Verhältnisse in der Mathematik finden - Übungen & Lösungen für die 7. Klasse

Zu verstehen, wie man ein Verhältnis findet, ist eine wesentliche mathematische Fähigkeit, die verwendet wird, um verschiedene Mengen zu vergleichen und Proportionen in realen Situationen zu verstehen.

Diese Seite bietet eine klare Lektion über Verhältnisse und Übungsfragen für die 7. Klasse. Jede Frage enthält eine detaillierte, schrittweise Lösung, um Schülern, Lehrern und Eltern zu helfen, das Konzept sicher zu beherrschen.

Was ist ein Verhältnis in der Mathematik und wo werden sie benötigt?

In der Mathematik wird ein Verhältnis verwendet, um Mengen zu vergleichen. Verhältnisse können auf drei gängige Arten ausgedrückt werden: als Bruch, mit einem Doppelpunkt (:) oder mit dem Wort "zu".

Beispiel 1: Jungen und Mädchen in einem Klassenzimmer

Szenario: Es gibt 8 Jungen und 6 Mädchen in einem Klassenzimmer. Finde das Verhältnis von:

  1. Jungen zu Mädchen
  2. Mädchen zu Jungen
  3. Jungen zur Gesamtzahl
  4. Mädchen zur Gesamtzahl

Schritt-für-Schritt-Lösungen:

a) Das Verhältnis von Jungen zu Mädchen ist:

Schreibe es zuerst als Bruch: \( \dfrac{\text{Jungen}}{\text{Mädchen}} = \dfrac{8}{6} \)

Vereinfache (kürze), indem du den Zähler und den Nenner durch den größten gemeinsamen Teiler (welcher 2 ist) teilst:
\( \dfrac{8 \div 2}{6 \div 2} = \dfrac{4}{3} \)

Schreibweisen: Bruch: \( \dfrac{4}{3} \) | Doppelpunkt: \( 4:3 \) | In Worten: "4 zu 3"


b) Das Verhältnis von Mädchen zu Jungen ist:

Als Bruch: \( \dfrac{\text{Mädchen}}{\text{Jungen}} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4} \)

Schreibweisen: Bruch: \( \dfrac{3}{4} \) | Doppelpunkt: \( 3:4 \) | In Worten: "3 zu 4"


c) Das Verhältnis von Jungen zur Gesamtzahl ist:

Finde zuerst die Gesamtzahl der Schüler: \( \text{Gesamt} = 8 + 6 = 14 \)

Als Bruch: \( \dfrac{\text{Jungen}}{\text{Gesamt}} = \dfrac{8}{14} = \dfrac{4}{7} \)

Schreibweisen: Bruch: \( \dfrac{4}{7} \) | Doppelpunkt: \( 4:7 \) | In Worten: "4 zu 7"


d) Das Verhältnis von Mädchen zur Gesamtzahl ist:

Als Bruch: \( \dfrac{\text{Mädchen}}{\text{Gesamt}} = \dfrac{6}{14} = \dfrac{3}{7} \)

Schreibweisen: Bruch: \( \dfrac{3}{7} \) | Doppelpunkt: \( 3:7 \) | In Worten: "3 zu 7"

Übungsfragen & Schritt-für-Schritt-Lösungen

Beantworte die folgenden Fragen. Klappe die Lösungsblöcke auf, um deine Arbeit und deine Überlegungen zu überprüfen.

Frage 1

Es gibt 3 Dreiecke und 6 Quadrate. Finde die Verhältnisse von:

  1. Dreiecken zu Quadraten
  2. Quadraten zur Gesamtzahl
  3. Dreiecken zur Gesamtzahl
Lösung anzeigen

Anzahl der Dreiecke = 3, Anzahl der Quadrate = 6. Die Gesamtzahl ist \( 3 + 6 = 9 \).

  1. Dreiecke zu Quadrate:
    \( \dfrac{\text{Dreiecke}}{\text{Quadrate}} = \dfrac{3}{6} \). Vereinfache durch Teilen durch 3, um \( \mathbf{\dfrac{1}{2}} \) oder \( \mathbf{1:2} \) zu erhalten.
  2. Quadrate zur Gesamtzahl:
    \( \dfrac{\text{Quadrate}}{\text{Gesamt}} = \dfrac{6}{9} \). Vereinfache durch Teilen durch 3, um \( \mathbf{\dfrac{2}{3}} \) oder \( \mathbf{2:3} \) zu erhalten.
  3. Dreiecke zur Gesamtzahl:
    \( \dfrac{\text{Dreiecke}}{\text{Gesamt}} = \dfrac{3}{9} \). Vereinfache durch Teilen durch 3, um \( \mathbf{\dfrac{1}{3}} \) oder \( \mathbf{1:3} \) zu erhalten.

Frage 2

In einer Schule gibt es 300 Jungen und 500 Mädchen. Finde die Verhältnisse von:

  1. Jungen zur Gesamtzahl
  2. Mädchen zur Gesamtzahl
  3. Jungen zu Mädchen
Lösung anzeigen

Gesamtzahl der Schüler = \( 300 + 500 = 800 \).

  1. Jungen zur Gesamtzahl:
    \( \dfrac{\text{Jungen}}{\text{Gesamt}} = \dfrac{300}{800} \). Teile den Zähler und den Nenner durch 100, um \( \mathbf{\dfrac{3}{8}} \) oder \( \mathbf{3:8} \) zu erhalten.
  2. Mädchen zur Gesamtzahl:
    \( \dfrac{\text{Mädchen}}{\text{Gesamt}} = \dfrac{500}{800} \). Teile durch 100, um \( \mathbf{\dfrac{5}{8}} \) oder \( \mathbf{5:8} \) zu erhalten.
  3. Jungen zu Mädchen:
    \( \dfrac{\text{Jungen}}{\text{Mädchen}} = \dfrac{300}{500} \). Teile durch 100, um \( \mathbf{\dfrac{3}{5}} \) oder \( \mathbf{3:5} \) zu erhalten.

Frage 3

Es gibt 200 Stühle und 150 Tische. Finde die Verhältnisse von:

  1. Stühlen zur Gesamtzahl
  2. Gesamtzahl zu Tischen
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Gesamtzahl der Möbelstücke = \( 200 + 150 = 350 \).

  1. Stühle zur Gesamtzahl:
    \( \dfrac{\text{Stühle}}{\text{Gesamt}} = \dfrac{200}{350} \). Teile den Zähler und den Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler, 50: \( \dfrac{200 \div 50}{350 \div 50} = \mathbf{\dfrac{4}{7}} \) oder \( \mathbf{4:7} \).
  2. Gesamtzahl zu Tischen:
    \( \dfrac{\text{Gesamt}}{\text{Tische}} = \dfrac{350}{150} \). Teile durch 50, um \( \mathbf{\dfrac{7}{3}} \) oder \( \mathbf{7:3} \) zu erhalten.

Frage 4

Es gibt 25 Lehrer und 500 Schüler, von denen 300 Mädchen sind. Finde die Verhältnisse von:

  1. Schülern (gesamt) zu Lehrern
  2. Jungen zu Lehrern
Lösung anzeigen
  1. Schüler (gesamt) zu Lehrern:
    \( \dfrac{\text{Schüler}}{\text{Lehrer}} = \dfrac{500}{25} \). Teile durch 25, um \( \mathbf{\dfrac{20}{1}} \) oder \( \mathbf{20:1} \) zu erhalten.
  2. Jungen zu Lehrern:
    Finde zuerst die Anzahl der Jungen: \( 500 \text{ Schüler} - 300 \text{ Mädchen} = 200 \text{ Jungen} \).
    \( \dfrac{\text{Jungen}}{\text{Lehrer}} = \dfrac{200}{25} \). Teile durch 25, um \( \mathbf{\dfrac{8}{1}} \) oder \( \mathbf{8:1} \) zu erhalten.

Frage 5

Stadt A hat eine Bevölkerung von 420.000 Menschen und 200 Allgemeinmediziner (Hausärzte). Stadt B hat eine Bevölkerung von 460.000 Menschen und 230 Allgemeinmediziner. Welche Stadt hat ein höheres Verhältnis von Hausärzten zur Anzahl der Menschen?

Lösung anzeigen

Um herauszufinden, welche Stadt das höhere Verhältnis von Ärzten zu Menschen hat, stellen wir für jede Stadt den Bruch auf: \( \dfrac{\text{Ärzte}}{\text{Menschen}} \).

Stadt A:
\( \dfrac{200}{420.000} \). Vereinfache, indem du Zähler und Nenner durch 200 teilst:
\( \dfrac{1}{2100} \) (Das bedeutet, dass es 1 Arzt für je 2100 Menschen gibt).

Stadt B:
\( \dfrac{230}{460.000} \). Vereinfache, indem du Zähler und Nenner durch 230 teilst:
\( \dfrac{1}{2000} \) (Das bedeutet, dass es 1 Arzt für je 2000 Menschen gibt).

Vergleiche nun die Brüche: \( \dfrac{1}{2000} \) ist größer als \( \dfrac{1}{2100} \). Da sich in Stadt B weniger Menschen einen Arzt teilen müssen, ist der Anteil an Ärzten in Bezug auf die Bevölkerung größer.

Daher hat Stadt B ein höheres Verhältnis von Ärzten zu Menschen.

Links und Referenzen

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