Übungsaufgaben
-
In einem Beutel voller kleiner Kugeln sind $\dfrac{1}{4}$ der Kugeln grün, $\dfrac{1}{8}$ sind blau, $\dfrac{1}{12}$ sind gelb und die restlichen $26$ sind weiß. Wie viele Kugeln sind blau?
Lösung anzeigen
Definieren wir die Gesamtzahl der Kugeln im Beutel als $N$.
Anteil der grünen, blauen und gelben Kugeln zusammen:
$$\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{6}{24} + \dfrac{3}{24} + \dfrac{2}{24} = \dfrac{11}{24}$$Anteil der weißen Kugeln:
$$\dfrac{24}{24} - \dfrac{11}{24} = \dfrac{13}{24}$$Da die 26 weißen Kugeln $\dfrac{13}{24}$ der Gesamtzahl entsprechen:
$$\dfrac{13}{24}N = 26 \implies N = 26 \times \dfrac{24}{13} = 48$$Anzahl der blauen Kugeln:
$$\dfrac{1}{8} \times 48 = 6$$Antwort: 6 Kugeln sind blau.
-
In einer Schule sind $50\%$ der Schüler jünger als $10$, $\dfrac{1}{20}$ der Schüler sind $10$ Jahre alt und $\dfrac{1}{10}$ der Schüler sind älter als $10$, aber jünger als $12$. Die restlichen $70$ Schüler sind $12$ Jahre oder älter. Wie viele Schüler sind $10$ Jahre alt?
Lösung anzeigen
Sei $N$ die Gesamtzahl der Schüler.
Anteil der Schüler, die jünger als 12 sind:
$$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{20} + \dfrac{1}{10} = \dfrac{10}{20} + \dfrac{1}{20} + \dfrac{2}{20} = \dfrac{13}{20}$$Anteil der Schüler, die 12 oder älter sind:
$$1 - \dfrac{13}{20} = \dfrac{7}{20}$$Wir wissen, dass diese restlichen Schüler 70 sind:
$$\dfrac{7}{20}N = 70 \implies N = 70 \times \dfrac{20}{7} = 200$$Anzahl der 10-jährigen Schüler:
$$\dfrac{1}{20} \times 200 = 10$$Antwort: 10 Schüler sind 10 Jahre alt.
-
Wenn die Länge der Seite eines Quadrats verdoppelt wird, wie ist das Verhältnis der Fläche des ursprünglichen Quadrats zur Fläche des neuen Quadrats?
Lösung anzeigen
Sei die Seitenlänge des ursprünglichen Quadrats $s$.
Die Fläche des ursprünglichen Quadrats ist $A_1 = s^2$.
Wenn die Seitenlänge verdoppelt wird, beträgt die neue Seitenlänge $2s$, was die neue Fläche ergibt:
$$A_2 = (2s)^2 = 4s^2$$Das Verhältnis der Flächen ist:
$$\dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{s^2}{4s^2} = \dfrac{1}{4}$$Antwort: Das Verhältnis ist 1:4.
-
Die Division einer ganzen Zahl $N$ durch $13$ ergibt einen Quotienten von $15$ und einen Rest von $2$. Finden Sie $N$.
Lösung anzeigen
Mit dem Divisionsalgorithmus: $N = \text{Divisor} \times \text{Quotient} + \text{Rest}$.
$$N = 13 \times 15 + 2$$
$$N = 195 + 2 = 197$$
Antwort: $N = 197$.
-
Im Rechteck unten schneidet die Linie $MN$ das Rechteck in zwei Regionen. Finden Sie $x$ (die Länge des Segments $NB$), sodass die Fläche des Vierecks $MNBC$ $40\%$ der Gesamtfläche des Rechtecks beträgt.
Lösung anzeigen
Aus dem Diagramm ist die Gesamtlänge $AB = 20 + x$.
Berechnen Sie die Gesamtfläche des Rechtecks $ABCD$:
$$\text{Fläche} = (20 + x) \times 10 = 200 + 10x$$Berechnen Sie $40\%$ dieser Gesamtfläche:
$$\text{Fläche von } MNBC = 0,4 \times (200 + 10x) = 80 + 4x$$Das Segment $MC$ wird berechnet als: $MC = (20 + x) - 5 = 15 + x$.
Das Viereck $MNBC$ ist ein Trapez. Berechnen Sie seine Fläche mit der Trapezformel:
$$A = \dfrac{1}{2} \times \text{Höhe} \times (NB + MC)$$
$$A = \dfrac{1}{2} \times 10 \times (x + 15 + x) = 5(2x + 15) = 10x + 75$$Setzen Sie die beiden Flächenausdrücke für $MNBC$ gleich:
$$10x + 75 = 80 + 4x$$
$$6x = 5 \implies x = \dfrac{5}{6}$$Antwort: $x = \dfrac{5}{6}$ Meter.
-
Eine Person joggte 10 Mal entlang des Umfangs eines rechteckigen Feldes mit einer Geschwindigkeit von 12 Kilometern pro Stunde für 30 Minuten. Wenn das Feld eine Länge hat, die doppelt so groß ist wie seine Breite, finden Sie die Fläche des Feldes in Quadratmetern.
Lösung anzeigen
Wandeln Sie zuerst die Zeit in Stunden um: $30 \text{ Min} = 0,5 \text{ Stunden}$.
Berechnen Sie die insgesamt gejoggte Strecke:
$$\text{Strecke} = 12 \text{ km/h} \times 0,5 \text{ h} = 6 \text{ km} = 6000 \text{ m}$$Da der Jogger 10 Runden gelaufen ist, ist der Umfang des Feldes:
$$6000 \div 10 = 600 \text{ m}$$Sei die Breite $W$. Die Länge $L = 2W$. Die Umfangsformel lautet:
$$2(L + W) = 600$$
$$2(2W + W) = 600 \implies 6W = 600 \implies W = 100 \text{ m}$$Die Länge $L = 200 \text{ m}$.
Fläche = $L \times W = 200 \times 100 = 20.000 \text{ m}^2$.
Antwort: $20.000 \text{ m}^2$.
-
Vier kongruente gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke werden aus den 4 Ecken eines Quadrats mit einer Seitenlänge von 20 Einheiten geschnitten. Die Länge eines Schenkels der Dreiecke beträgt 4 Einheiten. Was ist die Fläche des verbleibenden Achtecks?
Lösung anzeigen
Fläche des ursprünglichen Quadrats:
$$A_{\text{Quadrat}} = 20 \times 20 = 400$$Fläche eines gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecks:
$$A_{\text{Dreieck}} = \dfrac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$$Fläche der 4 Dreiecke kombiniert:
$$4 \times 8 = 32$$Fläche des verbleibenden Achtecks:
$$400 - 32 = 368$$Antwort: $368$ Flächeneinheiten.
-
Ein Auto fährt mit 75 Kilometern pro Stunde. Wie viele Meter legt das Auto in einer Minute zurück?
Lösung anzeigen
Kilometer in Meter umwandeln: $75 \text{ km} = 75.000 \text{ m}$.
Stunden in Minuten umwandeln: $1 \text{ Stunde} = 60 \text{ Minuten}$.
Teilen Sie die Strecke durch die Zeit:
$$\dfrac{75.000 \text{ m}}{60 \text{ Min}} = 1250 \text{ m/Min}$$Antwort: $1250$ Meter pro Minute.
-
Linda gab $\dfrac{3}{4}$ ihrer Ersparnisse für Möbel aus und den Rest für einen Fernseher. Wenn der Fernseher $\$200$ kostete, was waren ihre ursprünglichen Ersparnisse?
Lösung anzeigen
Der Anteil der Ersparnisse, die für den Fernseher ausgegeben wurden, beträgt:
$$1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}$$Sei $S$ die ursprünglichen Ersparnisse. Wir wissen, dass $\dfrac{1}{4}$ ihrer Ersparnisse $\$200$ entsprechen:
$$\dfrac{1}{4}S = 200 \implies S = 200 \times 4 = 800$$Antwort: $\$800$.
-
Die Wasserhöhe in einem zylindrischen Behälter mit Radius $r$ beträgt $15\text{ cm}$. Wie hoch ist diese Wassermenge, wenn sie in einen zylindrischen Behälter mit Radius $2r$ gegossen wird?
Lösung anzeigen
Das Volumen des Wassers im ersten Zylinder ist:
$$V_1 = \pi r^2 \times 15$$Das Volumen des Wassers im zweiten Zylinder ist:
$$V_2 = \pi (2r)^2 \times h = \pi (4r^2) \times h$$Da das Volumen gleich bleibt, setzen Sie $V_1 = V_2$:
$$15\pi r^2 = 4\pi r^2 h$$
$$15 = 4h \implies h = \dfrac{15}{4} = 3,75$$Antwort: $3,75\text{ cm}$.
-
Stuart kaufte einen Pullover im Angebot für $30\%$ Rabatt auf den ursprünglichen Preis und weitere $25\%$ Rabatt auf den reduzierten Preis. Wenn der ursprüngliche Preis des Pullovers $\$30$ betrug, was war der Endpreis des Pullovers?
Lösung anzeigen
Der Preis nach dem ersten $30\%$-Rabatt:
$$30 - (0,30 \times 30) = 30 - 9 = \$21$$Der Preis nach dem zweiten $25\%$-Rabatt:
$$21 - (0,25 \times 21) = 21 - 5,25 = \$15,75$$Antwort: $\$15,75$.
-
John kaufte ein Hemd im Angebot für $25\%$ Rabatt auf den ursprünglichen Preis und weitere $25\%$ Rabatt auf den reduzierten Preis. Wenn der Endpreis $\$16$ betrug, was war der Preis vor dem ersten Rabatt?
Lösung anzeigen
Sei $P$ der ursprüngliche Preis.
Nach dem ersten $25\%$-Rabatt beträgt der Preis $0,75P$.
Nach dem zweiten $25\%$-Rabatt beträgt der Preis:
$$0,75P \times 0,75 = 0,5625P$$Wir wissen, dass der Endpreis $\$16$ beträgt:
$$0,5625P = 16 \implies P = \dfrac{16}{0,5625} \approx 28,444...$$Antwort: Ungefähr $\$28,44$.
-
Wie viele Zoll sind $2000$ Millimeter? (Runden Sie Ihre Antwort auf die nächste Hundertstelstelle).
Lösung anzeigen
Wir wissen, dass $1\text{ Zoll} = 25,4\text{ mm}$.
Teilen Sie die gesamten Millimeter durch den Umrechnungsfaktor:
$$2000 \div 25,4 \approx 78,7401...$$Antwort: $78,74\text{ Zoll}$.
-
Der rechteckige Spielplatz in Tims Schule ist dreimal so lang wie breit. Die Fläche des Spielplatzes beträgt $75\text{ m}^2$. Was ist der Umfang des Spielplatzes?
Lösung anzeigen
Sei Breite = $W$ und Länge = $3W$.
Fläche = Länge $\times$ Breite:
$$3W \times W = 75 \implies 3W^2 = 75 \implies W^2 = 25 \implies W = 5\text{ m}$$Die Länge ist $L = 3 \times 5 = 15\text{ m}$.
Umfang = $2(L + W)$:
$$2(15 + 5) = 2(20) = 40\text{ m}$$Antwort: $40\text{ Meter}$.
-
John hatte einen Bestand von $1200$ Büchern in seinem Buchladen. Er verkaufte $75$ am Montag, $50$ am Dienstag, $64$ am Mittwoch, $78$ am Donnerstag und $135$ am Freitag. Wie viel Prozent der Bücher wurden nicht verkauft?
Lösung anzeigen
Berechnen Sie die Gesamtzahl der verkauften Bücher:
$$75 + 50 + 64 + 78 + 135 = 402$$Berechnen Sie die nicht verkauften Bücher:
$$1200 - 402 = 798$$Finden Sie den Prozentsatz:
$$\left( \dfrac{798}{1200} \right) \times 100 = 66,5\%$$Antwort: $66,5\%$.
-
$N$ ist eine der unten stehenden Zahlen. $N$ ist so beschaffen, dass eine Multiplikation mit $0,75$ den Wert $1$ ergibt. Welche Zahl ist gleich $N$?
A) $1 \dfrac{1}{2}$ B) $1 \dfrac{1}{3}$ C) $\dfrac{5}{3}$ D) $\dfrac{3}{2}$Lösung anzeigen
Stellen Sie die Gleichung auf:
$$N \times 0,75 = 1 \implies N = \dfrac{1}{0,75}$$Da $0,75 = \dfrac{3}{4}$, können wir umschreiben:
$$N = 1 \div \dfrac{3}{4} = \dfrac{4}{3}$$Wandeln Sie die Optionen in unechte Brüche um, um sie zu vergleichen:
A) $1 \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$
B) $1 \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{3}$Antwort: B.
-
Im Jahr $2008$ betrug die Weltbevölkerung etwa $6.760.000.000$. Schreiben Sie die Weltbevölkerung von $2008$ in wissenschaftlicher Notation.
Lösung anzeigen
Um in wissenschaftliche Notation $m \times 10^n$ (wobei $1 \le |m| < 10$) umzuwandeln, verschieben Sie den Dezimalpunkt um $9$ Stellen nach links.
Antwort: $6,76 \times 10^9$.