Erklärungen und Übungsfragen mit ihren ausführlichen Lösungen, um Schülern, Eltern und Lehrern zu helfen, diese wichtige mathematische Fähigkeit zu meistern.
Beispiel: Betrachten wir die Gleichung: \[ \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \] Gleichungen mit Brüchen wie die obige sind manchmal schwer zu lösen wegen der Nenner. Finden wir eine äquivalente Gleichung ohne Nenner.
Schritt 1: Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit dem Produkt der Nenner \( b \times d \): \[ b \times d \times \dfrac{a}{b} = b \times d \times \dfrac{c}{d} \]
Schritt 2: Vereinfachen Sie beide Seiten: \[ \cancel{b} \times d \times \dfrac{a}{\cancel{b}} \;=\; b \times \cancel{d} \times \dfrac{c}{\cancel{d}} \]
Schritt 3: Schreiben Sie ohne Nenner um: \[ a \times d = b \times c \] Die obige Methode, eine Gleichung mit Brüchen in eine Gleichung ohne Brüche umzuwandeln, nennt man Kreuzmultiplikation.
Beispiel 2: Lösen Sie die Gleichung \[ \dfrac{x}{3} = \dfrac{10}{6} \]
Schritt 1: Kreuzmultiplizieren, um die Nenner zu eliminieren: \[ 6 \times x = 3 \times 10 \]
Schritt 2: Teilen Sie beide Seiten durch den Koeffizienten von \( x \) (der 6 ist): \[ \dfrac{6 \times x}{6} = \dfrac{3 \times 10}{6} \]
Schritt 3: Vereinfachen Sie, um \( x \) zu finden: \[ x = 5 \]
Kreuzmultiplikation kann verwendet werden, um zu überprüfen, ob zwei Brüche äquivalent sind.Beispiel 3: Sind die Brüche \[ \dfrac{4}{3} \quad \text{und} \quad \dfrac{12}{9} \] äquivalent?
Schritt 1: Kreuzmultiplizieren: \[ 4 \times 9 = 36 \qquad \text{und} \qquad 3 \times 12 = 36 \]
Schritt 2: Vergleichen Sie die Ergebnisse. Da beide Produkte gleich sind, sind die Brüche äquivalent. Somit können wir schreiben: \[ \dfrac{4}{3} = \dfrac{12}{9} \]
Die folgenden Übungen mit Lösungen und Erklärungen befassen sich alle mit der Anwendung der Kreuzmultiplikation.