Matheaufgaben der 7. Klasse mit Lösungen

Bezeichnen wir die Gesamtzahl der Bälle im Beutel als \( N \).

Wir wissen, dass:

\( \dfrac{1}{4} \) der Bälle sind grün: \( \dfrac{N}{4} \)

\( \dfrac{1}{8} \) der Bälle sind blau: \( \dfrac{N}{8} \)

\( \dfrac{1}{12} \) der Bälle sind gelb: \( \dfrac{N}{12} \)

Die restlichen 26 Bälle sind weiß.

Da alle Bälle zusammen \( N \) ergeben, können wir schreiben: \[ \dfrac{N}{4} + \dfrac{N}{8} + \dfrac{N}{12} + 26 = N \]

Der kleinste gemeinsame Nenner für 4, 8 und 12 ist 24. Brüche umwandeln: \[ \dfrac{N}{4} = \dfrac{6N}{24}, \quad \dfrac{N}{8} = \dfrac{3N}{24}, \quad \dfrac{N}{12} = \dfrac{2N}{24} \] Die Gleichung umschreiben: \[ \dfrac{6N}{24} + \dfrac{3N}{24} + \dfrac{2N}{24} + 26 = N \] \[ \dfrac{6N + 3N + 2N}{24} + 26 = N \] \[ \dfrac{11N}{24} + 26 = N \] Gleichung umstellen: \[ 26 = N - \dfrac{11N}{24} \] \[ 26 = \dfrac{24N}{24} - \dfrac{11N}{24} \] \[ 26 = \dfrac{13N}{24} \] Beide Seiten mit 24 multiplizieren: \[ 26 \times 24 = 13N \] \[ 624 = 13N \] \[ N = 48 \] Die Anzahl der blauen Bälle ist \[ \dfrac{N}{8} = \dfrac{48}{8} = 6 \]

Sei \( N \) die Gesamtzahl der Schüler in der Schule.

\( 50\% \) der Schüler sind jünger als 10, das bedeutet: \[ \dfrac{1}{2} N \]

\( \dfrac{1}{20} N \) der Schüler sind 10 Jahre alt.

\( \dfrac{1}{10} N \) der Schüler sind älter als 10 aber jünger als 12.

Die restlichen Schüler, die 12 Jahre oder älter sind, sind 70 an der Zahl.

Die Gleichung, die die Gesamtzahl der Schüler darstellt, lautet daher: \[ \dfrac{1}{2} N + \dfrac{1}{20} N + \dfrac{1}{10} N + 70 = N \]

Die Gleichung umschreiben: \[ \dfrac{1}{2} N + \dfrac{1}{20} N + \dfrac{1}{10} N = N - 70 \] Einen gemeinsamen Nenner finden (kgV von 2, 20 und 10 ist 20): \[ \dfrac{10}{20} N + \dfrac{1}{20} N + \dfrac{2}{20} N = N - 70 \] \[ \dfrac{13}{20} N = N - 70 \] Umstellen: \[ N - \dfrac{13}{20} N = 70 \] \[ \dfrac{7}{20} N = 70 \] Beide Seiten mit \( \dfrac{20}{7} \) multiplizieren: \[ N = 70 \times \dfrac{20}{7} = 200 \] Die Anzahl der Schüler, die 10 Jahre alt sind, ermitteln: \[ \dfrac{1}{20} N = \dfrac{1}{20} \times 200 = 10 \] Somit beträgt die Anzahl der Schüler, die \( 10 \) Jahre alt sind, \( 10 \).

Die Seitenlänge des ursprünglichen Quadrats sei \( s \).

Die Fläche des ursprünglichen Quadrats ist: \[ A_1 = s^2 \]

Wenn die Seitenlänge verdoppelt wird, beträgt die neue Seitenlänge \( 2s \), und die Fläche des neuen Quadrats ist: \[ A_2 = (2s)^2 = 4s^2 \]

Das Verhältnis der Flächen des ursprünglichen Quadrats zum neuen Quadrat ist: \[ \dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{s^2}{4s^2} = \dfrac{1}{4} \] Das Verhältnis der Flächen ist also 1:4.

Wir wissen, dass wenn eine ganze Zahl \( N \) durch \( 13 \) geteilt wird, dies einen Quotienten von \( 15 \) und einen Rest von \( 2 \) ergibt.

Mit dem Divisionsalgorithmus: \[ N = \text{Divisor} \times \text{Quotient} + \text{Rest} \] Die gegebenen Werte einsetzen: \[ N = 13 \times 15 + 2 \] \[ N = 195 + 2 \] \[ N = 197 \] Die gesuchte Zahl ist also \( 197 \).

Gegeben die neuen Informationen:

\( AN = 20 \)

\( AB = 20 + x \)

\( MC = 20 + x - 5 = 15 + x \)

Berechnen Sie die Gesamtfläche des Rechtecks \( ABCD \) \[ \text{Fläche} = (\text{Länge}) \times (\text{Breite}) = AB \times AD = (20 + x) \times 10 \] \[ = 200 + 10x \] Da das Viereck \( MNBC \) 40% dieser Fläche hat: \[ \text{Fläche von } MNBC = 0.4 \times (200 + 10x) = 80 + 4x \] Berechnen Sie die Fläche des Trapezes \( MNBC \) \[ \text{Fläche des Trapezes } MNBC = \dfrac{1}{2} \times \text{Höhe} \times (NB + MC) \] \[ = \dfrac{1}{2} \times 10 \times (x + 15 + x) \] \[ \text{Fläche von } MNBC = 0.4 \times (200 + 10x) = 80 + 4x \] Daher die Gleichung \[ \dfrac{1}{2} \times 10 \times (x + 15 + x) = 80 + 4x \] Auflösen nach \( x \): \[ 5 \times (2x + 15) = 80 + 4x \] \[ x = \dfrac{5}{6} \; \text{m} \]

Die Person joggte 30 Minuten lang mit einer Geschwindigkeit von \( 12 \) km/h

Berechnen Sie die gesamte zurückgelegte Strecke: \[ \text{Strecke} = \text{Geschwindigkeit} \times \text{Zeit} = 12 \times 0.5 = 6 \text{ km} = 6000 \text{ m} \]

Der Jogger lief 10 Runden um das Feld, also beträgt der Umfang des Feldes: \[ \dfrac{6000}{10} = 600 \text{ m} \]

Die Breite des Feldes sei \( w \) Meter. Da die Länge doppelt so groß ist wie die Breite, gilt: \[ \text{Länge} = 2w \]

Die Formel für den Umfang eines Rechtecks lautet: \[ 2(\text{Länge} + \text{Breite}) = 600 \]

Einsetzen von \( \text{Länge} = 2w \) und \( \text{Breite} = w \) \[ 2(2w + w) = 600 \] \[ 6w = 600 \] \[ w = 100 \]

Da \( \text{Länge} = 2w = 2(100) = 200 \), beträgt die Fläche: \[ \text{Fläche} = \text{Länge} \times \text{Breite} = 200 \times 100 = 20000 \text{ m}^2 \]

Die Fläche des Feldes beträgt: \[ 20000 \text{ m}^2 \]

Die Fläche des ursprünglichen Quadrats beträgt: \[ A_{\text{Quadrat}} = 20 \times 20 = 400 \text{ Quadrateinheiten} \]

Jedes Dreieck ist ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck, daher ist seine Fläche gegeben durch: \[ A_{\text{Dreieck}} = \dfrac{1}{2} \times \text{Kathete} \times \text{Kathete} \] \[ = \dfrac{1}{2} \times 4 \times 4 = \dfrac{16}{2} = 8 \text{ Quadrateinheiten} \]

Da es 4 solcher Dreiecke gibt: \[ A_{\text{Dreiecke gesamt}} = 4 \times 8 = 32 \text{ Quadrateinheiten} \] Die Fläche des verbleibenden Achtecks \[ A_{\text{Achteck}} = A_{\text{Quadrat}} - A_{\text{Dreiecke gesamt}} \] \[ = 400 - 32 = 368 \text{ Quadrateinheiten} \] Somit beträgt die Fläche des verbleibenden Achtecks \( 368 \) Quadrateinheiten.

Kilometer in Meter umrechnen. Wir wissen, dass: \[ 1 \text{ km} = 1000 \text{ m} \] Also \[ 75 \text{ km} = 75 \times 1000 = 75000 \text{ m} \] Stunden in Minuten umrechnen. \[ 1 \text{ Stunde} = 60 \text{ Minuten} \] Die Geschwindigkeit des Autos in Metern pro Minute beträgt also: \[ \dfrac{75000 \text{ m}}{60 \text{ min}} = 1250 \; \text{Meter pro Minute} \] Das Auto legt \( 1.250 \; \text{Meter pro Minute} \) zurück.

Sei \( S \) Lindas ursprüngliche Ersparnisse.

Sie gab \( \dfrac{3}{4} \) ihrer Ersparnisse für Möbel aus.

Der Rest ihrer Ersparnisse wurde für einen Fernseher ausgegeben, der 200 $ kostete.

Der Anteil der Ersparnisse, der für den Fernseher ausgegeben wurde, ist \[ 1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{4}{4} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4} \].

Also ist \( \dfrac{1}{4} \) ihrer ursprünglichen Ersparnisse gleich 200 $.

Wir können dies als Gleichung schreiben: \[ \dfrac{1}{4}S = 200 \] Um ihre ursprünglichen Ersparnisse \( S \) zu finden, multiplizieren wir beide Seiten der obigen Gleichung mit \( 4\): \[ 4 \times \dfrac{1}{4}S = 4 \times 200 \] Nach \( S \) auflösen \[ S = 800 \] Daher betrugen Lindas ursprüngliche Ersparnisse \( \$ 800 \).

Ursprünglicher Zylinder: Radius \( r \) und Wasserhöhe \( h_1 = 15 \) cm.

Neuer Zylinder: Radius \( 2r \), und wir müssen die neue Höhe \( h_2 \) nach dem Umfüllen des Wassers finden.

Das Volumen eines Zylinders ist gegeben durch: \[ V = \pi r^2 h \] Für den ursprünglichen Zylinder: \[ V_1 = \pi r^2 \times 15 \] Da die Wassermenge gleich bleibt, ist das Wasservolumen im neuen Zylinder ebenfalls \( V_1 \), aber mit einem anderen Radius \( 2r \): \[ V_2 = \pi (2r)^2 \times h_2 \] Da \( V_1 = V_2 \), stellen wir die Gleichung auf: \[ \pi r^2 \times 15 = \pi (4r^2) \times h_2 \] Kürzen von \( \pi \) und \( r^2 \): \[ 15 = 4 h_2 \]

Nach \( h_2 \) auflösen \[ h_2 = \dfrac{15}{4} = 3.75 \text{ cm} \] Somit beträgt die Höhe des Wassers im neuen Behälter \( 3.75 \) cm.

Der ursprüngliche Preis des Pullovers ist \( P = \$ 30 \)

Stuart kaufte den Pullover im Angebot mit \( 30\% \) Rabatt auf den ursprünglichen Preis.

Der Rabattbetrag beträgt \( 30\% \) von \( P \), daher ist der reduzierte Preis nach dem ersten Verkauf \[ P - 0.30 P = \$ 30 - \$ 9 = \$ 21 \].

Er erhielt weitere \( 25\% \) Rabatt auf den reduzierten Preis.

Der zweite Rabattbetrag beträgt \[ 25\% \; \text{von} \; \$ 21 = 0.25 \times \$ 21 = \$ 5.25 \] Der endgültige Preis des Pullovers ist der reduzierte Preis minus dem zweiten Rabatt: \[ \$ 21 - \$ 5.25 = \$ 15.75 \]. Daher betrug der endgültige Preis des Pullovers \( \$ 15.75 \).

Der ursprüngliche Preis des Hemdes sei \( P \).

Nach dem ersten Rabatt beträgt der Preis: \[ P_{\text{nach erstem Rabatt}} = P - 0.25P = 0.75P \] Der Preis nach dem zweiten Rabatt: \[ P_{\text{endgültig}} = 0.75P - 0.25(0.75P) = 0.75P - 0.1875P = 0.5625P \] Wir wissen, dass der endgültige Preis \( \$ 16 \) beträgt, also: \[ 0.5625P = 16 \] Nach \( P \) auflösen. \[ P = \dfrac{16}{0.5625} \]

Der ursprüngliche Preis des Hemdes vor dem ersten Rabatt betrug ungefähr \( \$ 28.44 \).

Um Millimeter in Zoll umzurechnen, verwenden wir den Umrechnungsfaktor: \[ 1 \text{ mm} = 0.0393701 \text{ Zoll} \] Nun 2000 mm umrechnen: \[ 2000 \times 0.0393701 = 78.74 \]

Also entsprechen \( 2000 \) Millimeter ungefähr \( 78.74 \) Zoll.

Die Breite des rechteckigen Spielplatzes sei \( w \).

Da die Länge dreimal so groß ist wie die Breite, beträgt die Länge \( 3w \).

Die Fläche eines Rechtecks ist gegeben durch: \[ \text{Fläche} = \text{Länge} \times \text{Breite} \] Die gegebenen Werte einsetzen: \[ 3w \times w = 75 \] Nach \( w \) auflösen \[ 3w^2 = 75 \] \[ w^2 = 25 \] \[ w = 5 \] Die Breite beträgt also \( 5 \) Meter, und die Länge beträgt: \[ 3 \times 5 = 15 \text{ Meter} \] Der Umfang eines Rechtecks ist gegeben durch: \[ P = 2(\text{Länge} + \text{Breite}) \] \[ P = 2(15 + 5) = 2(20) = 40 \text{ Meter} \]

Der Umfang des Spielplatzes beträgt \( 40 \) Meter.

John verkaufte Bücher über fünf Tage: \[ 75 + 50 + 64 + 78 + 135 = 402 \]

Die verbleibenden Bücher (nicht verkauft) \[ 1200 - 402 = 798 \]

Der Prozentsatz der nicht verkauften Bücher beträgt: \[ \left( \dfrac{798}{1200} \right) \times 100 = 66.5\% \]

Also wurden \( 66.5 \% \) der Bücher nicht verkauft.

Wir haben die Gleichung: \[ N \times 0.75 = 1 \] Nach \( N \) auflösen \[ N = \dfrac{1}{0.75} \] Da \( 0.75 = \dfrac{3}{4} \), schreiben wir um: \[ N = \dfrac{1}{\dfrac{3}{4}} = \dfrac{4}{3} \]

Wir müssen prüfen, welche Option \( \dfrac{4}{3} \) entspricht:

A) \( 1 \dfrac{1}{2} = 1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} \) Nicht gleich \( N \)

B) \( 1 \dfrac{1}{3} = 1 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{3} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{3} \) gleich \( N \)

C) \( \dfrac{5}{3} \) Nicht gleich \( N \)

D) \( \dfrac{3}{2} \) Nicht gleich \( N \)

Endgültige Antwort: \[ \boxed{B} \]

Identifizieren Sie die signifikanten Ziffern: \( 6.76 \)

Zählen Sie, wie viele Stellen das Komma verschoben wird, um von \( 6.76 \) zu \( 6.760.000.000 \) zu gelangen: \( 9 \) Stellen

In wissenschaftlicher Notation schreiben: \[ 6.76 \times 10^9 \] Die Weltbevölkerung von 2008 in wissenschaftlicher Notation ist also: \[ \mathbf{6.76 \times 10^9} \]