Zu verstehen, wie man den größten gemeinsamen Teiler (ggT) findet, ist eine entscheidende mathematische Fähigkeit, insbesondere wenn man Brüche kürzen oder algebraische Ausdrücke faktorisieren muss.
Diese Seite bietet eine Lektion über zwei verschiedene Methoden zum Finden des ggT, gefolgt von Übungsfragen für die 7. Klasse. Jede Frage enthält eine detaillierte, schrittweise Lösung, die dir hilft, deine Arbeit zu überprüfen und das Verfahren zu meistern.
Der größte gemeinsame Teiler von zwei oder mehr Zahlen ist die größte ganze Zahl, die alle diese Zahlen ohne Rest teilt.
Beispiel: Finde den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 12 und 18.
Suche nach den gemeinsamen Teilern von 12 und 18: Sie haben beide 1, 2, 3 und 6 gemeinsam. Der größte dieser gemeinsamen Teiler ist 6.
Beispiel: Finde den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 60 und 90.
Suche nach den Primfaktoren, die sie gemeinsam haben: eine 2, eine 3 und eine 5.
Multipliziere diese gemeinsamen Primfaktoren miteinander: \( \mathbf{2 \times 3 \times 5} = 30 \).
Der ggT von 60 und 90 ist 30.
Tipp: Du kannst unseren Rechner für den größten gemeinsamen Teiler verwenden, um deine Endergebnisse zu überprüfen!
Finde den ggT für die folgenden Zahlenreihen. Klappe die Lösungsblöcke auf, um deine Primfaktorzerlegung und das Endergebnis zu überprüfen.
Finde den größten gemeinsamen Teiler von 36 und 42.
Finde zuerst die Primfaktorzerlegung von 36 und 42:
\( 36 = \mathbf{2} \times 2 \times \mathbf{3} \times 3 \)
\( 42 = \mathbf{2} \times \mathbf{3} \times 7 \)
Identifiziere die gemeinsamen Primfaktoren. Beide teilen eine 2 und eine 3.
Multipliziere die gemeinsamen Faktoren: \( \mathbf{2 \times 3} = 6 \)
Der ggT von 36 und 42 ist 6.
Finde den größten gemeinsamen Teiler von 45, 60 und 75.
Finde die Primfaktorzerlegung für alle drei Zahlen:
\( 45 = \mathbf{3} \times 3 \times \mathbf{5} \)
\( 60 = 2 \times 2 \times \mathbf{3} \times \mathbf{5} \)
\( 75 = \mathbf{3} \times 5 \times \mathbf{5} \)
Identifiziere die Primfaktoren, die von allen drei Zahlen geteilt werden. Alle drei teilen eine 3 und eine 5.
Multipliziere die gemeinsamen Faktoren: \( \mathbf{3 \times 5} = 15 \)
Der ggT von 45, 60 und 75 ist 15.
Was ist der größte gemeinsame Teiler von 360 und 252?
Finde die Primfaktorzerlegung für beide großen Zahlen:
\( 360 = \mathbf{2 \times 2} \times 2 \times \mathbf{3 \times 3} \times 5 \)
\( 252 = \mathbf{2 \times 2} \times \mathbf{3 \times 3} \times 7 \)
Identifiziere die gemeinsamen Primfaktoren. Sie teilen zwei 2en und zwei 3en.
Multipliziere die gemeinsamen Faktoren: \( \mathbf{2 \times 2 \times 3 \times 3} = 36 \)
Der ggT von 360 und 252 ist 36.
Was ist der größte gemeinsame Teiler von 324, 666 und 756?
Finde die Primfaktorzerlegung für alle drei Zahlen:
\( 324 = \mathbf{2} \times 2 \times \mathbf{3 \times 3} \times 3 \times 3 \)
\( 666 = \mathbf{2} \times \mathbf{3 \times 3} \times 37 \)
\( 756 = \mathbf{2} \times 2 \times \mathbf{3 \times 3} \times 3 \times 7 \)
Identifiziere die Primfaktoren, die von allen drei Zahlen geteilt werden. Sie alle teilen eine 2 und zwei 3en.
Multipliziere die gemeinsamen Faktoren: \( \mathbf{2 \times 3 \times 3} = 18 \)
Der ggT von 324, 666 und 756 ist 18.
Teil a) Finde zuerst die Primfaktorzerlegung von 12 und 16:
\( 12 = \mathbf{2 \times 2} \times 3 \)
\( 16 = \mathbf{2 \times 2} \times 2 \times 2 \)
Der ggT von 12 und 16 ist \( \mathbf{2 \times 2} = 4 \).
Teil b) Wir können die Beziehung zwischen den Zahlen nutzen, um den neuen ggT schnell zu finden. Beachte, dass:
\( 1200 = 12 \times \mathbf{100} \)
\( 1600 = 16 \times \mathbf{100} \)
Da beide Zahlen um genau das 100-fache vergrößert wurden, vergrößert sich auch ihr größter gemeinsamer Teiler um das 100-fache.
Multipliziere den ggT aus Teil (a) mit 100: \( 4 \times 100 = 400 \).
Der ggT von 1200 und 1600 ist 400.