Diese Seite wurde entwickelt, um Schülern zu helfen, das Konzept von Raten und Einheitsraten zu beherrschen. Unterhalb der einführenden Lektion finden Sie Übungsaufgaben, die erklären, wie man Ratengleichungen aufstellt, gefolgt von sorgfältig ausgewählten Aufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen.
Eine Rate ist ein Verhältnis, das zwei Größen mit unterschiedlichen Einheiten vergleicht (z. B. Kilometer und Stunden oder Dollar und Kilogramm).
Auto A fährt $150$ Kilometer in $3$ Stunden. Auto B fährt $220$ Kilometer in $4$ Stunden. Angenommen, beide Autos fahren mit konstanter Geschwindigkeit: Welches der beiden Autos fährt schneller?
Berechnen Sie zuerst, wie weit Auto A in genau einer Stunde fährt:
$$\frac{150 \text{ km}}{3 \text{ Stunden}} = \frac{50 \text{ km}}{1 \text{ Stunde}} = 50 \text{ km/h}$$
Berechnen Sie anschließend, wie weit Auto B in einer Stunde fährt:
$$\frac{220 \text{ km}}{4 \text{ Stunden}} = \frac{55 \text{ km}}{1 \text{ Stunde}} = 55 \text{ km/h}$$
Die Größen $50 \text{ km/h}$ und $55 \text{ km/h}$ werden als Einheitsraten bezeichnet, da der Nenner genau eine Zeiteinheit beträgt. Durch den Vergleich dieser Einheitsraten können wir klar erkennen, dass Auto B schneller fährt.
Ein Auto fährt $150$ Kilometer in $3$ Stunden. Angenommen, die Geschwindigkeit ist konstant: Wie viele Stunden werden benötigt, damit das Auto $250$ Kilometer zurücklegt?
Sei $t$ die Anzahl der Stunden, die benötigt werden, um $250 \text{ km}$ zu fahren. Da die Geschwindigkeit konstant ist, bleibt die Rate gleich. Wir können eine Proportion aufstellen:
$$\frac{150 \text{ km}}{3 \text{ Stunden}} = \frac{250 \text{ km}}{t}$$
Um nach $t$ aufzulösen, können wir die Methode der Kreuzmultiplikation verwenden. Multiplizieren Sie diagonal über das Gleichheitszeichen:
$$150 \text{ km} \times t = 250 \text{ km} \times 3 \text{ Stunden}$$
Isolieren Sie $t$, indem Sie beide Seiten durch $150 \text{ km}$ teilen:
$$t = \frac{250 \times 3}{150} \text{ Stunden}$$
$$t = \frac{750}{150} \text{ Stunden} = \mathbf{5 \text{ Stunden}}$$
Hinweis: Wenn Sie nicht weiterkommen, klappen Sie den Lösungsblock aus, um die schrittweise Logik zu sehen.
Sei $d$ die tatsächliche Entfernung in Kilometern. Stellen Sie eine Proportion auf, die den Kartenmaßstab mit der unbekannten Entfernung vergleicht:
$$\frac{15 \text{ km}}{5 \text{ cm}} = \frac{d}{15 \text{ cm}}$$
Über Kreuz multiplizieren:
$$15 \text{ km} \times 15 \text{ cm} = d \times 5 \text{ cm}$$
Teilen Sie beide Seiten durch $5 \text{ cm}$:
$$d = \frac{15 \times 15}{5} \text{ km} = \frac{225}{5} \text{ km} = \mathbf{45 \text{ km}}$$
Sei $x$ die Anzahl der benötigten Gallonen für $330 \text{ Meilen}$. Stellen Sie die Proportion auf:
$$\frac{220 \text{ Meilen}}{10 \text{ Gallonen}} = \frac{330 \text{ Meilen}}{x}$$
Über Kreuz multiplizieren:
$$220 \times x = 330 \times 10$$
Teilen Sie beide Seiten durch $220$, um $x$ zu isolieren:
$$x = \frac{3300}{220} = \mathbf{15 \text{ Gallonen}}$$
Berechnen Sie zuerst die Kosten für genau ein Ticket (Einheitsrate):
$$c = \frac{\$66}{10 \text{ Tickets}} = \$6,60 \text{ pro Ticket}$$
Um die Gesamtkosten ($C$) für $22$ Tickets zu ermitteln, multiplizieren Sie die Einheitsrate mit $22$:
$$C = 22 \text{ Tickets} \times \$6,60 \text{ pro Ticket} = \mathbf{\$145,20}$$
Teil a: Bestimmen Sie zuerst die Anzahl der Dosen pro Schachtel (Einheitsrate):
$$\text{Einheitsrate} = \frac{36 \text{ Dosen}}{4 \text{ Schachteln}} = 9 \text{ Dosen pro Schachtel}$$
In $7$ Schachteln beträgt die Anzahl der Dosen:
$$7 \text{ Schachteln} \times 9 \text{ Dosen pro Schachtel} = \mathbf{63 \text{ Dosen}}$$
Teil b: Sei $B$ die Anzahl der benötigten Schachteln, um $99 \text{ Dosen}$ zu verpacken. Stellen Sie mithilfe der Einheitsrate die Proportion auf:
$$\frac{9 \text{ Dosen}}{1 \text{ Schachtel}} = \frac{99 \text{ Dosen}}{B}$$
Über Kreuz multiplizieren und nach $B$ auflösen:
$$9 \times B = 99 \times 1 \implies B = \frac{99}{9} = \mathbf{11 \text{ Schachteln}}$$
Bestimmen Sie zuerst den Preis für $1 \text{ kg}$ Äpfel (Einheitsrate):
$$c = \frac{\$15}{4 \text{ kg}} = \$3,75 \text{ pro kg}$$
Mit dem Preis für $1 \text{ kg}$ ergeben sich die Kosten ($C$) für $11 \text{ kg}$ zu:
$$C = 11 \text{ kg} \times \$3,75 \text{ pro kg} = \mathbf{\$41,25}$$
Teil a: Bestimmen Sie die Menge des Wassers, das in einer Minute gepumpt wird (Einheitsrate):
$$\text{Einheitsrate} = \frac{55 \text{ Gallonen}}{10 \text{ Minuten}} = 5,5 \text{ Gallonen pro Minute}$$
Die Menge des Wassers, das in $22 \text{ Minuten}$ gepumpt wird, beträgt:
$$22 \text{ Minuten} \times 5,5 \text{ Gallonen pro Minute} = \mathbf{121 \text{ Gallonen}}$$
Teil b: Sei $T$ die Anzahl der Minuten, um $165 \text{ Gallonen}$ zu pumpen. Stellen Sie die Proportion auf:
$$\frac{55 \text{ Gallonen}}{10 \text{ Minuten}} = \frac{165 \text{ Gallonen}}{T}$$
Über Kreuz multiplizieren und lösen:
$$55 \times T = 165 \times 10 \implies T = \frac{1650}{55} = \mathbf{30 \text{ Minuten}}$$
Sei $T$ die Gesamtzahl der Stunden, bis alle $324 \text{ Liter}$ ausgelaufen sind. Unter Verwendung der Gleichheit der Raten:
$$\frac{3 \text{ Liter}}{5 \text{ Stunden}} = \frac{324 \text{ Liter}}{T}$$
Über Kreuz multiplizieren:
$$3 \times T = 5 \times 324$$
Teilen Sie beide Seiten durch $3$ und vereinfachen Sie:
$$T = \frac{1620}{3} = \mathbf{540 \text{ Stunden}}$$
Sei $W$ das Gewicht von $5 \text{ Dosen}$. Unter Verwendung der Gleichheit der Raten:
$$\frac{20 \text{ Dosen}}{7300 \text{ Gramm}} = \frac{5 \text{ Dosen}}{W}$$
Über Kreuz multiplizieren:
$$20 \times W = 5 \times 7300$$
Teilen Sie beide Seiten durch $20$ und vereinfachen Sie:
$$W = \frac{36500}{20} = \mathbf{1825 \text{ Gramm}}$$
Bei dieser Aufgabe haben wir zwei konkurrierende Raten: die Füllrate ($R_f$) und die Leckrate ($R_l$). Berechnen wir die Einheitsrate pro Sekunde für beide:
$$R_f = \frac{5 \text{ Liter}}{45 \text{ Sekunden}} = \frac{1}{9} \text{ Liter pro Sekunde}$$
$$R_l = \frac{1 \text{ Liter}}{180 \text{ Sekunden}}$$
Wir wissen, dass $1 \text{ Stunde} = 3600 \text{ Sekunden}$ ist. Berechnen wir das Gesamtvolumen für beide Vorgänge über diesen Zeitraum.
Die Menge ($Q_1$) des Wassers, das nach $1 \text{ Stunde}$ hineingepumpt wurde, ist:
$$Q_1 = R_f \times 3600 = \frac{1}{9} \times 3600 = 400 \text{ Liter}$$
Die Menge ($Q_2$) des Wassers, das nach $1 \text{ Stunde}$ durch das Leck verloren ging, ist:
$$Q_2 = R_l \times 3600 = \frac{1}{180} \times 3600 = 20 \text{ Liter}$$
Daher ist die Gesamtmenge ($Q$) des Wassers, das nach $1 \text{ Stunde}$ im Behälter verbleibt:
$$Q = Q_1 - Q_2 = 400 - 20 = \mathbf{380 \text{ Liter}}$$