Lernen Sie, wie man über Kreuz multipliziert, um algebraische Gleichungen mit Brüchen zu lösen und um zu überprüfen, ob zwei Brüche äquivalent (gleichwertig) sind. Diese Seite bietet klare Beispiele, Schritt-für-Schritt-Erklärungen und Übungsfragen mit detaillierten Lösungen, um Schülern, Eltern und Lehrern zu helfen, diese wichtige mathematische Fähigkeit zu beherrschen.
Betrachten wir die folgende Gleichung:
\[ \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \]
Gleichungen mit Brüchen wie die obige sind aufgrund der Nenner manchmal schwierig zu lösen. Lassen Sie uns eine äquivalente Gleichung ohne Nenner finden.
Die obige Methode, eine Gleichung mit Brüchen in eine Gleichung ohne Brüche umzuwandeln, wird Kreuzmultiplikation genannt.
Beispiel 1: Löse die Gleichung \[ \dfrac{x}{3} = \dfrac{10}{6} \]
Schritt 1: Multipliziere über Kreuz, um die Nenner zu eliminieren:
\[ 6 \times x = 3 \times 10 \]
Schritt 2: Teile beide Seiten durch den Koeffizienten von \( x \) (dieser ist 6):
\[ \dfrac{6 \times x}{6} = \dfrac{30}{6} \]
Schritt 3: Vereinfache, um \( x \) zu finden:
\[ x = 5 \]
Beispiel 2: Sind die Brüche \( \dfrac{4}{3} \) und \( \dfrac{12}{9} \) äquivalent?
Schritt 1: Über Kreuz multiplizieren:
\[ 4 \times 9 = 36 \qquad \text{und} \qquad 3 \times 12 = 36 \]
Schritt 2: Vergleiche die Ergebnisse. Da beide Produkte gleich sind, sind die Brüche äquivalent. Somit können wir schreiben:
\[ \dfrac{4}{3} = \dfrac{12}{9} \]
In den folgenden Übungen geht es darum, mithilfe der Kreuzmultiplikation nach Variablen aufzulösen und die Äquivalenz von Brüchen zu überprüfen.
Löse die Gleichung: \( \dfrac{x}{6} = \dfrac{3}{2} \)
Verwende die Kreuzmultiplikation, um die Gleichung umzuschreiben:
\[ 2 \times x = 3 \times 6 \]
Vereinfachen:
\[ 2x = 18 \]
Teile beide Seiten durch 2:
\[ \frac{2x}{2} = \frac{18}{2} \implies \mathbf{x = 9} \]
Löse die Gleichung: \( \dfrac{1}{3x} = \dfrac{2}{24} \)
Multipliziere Nenner und Zähler über Kreuz:
\[ 1 \times 24 = 3x \times 2 \]
Vereinfachen:
\[ 24 = 6x \]
Teile beide Seiten durch 6:
\[ x = \frac{24}{6} \implies \mathbf{x = 4} \]
Löse die Gleichung: \( \dfrac{3}{2} = \dfrac{12}{4x} \)
Verwende die Kreuzmultiplikation:
\[ 3 \times 4x = 2 \times 12 \]
Vereinfachen:
\[ 12x = 24 \]
Teile beide Seiten durch 12:
\[ x = \frac{24}{12} \implies \mathbf{x = 2} \]
Löse die Gleichung: \( \dfrac{4}{6} = \dfrac{x}{9} \)
Über Kreuz multiplizieren:
\[ 4 \times 9 = 6 \times x \]
Vereinfache und löse nach \(x\) auf:
\[ 36 = 6x \implies x = \frac{36}{6} \implies \mathbf{x = 6} \]
Löse die Gleichung: \( 2 = \dfrac{x}{14} \)
Drücke 2 als Bruch aus (\(\frac{2}{1}\)) und multipliziere über Kreuz:
\[ \frac{2}{1} = \frac{x}{14} \]
Über Kreuz multiplizieren:
\[ 2 \times 14 = 1 \times x \]
Vereinfachen:
\[ \mathbf{28 = x} \]
Löse die Gleichung: \( \dfrac{2}{x+2} = \dfrac{1}{7} \)
Über Kreuz multiplizieren:
\[ 2 \times 7 = (x + 2) \times 1 \]
Vereinfache und löse nach \(x\) auf:
\[ 14 = x + 2 \]
\[ x = 14 - 2 \implies \mathbf{x = 12} \]
Welche der folgenden Bruchpaare sind äquivalent (gleichwertig)?
Definition: Damit zwei Brüche äquivalent sind, müssen ihre Kreuzmultiplikationswerte gleich sein.
a) \( \dfrac{5}{6} \) und \( \dfrac{15}{18} \)
\( A = 5 \times 18 = 90 \)
\( B = 6 \times 15 = 90 \)
Da \(A = B\), sind die Brüche äquivalent (\( \frac{5}{6} = \frac{15}{18} \)).
b) \( \dfrac{5}{3} \) und \( \dfrac{20}{13} \)
\( A = 5 \times 13 = 65 \)
\( B = 3 \times 20 = 60 \)
Da \(A \neq B\), sind die Brüche nicht äquivalent.
c) \( \dfrac{25}{35} \) und \( \dfrac{5}{7} \)
\( A = 25 \times 7 = 175 \)
\( B = 35 \times 5 = 175 \)
Da \(A = B\), sind die Brüche äquivalent (\( \frac{25}{35} = \frac{5}{7} \)).
d) \( \dfrac{23}{7} \) und \( \dfrac{46}{17} \)
\( A = 23 \times 17 = 391 \)
\( B = 7 \times 46 = 322 \)
Da \(A \neq B\), sind die Brüche nicht äquivalent.