Wie man Brüche kürzt
Mathematikaufgaben für Klasse 7 mit ausführlichen Lösungen

Diese Seite soll Schülern helfen, den Prozess des Kürzens von Brüchen zu beherrschen. Unten finden Sie eine klare Erklärung der Methode der Primfaktorzerlegung, gefolgt von sorgfältig ausgewählten Übungsaufgaben und Schritt-für-Schritt-Lösungen.

Was ist ein gekürzter Bruch?

Wenn der einzige gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner eines Bruchs $1$ ist, befindet sich der Bruch in seiner gekürzten Form.

Wie man einen Bruch kürzt

Eine der zuverlässigsten Methoden, einen Bruch zu kürzen, besteht darin, die Primfaktorzerlegung von Zähler und Nenner aufzuschreiben und dann durch das Streichen gemeinsamer Faktoren zu vereinfachen.

Beispiel 1: Kürzen Sie den Bruch $\dfrac{9}{15}$

Schritt 1: Die Primfaktorzerlegung von $9$ ist: $9 = 3 \times 3$

Schritt 2: Die Primfaktorzerlegung von $15$ ist: $15 = 3 \times 5$

Schritt 3: Schreiben Sie den gegebenen Bruch mit Zähler und Nenner in faktorisierter Form: $$\dfrac{9}{15} = \dfrac{3 \times 3}{3 \times 5}$$

Schritt 4: Vereinfachen Sie durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren: $$\dfrac{9}{15} = \dfrac{\cancel{3} \times 3}{\cancel{3} \times 5} = \dfrac{3}{5}$$

Beispiel 2: Kürzen Sie den Bruch $\dfrac{12}{72}$

Schritt 1: Die Primfaktorzerlegung von $12$ ist: $12 = 2 \times 2 \times 3$

Schritt 2: Die Primfaktorzerlegung von $72$ ist: $72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3$

Schritt 3: In faktorisierter Form schreiben: $$\dfrac{12}{72} = \dfrac{2 \times 2 \times 3}{2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3}$$

Schritt 4: Vereinfachen: $$\dfrac{12}{72} = \dfrac{\cancel{2 \times 2} \times \cancel{3}}{\cancel{2 \times 2} \times 2 \times \cancel{3} \times 3} = \dfrac{1}{2 \times 3} = \dfrac{1}{6}$$

Beispiel 3: Kürzen Sie den Bruch $\dfrac{504}{600}$

Schritt 1: Primfaktorzerlegung von $504$: $504 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7$

Schritt 2: Primfaktorzerlegung von $600$: $600 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 5$

Schritt 3: In faktorisierter Form schreiben: $$\dfrac{504}{600} = \dfrac{2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7}{2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 5}$$

Schritt 4: Vereinfachen: $$\dfrac{504}{600} = \dfrac{\cancel{2 \times 2 \times 2} \times \cancel{3} \times 3 \times 7}{\cancel{2 \times 2 \times 2} \times \cancel{3} \times 5 \times 5} = \dfrac{3 \times 7}{5 \times 5} = \dfrac{21}{25}$$

Tipp: Ein Bruchkürzen-Rechner kann verwendet werden, um Ihre Arbeit zu überprüfen!

Übungsaufgaben

  1. Kürzen Sie die folgenden Brüche:
    1. $\dfrac{24}{36}$
    2. $\dfrac{52}{120}$
    3. $\dfrac{156}{208}$
    4. $\dfrac{122}{6100}$
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    1. Wir beginnen mit der Primfaktorzerlegung von Zähler $24$ und Nenner $36$:

      $24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3$
      $36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3$

      Schreiben Sie den Bruch mithilfe der Faktorisierung um und vereinfachen Sie durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren:

      $$\dfrac{24}{36} = \dfrac{\cancel{2} \times \cancel{2} \times 2 \times \cancel{3}}{\cancel{2} \times \cancel{2} \times \cancel{3} \times 3} = \mathbf{\dfrac{2}{3}}$$

    2. Primfaktorzerlegung von Zähler $52$ und Nenner $120$:

      $52 = 2 \times 2 \times 13$
      $120 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5$

      Schreiben Sie den Bruch um und vereinfachen Sie:

      $$\dfrac{52}{120} = \dfrac{\cancel{2} \times \cancel{2} \times 13}{\cancel{2} \times \cancel{2} \times 2 \times 3 \times 5} = \mathbf{\dfrac{13}{30}}$$

    3. Primfaktorzerlegung von Zähler $156$ und Nenner $208$:

      $156 = 2 \times 2 \times 3 \times 13$
      $208 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 13$

      Schreiben Sie den Bruch um und vereinfachen Sie:

      $$\dfrac{156}{208} = \dfrac{\cancel{2} \times \cancel{2} \times 3 \times \cancel{13}}{\cancel{2} \times \cancel{2} \times 2 \times 2 \times \cancel{13}} = \mathbf{\dfrac{3}{4}}$$

    4. Primfaktorzerlegung von Zähler $122$ und Nenner $6100$:

      $122 = 2 \times 61$
      $6100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 61$

      Schreiben Sie den Bruch um und vereinfachen Sie:

      $$\dfrac{122}{6100} = \dfrac{\cancel{2} \times \cancel{61}}{\cancel{2} \times 2 \times 5 \times 5 \times \cancel{61}} = \dfrac{1}{2 \times 5 \times 5} = \mathbf{\dfrac{1}{50}}$$

  2. Kürzen Sie jedes Paar von Brüchen und vergleichen Sie diese:
    1. $\dfrac{26}{39}$ und $\dfrac{14}{42}$
    2. $\dfrac{45}{75}$ und $\dfrac{52}{65}$
    Lösungen anzeigen

    1. Primfaktorzerlegung und Vereinfachung des Paares:

      $$\dfrac{26}{39} = \dfrac{2 \times 13}{3 \times 13} = \dfrac{2}{3}$$

      $$\dfrac{14}{42} = \dfrac{2 \times 7}{2 \times 3 \times 7} = \dfrac{1}{3}$$

      Beim Vergleich der vereinfachten Brüche gilt $\dfrac{2}{3} > \dfrac{1}{3}$. Daher ist $\mathbf{\dfrac{26}{39} > \dfrac{14}{42}}$.

    2. Primfaktorzerlegung und Vereinfachung des Paares:

      $$\dfrac{45}{75} = \dfrac{3 \times 3 \times 5}{3 \times 5 \times 5} = \dfrac{3}{5}$$

      $$\dfrac{52}{65} = \dfrac{2 \times 2 \times 13}{5 \times 13} = \dfrac{4}{5}$$

      Beim Vergleich der vereinfachten Brüche gilt $\dfrac{4}{5} > \dfrac{3}{5}$. Daher ist $\mathbf{\dfrac{52}{65} > \dfrac{45}{75}}$.

Weitere Referenzen und Links

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