Detailierte Lösungen zu Fragen zu mathematischen Proportionen

Detailierte Lösungen zu den Fragen zu Proportionen werden mit vollständigen Erklärungen vorgestellt.


  1. Finde \( x \), wenn \[ \dfrac{x}{2} = \dfrac{4}{8}. \]

    Lösung

    Multipliziere beide Seiten der Proportion mit den Nennern 2 und 8: \[ \color{red}{2 \times 8} \times \dfrac{x}{2} = \color{red}{2 \times 8} \times \dfrac{4}{8}. \] Vereinfache durch Kürzen gemeinsamer Faktoren: \[ \dfrac{\color{red}{\cancel{2}} \times 8}{\cancel{2}} x = \dfrac{2 \times \color{red}{\cancel{8}}}{\cancel{8}} \times 4, \] was reduziert wird zu \[ 8x = 8. \] Teile beide Seiten durch 8: \[ \dfrac{8x}{8} = \dfrac{8}{8}, \] also \[ x = 1. \]

  2. Finde \( p \), wenn \[ \dfrac{3}{p} = \dfrac{1}{5}. \]

    Lösung

    Multipliziere beide Seiten der Proportion mit den Nennern \( p \) und 5: \[ \color{red}{5 \times p} \times \dfrac{3}{p} = \color{red}{5 \times p} \times \dfrac{1}{5}. \] Vereinfache durch Kürzen gemeinsamer Faktoren: \[ \dfrac{5 \times \color{red}{\cancel{p}}}{\cancel{p}} \times 3 = \dfrac{\color{red}{\cancel{5}} \times p}{\cancel{5}} \times 1, \] was ergibt \[ 15 = p. \]

  3. Finde \( w \), wenn \( \dfrac{31}{5} = \dfrac{w}{15} \)

    Lösung

    Multipliziere beide Seiten der Proportion mit den Nennern 5 und 15: \[ \color{Red} {5 \times 15} \times \dfrac{31}{5} = \color{Red} {5 \times 15} \times \dfrac{w}{15} \] Vereinfache durch Kürzen: \[ \dfrac{\color{Red}{\cancel{5}} \times 15}{\cancel{5}} \times 31 = \dfrac{5 \times \color{Red}{\cancel{15}}}{\cancel{15}} \times w \] Multipliziere die Zahlen nicht aus: \[ 5 \times 31 = 5 \times w \] Teile beide Seiten durch 5: \[ \dfrac{5 \times 31}{5} = \dfrac{5 \times w}{5} \] Vereinfache: \[ 31 = w \]

  4. Finde \( k \), wenn \( \dfrac{2k}{3} = \dfrac{20}{6} \)

    Lösung

    Multipliziere beide Seiten der Proportion mit den Nennern 3 und 6: \[ \color{Red} {3 \times 6} \times \dfrac{2k}{3} = \color{Red} {3 \times 6} \times \dfrac{20}{6} \] Vereinfache durch Kürzen: \[ \dfrac{\color{Red}{\cancel{3}} \times 6}{\cancel{3}} \times 2k = \dfrac{3 \times \color{Red}{\cancel{6}}}{\cancel{6}} \times 20 \] Vereinfache: \[ 12k = 60 \] Teile beide Seiten durch 12: \[ \dfrac{12k}{12} = \dfrac{60}{12} \] Vereinfache: \[ k = 5 \]

  5. Löse die Proportion \( \dfrac{3}{7} = \dfrac{y}{0} \), falls möglich

    Lösung

    Keine Lösung, da die Division durch Null in der Mathematik nicht erlaubt ist.

  6. Löse die Proportion \( \dfrac{1}{4} = \dfrac{0}{x} \), falls möglich

    Lösung

    Die linke Seite \( \dfrac{1}{4} \) ist ungleich Null. Die rechte Seite ist entweder Null oder für \( x = 0 \) undefiniert. Daher hat die Proportion keine Lösung.

  7. Wenn \( \dfrac{m}{4} = \dfrac{3}{12} \), welchen Wert hat dann \( m \)?

    Lösung

    Kürze den Bruch auf der rechten Seite: \[ \dfrac{3}{12} = \dfrac{3 \div 3}{12 \div 3} = \dfrac{1}{4} \] Schreibe die Proportion neu: \[ \dfrac{m}{4} = \dfrac{1}{4} \] Da die Nenner gleich sind, müssen die Zähler gleich sein: \[ m = 1 \]

  8. Finde \( t \), wenn \( \dfrac{6}{14} = \dfrac{2t}{14} \)

    Lösung

    Die Nenner sind gleich, also müssen die Zähler gleich sein: \[ 6 = 2t \] Teile beide Seiten durch 2: \[ \dfrac{6}{2} = \dfrac{2t}{2} \] Vereinfache: \[ 3 = t \]

Links und Referenzen

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