Wie man Rate-Probleme löst - Mathematikfragen der 7. Klasse mit detaillierten Lösungen

Wie löst man Fragen zu Raten in der Mathematik? Mathematikfragen der 7. Klasse werden zusammen mit detaillierten Lösungen und Erklärungen präsentiert.

Was sind Raten in der Mathematik und wo werden sie benötigt?

Die Rate ist ein Verhältnis zweier Größen mit unterschiedlichen Einheiten.
Wo werden sie benötigt?

Beispiel 1:

Auto A fährt 150 Kilometer in 3 Stunden. Auto B fährt 220 Kilometer in 4 Stunden. Wir nehmen an, dass beide Autos mit konstanten Geschwindigkeiten fahren. Welches der beiden Autos fährt schneller?

Lösung

Auto A fährt 150 Kilometer in 3 Stunden. In einer Stunde fährt es \[ \dfrac{150 \,\, \text{Kilometer}}{3 \,\, \text{Stunden}} = \dfrac{50 \,\, \text{km}}{1 \,\, \text{Stunde}} = 50 \text{km / Stunde} \] Auto B fährt 220 Kilometer in 4 Stunden. In einer Stunde fährt es \[ \dfrac{220 \,\, \text{Kilometer}}{4 \,\, \text{Stunden}} = \dfrac{55 \,\, \text{km}}{1 \,\, \text{Stunde}} = 55 \text{km / Stunde} \] Die Größen 50 km / Stunde und 55 km / Stunde nennt man Einheitsraten, da der Nenner eine Zeiteinheit ist: 1 Stunde. In diesem Fall können die Einheitsraten verwendet werden, um herauszufinden, welches Auto schneller fährt, da wir jetzt wissen, wie viele Kilometer jedes Auto in einer Stunde zurücklegt, und wir daher die Geschwindigkeit (oder Raten) vergleichen und sagen können, dass Auto B schneller fährt.

Beispiel 2:

Ein Auto fährt 150 Kilometer in 3 Stunden. Wir nehmen an, dass das Auto mit einer konstanten Geschwindigkeit fährt. Wie viele Stunden werden benötigt, damit dieses Auto bei gleicher Geschwindigkeit 250 Kilometer zurücklegt?

Sei t die Anzahl der Stunden, die benötigt werden, um 250 Kilometer zurückzulegen. Da das Auto mit einer konstanten Rate (Geschwindigkeit) fährt, können wir schreiben, dass die Einheitsrate für alle verwendeten Werte von Distanz und Zeit gleich ist. Daher schreiben wir \[ \dfrac{150 \,\, \text{km}}{3\,\,\text{Stunden}} = \dfrac{250 \,\, \text{km}}{\text{t}} \text{ , t in Stunden } \] Die obige Gleichung in t hat die Form. \[ \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \] Multiplizieren Sie beide Terme des Obigen mit dem Produkt der Nenner $b \times d$. \[ b \times d \times \dfrac{a}{b} = b \times d \times \dfrac{c}{d} \] Vereinfachen Sie \[ \cancel{b}\times d \times\dfrac{a}{\cancel{b}} = b \times \cancel{d} \times \dfrac{c}{\cancel{d}} \]
um zu erhalten \[ a \times d = b \times c \] Daher sind die Gleichungen $ \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} $ und $ a \times d = b \times c $ äquivalent und haben dieselbe Lösung. Diese Methode, eine Gleichung von Brüchen auf jeder Seite zu Produkten auf jeder Seite zu ändern, wird "kreuzweises Multiplizieren" genannt, die wir verwenden werden, um unsere Probleme zu lösen.
Wir gehen nun zurück zu unserer Gleichung $ \dfrac{150 \,\, \text{km}}{3\,\,\text{Stunden}} = \dfrac{250 \,\, \text{km}}{\text{t}} $ und verwenden die Methode des "kreuzweisen Multiplizierens", um sie wie folgt zu schreiben. \[ 150 \,\, \text{km} \times t = 250 \text{km}\times 3 \text{Stunden} \] Da wir t finden müssen, isolieren wir es, indem wir beide Seiten der obigen Gleichung durch $ 150 \,\, \text{km} $ teilen. \[ \dfrac{150 \,\, \text{km} \times t}{150 \,\, \text{km}} = \dfrac{250 \text{km}\times 3 \text{Stunden}}{150 \,\, \text{km}} \] Vereinfachen Sie.
\[ \dfrac{\cancel{150 \,\, \text{km}} \times t}{\cancel{150 \,\, \text{km}}} = \dfrac{250 \cancel{\text{km}}\times 3 \text{Stunden}}{150 \,\, \cancel{\text{km}}} \] \[ t = \dfrac{250 \times 3}{150} \, \, \text{Stunden} = 5 \,\, \text{Stunden} \]

Die folgenden Übungen mit Lösungen und Erklärungen befassen sich alle mit dem Lösen von Rate-Problemen.

Lösen Sie die folgenden Rate-Probleme.