Ausführliche Lösungen Probleme und Fragen zur Rate

Ausführliche Lösungen zu den Fragen zum Lösen von Rate-Problemen? werden vorgestellt.


  1. Die Entfernung zwischen zwei Städten auf der Karte beträgt 15 Zentimeter. Der Maßstab der Karte ist 5 Zentimeter zu 15 Kilometern. Wie groß ist die tatsächliche Entfernung \( d \), in Kilometern, zwischen den beiden Städten?

    Lösung

    Drücken Sie zuerst die Einheitsrate mit bekannten Größen in Kilometern pro Zentimeter aus: \[ \frac{15 \ \text{Kilometer}}{5 \ \text{Zentimeter}} \] Sei \( d \) die tatsächliche Entfernung in Kilometern, die 15 Zentimetern entspricht. Die Einheitsrate unter Verwendung der unbekannten Größe \( d \) ist: \[ \frac{d}{15 \ \text{Zentimeter}} \] Da die beiden Raten gleich sind: \[ \frac{15 \ \text{Kilometer}}{5 \ \text{Zentimeter}} = \frac{d}{15 \ \text{Zentimeter}} \] Kreuzmultiplizieren: \[ 15 \ \text{Kilometer} \times 15 \ \text{Zentimeter} = d \times 5 \ \text{Zentimeter} \] Teilen Sie beide Seiten durch \( 5 \ \text{Zentimeter} \): \[ \frac{15 \ \text{Kilometer} \times 15 \ \text{Zentimeter}}{5 \ \text{Zentimeter}} = \frac{d \times 5 \ \text{Zentimeter}}{5 \ \text{Zentimeter}} \] Vereinfachen: \[ \frac{15 \ \text{Kilometer} \times 15 \ \cancel{\text{Zentimeter}}}{5 \ \cancel{\text{Zentimeter}}} = \frac{d \times \cancel{5} \ \cancel{\text{Zentimeter}}}{\cancel{5} \ \cancel{\text{Zentimeter}}} \] \[ d = 45 \ \text{Kilometer} \]

  2. Ein Auto verbraucht 10 Gallonen Kraftstoff, um eine Strecke von 220 Meilen zurückzulegen. Bei konstantem Verbrauch, wie viele Gallonen werden benötigt, um 330 Meilen zu fahren?

    Lösung

    Drücken Sie die Einheitsrate mit bekannten Größen in Meilen pro Gallone aus: \[ \frac{220 \ \text{Meilen}}{10 \ \text{Gallonen}} \] Sei \( x \) die Anzahl der Gallonen, die benötigt werden, um 330 Meilen zu fahren. Dann ist die Einheitsrate unter Verwendung von \( x \): \[ \frac{330 \ \text{Meilen}}{x} \] Da die beiden Raten gleich sind: \[ \frac{220 \ \text{Meilen}}{10 \ \text{Gallonen}} = \frac{330 \ \text{Meilen}}{x} \] Kreuzmultiplizieren: \[ 220 \ \text{Meilen} \times x = 330 \ \text{Meilen} \times 10 \ \text{Gallonen} \] Teilen Sie beide Seiten durch \( 220 \ \text{Meilen} \): \[ \frac{220 \ \text{Meilen} \times x}{220 \ \text{Meilen}} = \frac{330 \ \text{Meilen} \times 10 \ \text{Gallonen}}{220 \ \text{Meilen}} \] Vereinfachen, um \( x \) zu finden: \[ x = 15 \ \text{Gallonen} \]

  3. Zehn Tickets für ein Kino kosten 66 $. Wie viel kosten 22 Tickets für dasselbe Kino?

    Lösung

    Es ist vielleicht einfacher, den Preis \( c \) eines Tickets (die Einheitsrate) zu ermitteln, der gegeben ist durch: \[ c = \frac{\$66}{10 \text{ Tickets}} = 6,6 \text{ Dollar pro Ticket} \] Um die Kosten \( C \) für 22 Tickets zu ermitteln, multiplizieren Sie die Kosten eines Tickets mit 22: \[ C = 22 \text{ Tickets} \times c = 22 \times 6,6 = \$145,2 \]

  4. Dosen mit Limonade werden in Kartons verpackt, die alle die gleiche Anzahl Dosen enthalten. In 4 Kartons sind 36 Dosen.
    a) Wie viele Dosen sind in 7 Kartons?
    b) Wie viele Kartons werden benötigt, um 99 Dosen Limonade zu verpacken?

    Lösung

    a) Ermitteln Sie zuerst die Anzahl \( n \) der Dosen pro Karton (Einheitsrate): \[ n = \frac{36 \text{ Dosen}}{4 \text{ Kartons}} = 9 \text{ Dosen pro Karton} \] In 7 Kartons beträgt die Anzahl der Dosen \( N \): \[ N = 7 \times n = 7 \text{ Kartons} \times 9 \text{ Dosen pro Karton} = 63 \text{ Dosen} \] b) Sei \( B \) die Anzahl der Kartons, die benötigt werden, um 99 Dosen zu verpacken. Schreiben Sie unter Verwendung der Einheitsrate das Verhältnis auf: \[ \frac{9 \text{ Dosen}}{1 \text{ Karton}} = \frac{99 \text{ Dosen}}{B} \] Kreuzmultiplizieren: \[ 9 \text{ Dosen} \times B = 99 \text{ Dosen} \times 1 \text{ Karton} \] Teilen Sie beide Seiten durch \( 9 \text{ Dosen} \): \[ \frac{9 \text{ Dosen} \times B}{9 \text{ Dosen}} = \frac{99 \text{ Dosen} \times 1 \text{ Karton}}{9 \text{ Dosen}} \] Vereinfachen: \[ B = 11 \text{ Kartons} \]

  5. Joe kaufte 4 Kilogramm Äpfel zum Preis von 15 $. Wie viel müsste er im selben Geschäft für 11 Kilogramm derselben Äpfel bezahlen?

    Lösung

    Ermitteln Sie zuerst den Preis \( c \) für ein Kilogramm Äpfel (Einheitsrate): \[ c = \frac{\$15}{4 \text{ kg}} = \$3,75 \text{ pro kg} \] Mit dem Preis für 1 kg betragen die Kosten \( C \) für 11 kg: \[ C = 11 \text{ kg} \times c = 11 \text{ kg} \times \$3,75 \text{ pro kg} = \$41,25 \]

  6. Eine Pumpe benötigt 10 Minuten, um 55 Gallonen Wasser einen Hügel hinaufzubefördern. Unter denselben Bedingungen mit derselben Pumpe:
    a) Wie viel Wasser wird in 22 Minuten bewegt?
    b) Wie lange dauert es, 165 Gallonen Wasser zu bewegen?

    Lösung

    a) Ermitteln Sie zuerst die Anzahl der Gallonen \( n \), die in einer Minute bewegt werden (Einheitsrate): \[ n = \frac{55 \text{ Gallonen}}{10 \text{ Minuten}} = 5,5 \text{ Gallonen pro Minute} \] Die Anzahl \( N \) der Gallonen, die in 22 Minuten bewegt werden, ist: \[ N = 22 \text{ Minuten} \times 5,5 \text{ Gallonen pro Minute} = 121 \text{ Gallonen} \] b) Sei \( T \) die Anzahl der Minuten, um 165 Gallonen zu bewegen. Verwendung der Raten-Gleichheit: \[ \frac{55 \text{ Gallonen}}{10 \text{ Minuten}} = \frac{165 \text{ Gallonen}}{T} \] Kreuzmultiplizieren: \[ 55 \text{ Gallonen} \times T = 165 \text{ Gallonen} \times 10 \text{ Minuten} \] Teilen Sie beide Seiten durch \( 55 \text{ Gallonen} \) und vereinfachen: \[ T = \frac{165 \text{ Gallonen} \times 10 \text{ Minuten}}{55 \text{ Gallonen}} = 30 \text{ Minuten} \]

  7. Ein Behälter mit 324 Litern Wasser verliert alle 5 Stunden 3 Liter. Wie lange dauert es, bis der Behälter leer ist?

    Lösung

    Sei \( T \) die Anzahl der Stunden, bis 324 Liter auslaufen. Verwendung der Gleichheit der Raten: \[ \frac{3 \text{ Liter}}{5 \text{ Stunden}} = \frac{324 \text{ Liter}}{T} \] Kreuzmultiplizieren: \[ 3 \text{ Liter} \times T = 5 \text{ Stunden} \times 324 \text{ Liter} \] Teilen Sie beide Seiten durch \( 3 \text{ Liter} \) und vereinfachen: \[ T = \frac{5 \text{ Stunden} \times 324 \text{ Liter}}{3 \text{ Liter}} = 540 \text{ Stunden} \]

  8. Einundzwanzig Dosen Tomatenmark gleicher Größe haben ein Gewicht von 7300 Gramm. Wie schwer sind 5 Dosen?

    Lösung

    Sei \( W \) das Gewicht von 5 Dosen. Verwendung der Gleichheit der Raten: \[ \frac{20 \text{ Dosen}}{7300 \text{ Gramm}} = \frac{5 \text{ Dosen}}{W} \] Kreuzmultiplizieren: \[ 20 \text{ Dosen} \times W = 5 \text{ Dosen} \times 7300 \text{ Gramm} \] Teilen Sie beide Seiten durch \( 20 \text{ Dosen} \) und vereinfachen: \[ W = \frac{5 \text{ Dosen} \times 7300 \text{ Gramm}}{20 \text{ Dosen}} = 1825 \text{ Gramm} \]

  9. Ein leerer Behälter wird mit einer Wasserpumpe mit einer Rate von 5 Litern alle 45 Sekunden gefüllt. Aber der Behälter verliert auch Wasser mit einer Rate von 1 Liter alle 180 Sekunden. Wie viel Wasser befindet sich nach einer Stunde im Behälter?

    Lösung

    In diesem Problem haben wir zwei Raten:
    Die Füllrate \( R_f \)
    Die Leckrate \( R_l \) Berechnen Sie die beiden Raten: \[ R_f = \frac{5 \text{ Liter}}{45 \text{ Sekunden}}, \quad R_l = \frac{1 \text{ Liter}}{180 \text{ Sekunden}} \] Wir wissen auch: \[ 1 \text{ Stunde} = 3600 \text{ Sekunden} \] Die Wassermenge \( Q_1 \), die nach 1 Stunde gepumpt wurde, ist: \[ Q_1 = R_f \times 3600 = \frac{5}{45} \times 3600 = 400 \text{ Liter} \] Die Wassermenge \( Q_2 \), die nach 1 Stunde durch Leckage verloren gegangen ist, ist: \[ Q_2 = R_l \times 3600 = \frac{1}{180} \times 3600 = 20 \text{ Liter} \] Daher ist die Wassermenge \( Q \) im Behälter nach 1 Stunde: \[ Q = Q_1 - Q_2 = 400 - 20 = 380 \text{ Liter} \]

Links und Referenzen