Diese Seite zeigt Ihnen, wie man Proportionen in der Mathematik aufstellt und löst. Unterhalb der einführenden Lektion finden Sie eine Reihe von Übungsaufgaben für die 7. Klasse, begleitet von Schritt-für-Schritt-Lösungen, mit denen Sie Ihre Arbeit überprüfen können.
Die untenstehende Tabelle zeigt die von einem Auto zurückgelegte Strecke in Kilometern (km) und die Zeit in Stunden, die für diese Strecke benötigt wurde. Wir nehmen an, dass das Auto mit konstanter Geschwindigkeit fährt. Wie viele Stunden werden benötigt, um 500 Kilometer zurückzulegen?
| Entfernung (km) | 50 | 100 | 150 | 500 |
|---|---|---|---|---|
| Zeit (Stunden) | 1 | 2 | 3 | $t$ |
Beachten Sie, dass wir bei der Division von Entfernung durch Zeit für die ersten drei Spalten eine konstante Rate erhalten:
$$\frac{50}{1} = 50, \quad \frac{100}{2} = 50, \quad \frac{150}{3} = 50$$
Diese Rate ist die konstante Geschwindigkeit von $50 \text{ km/h}$. Wir sagen, die Entfernung ist proportional zur Zeit. Da das Auto die gleiche Geschwindigkeit beibehält, gilt diese Proportionalitätsregel auch für die Strecke von $500 \text{ km}$:
$$\frac{150}{3} = \frac{500}{t}$$
Die größte Schwierigkeit beim Lösen von Proportionen ist das Vorhandensein von Nennern (wie $3$ und $t$). Um die Proportion zu lösen, müssen wir diese Nenner eliminieren. Dies erreichen wir, indem wir beide Seiten der Gleichung mit dem Produkt der Nenner ($3 \times t = 3t$) multiplizieren.
Schritt 1: Multiplizieren Sie beide Seiten mit $3t$:
$$3t \times \frac{150}{3} = 3t \times \frac{500}{t}$$
Schritt 2: Vereinfachen Sie durch Kürzen der gemeinsamen Terme auf jeder Seite:
$$t \times 150 = 3 \times 500$$
$$150t = 1500$$
Schritt 3: Teilen Sie beide Seiten durch $150$, um $t$ zu isolieren:
$$t = \frac{1500}{150} = \mathbf{10 \text{ Stunden}}$$
$$\frac{x}{2} = \frac{4}{8}$$
Multiplizieren Sie beide Seiten der Proportion mit dem Produkt der Nenner ($2 \times 8 = 16$):
$$16 \times \frac{x}{2} = 16 \times \frac{4}{8}$$
Vereinfachen Sie durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren:
$$8x = 2 \times 4$$
$$8x = 8$$
Teilen Sie beide Seiten durch $8$:
$$\frac{8x}{8} = \frac{8}{8} \implies \mathbf{x = 1}$$
$$\frac{3}{p} = \frac{1}{5}$$
Multiplizieren Sie beide Seiten der Proportion mit dem Produkt der Nenner ($5 \times p = 5p$):
$$5p \times \frac{3}{p} = 5p \times \frac{1}{5}$$
Vereinfachen Sie durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren:
$$5 \times 3 = p \times 1$$
$$\mathbf{15 = p}$$
Multiplizieren Sie beide Seiten der Proportion mit dem Produkt der Nenner ($5 \times 15 = 75$):
$$75 \times \frac{31}{5} = 75 \times \frac{w}{15}$$
Vereinfachen Sie durch Ausführen der Divisionen:
$$15 \times 31 = 5 \times w$$
$$465 = 5w$$
Teilen Sie beide Seiten durch $5$, um $w$ zu isolieren:
$$w = \frac{465}{5} \implies \mathbf{w = 93}$$
Alternative Abkürzungsmethode: Da Sie nur $w$ isolieren müssen, können Sie einfach beide Seiten mit $15$ multiplizieren:
$$15 \times \frac{31}{5} = w \implies 3 \times 31 = w \implies \mathbf{w = 93}$$
$$\frac{2k}{3} = \frac{20}{6}$$
Multiplizieren Sie beide Seiten der Proportion mit dem Produkt der Nenner ($3 \times 6 = 18$):
$$18 \times \frac{2k}{3} = 18 \times \frac{20}{6}$$
Vereinfachen Sie, indem Sie zuerst die Division ausführen:
$$6 \times 2k = 3 \times 20$$
$$12k = 60$$
Teilen Sie beide Seiten durch $12$:
$$\frac{12k}{12} = \frac{60}{12} \implies \mathbf{k = 5}$$
$$\frac{3}{7} = \frac{y}{0}$$
Keine Lösung. Division durch Null ist in der Mathematik nicht definiert, was es für den Bruch auf der rechten Seite unmöglich macht, einen gültigen numerischen Wert anzunehmen.
$$\frac{1}{4} = \frac{0}{x}$$
Keine Lösung. Wenn $x = 0$, ist die rechte Seite nicht definiert. Für jeden anderen Wert, bei dem $x \neq 0$, vereinfacht sich die rechte Seite zu $0$. Die linke Seite ist jedoch $\frac{1}{4}$, was nicht gleich $0$ ist. Daher hat diese Proportion keine gültige Lösung.
Kürzen Sie zuerst den Bruch auf der rechten Seite auf seine einfachste Form:
$$\frac{3}{12} = \frac{3 \div 3}{12 \div 3} = \frac{1}{4}$$
Schreiben Sie die Proportion um:
$$\frac{m}{4} = \frac{1}{4}$$
Da die Nenner gleich sind, müssen auch die Zähler gleich sein. Daher:
$$\mathbf{m = 1}$$
$$\frac{6}{14} = \frac{2t}{14}$$
Da die Nenner auf beiden Seiten bereits $14$ sind, müssen ihre Zähler für die Gültigkeit der Proportion gleich sein:
$$6 = 2t$$
Teilen Sie beide Seiten durch $2$, um $t$ zu isolieren:
$$\frac{6}{2} = \frac{2t}{2} \implies \mathbf{3 = t}$$