Algebrafragen der 8. Klasse werden mit Lösungen präsentiert. Die Fragen umfassen das Lösen von Gleichungen, das Vereinfachen von Ausdrücken und Ausdrücke mit Brüchen.
Vereinfache die folgenden algebraischen Ausdrücke.
A) \(-2x + 5 + 10x - 9\)
B) \(3(x + 7) + 2(-x + 4) + 5x\)
Vereinfache die Ausdrücke.
A) \(\dfrac{2x - 6}{2}\)
B) \(\dfrac{-x - 2}{x + 2}\)
C) \(\dfrac{5x - 5}{10}\)
Löse die folgenden Gleichungen nach x auf.
A) \(-x = 6\)
B) \(2x - 8 = -x + 4\)
C) \(2x + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{3}\)
D) \(\dfrac{x}{3} + 2 = 5\)
E) \(\dfrac{-5}{x} = 2\)
Werte für die gegebenen Werte von \(x\) und \( y \) aus.
A) \(x^2 - y^2\), für \(x = 4\) und \(y = 5\)
B) \(|4x - 2y|\), für \(x = -2\) und \(y = 3\)
C) \(3x^3 - 4y^4\), für \(x = -1\) und \(y = -2\)
Löse die folgenden Ungleichungen.
A) \(x + 6 < 0\)
B) \(x + 1 > 5\)
C) \(2(x - 2) < 12\)
Was ist der Kehrwert jeder der folgenden Zahlen?
A) \(-1\)
B) \(0\)
C) \(\dfrac{3}{4}\)
D) \(2\dfrac{5}{7}\)
E) \(0.02\)
Berechne die folgenden Ausdrücke mit gemischten Zahlen.
A) \(3\dfrac{3}{4} + 6\dfrac{1}{7}\)
B) \((1\dfrac{3}{5}) \times (3\dfrac{1}{3}) - 2\dfrac{1}{2}\)
C) \((5\dfrac{2}{3}) \div (4\dfrac{1}{5})\)
D) \((3\dfrac{4}{7} - 1\dfrac{1}{2}) \div (2\dfrac{3}{8} + 2\dfrac{1}{4})\)
Berechne die folgenden Exponentialausdrücke.
A) \(-4^2\)
B) \((-2)^3\)
C) \((-2)^4\)
D) \(1000^0\)
E) \(566^1\)
Wandle in Brüche um und schreibe in der einfachsten Form.
A) \(0.02\)
B) \(12\%\)
C) \(0.5\%\)
D) \(1.12\)
Wandle in Dezimalzahlen um.
A) \(\dfrac{1}{5}\)
B) \(120\%\)
C) \(0.2\%\)
D) \(4\dfrac{8}{5}\)
Wandle in Prozent um.
A) \(\dfrac{3}{10}\)
B) \(1.4\)
C) \(123.45\)
D) \(2\dfrac{4}{5}\)
Welche dieser Zahlen ist durch 3 teilbar?
A) \(156312\)
B) \(176314\)
Welche dieser Zahlen ist durch 4 teilbar?
A) \(3432\)
B) \(1257\)
Welche dieser Zahlen ist durch 6 teilbar?
A) \(1233\)
B) \(3432\)
Welche dieser Zahlen ist durch 9 teilbar?
A) \(2538\)
B) \(1451\)
Berechne \(8x + 7\), gegeben dass \(x - 3 = 10\).
A) \(-2x + 5 + 10x - 9\)
\(= (10x - 2x) + (5 - 9)\)
gleiche Terme zusammenfassen\(= 8x - 4\)
zusammenfassenB) \(3(x + 7) + 2(-x + 4) + 5x\)
\(= 3x + 21 - 2x + 8 + 5x\)
ausmultiplizieren\(= (3x - 2x + 5x) + (21 + 8)\)
gleiche Terme zusammenfassen\(= 6x + 29\)
zusammenfassenA) \(\dfrac{2x - 6}{2}\)
\(= \dfrac{2(x - 3)}{2}\)
2 im Zähler ausklammern\(= x - 3\)
Zähler und Nenner durch 2 teilen, um zu vereinfachenB) \(\dfrac{-x - 2}{x + 2}\)
\(= \dfrac{-1(x + 2)}{x + 2}\)
-1 im Zähler ausklammern\(= -1\)
Zähler und Nenner durch x + 2 teilen, um zu vereinfachenC) \(\dfrac{5x - 5}{10}\)
\(= \dfrac{5(x - 1)}{10}\)
5 im Zähler ausklammern\(= \dfrac{x - 1}{2}\)
Zähler und Nenner durch 5 teilen, um zu vereinfachenA) \(-x = 6\)
\(x = -6\)
beide Seiten der Gleichung mit -1 multiplizierenB) \(2x - 8 = -x + 4\)
\(2x - 8 + 8 = -x + 4 + 8\)
+8 zu beiden Seiten der Gleichung addieren\(2x = -x + 12\)
gleiche Terme zusammenfassen\(2x + x = -x + 12 + x\)
+x zu beiden Seiten addieren\(3x = 12\)
gleiche Terme zusammenfassen\(x = 4\)
beide Seiten mit 1/3 multiplizierenC) \(2x + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{3}\)
\(2x + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2}\)
1/2 von beiden Seiten subtrahieren\(2x = \dfrac{1}{6}\)
gleiche Terme zusammenfassen\(x = \dfrac{1}{12}\)
beide Seiten mit 1/2 multiplizierenD) \(\dfrac{x}{3} + 2 = 5\)
\(\dfrac{x}{3} + 2 - 2 = 5 - 2\)
2 von beiden Seiten subtrahieren\(\dfrac{x}{3} = 3\)
gleiche Terme zusammenfassen\(x = 9\)
beide Seiten mit 3 multiplizierenE) \(\dfrac{-5}{x} = 2\)
\(-5 = 2x\)
beide Seiten mit x multiplizieren und vereinfachen\(x = -\dfrac{5}{2}\)
beide Seiten mit 1/2 multiplizierenA) \(x^2 - y^2\), für \(x = 4\) und \(y = 5\)
\(4^2 - 5^2\)
x und y durch die gegebenen Werte ersetzen\(= 16 - 25 = -9\)
auswertenB) \(|4x - 2y|\), für \(x = -2\) und \(y = 3\)
\(|4(-2) - 2(3)|\)
x und y durch die gegebenen Werte ersetzen\(= |-8 - 6| = |-14| = 14\)
auswertenC) \(3x^3 - 4y^4\), für \(x = -1\) und \(y = -2\)
\(3(-1)^3 - 4(-2)^4\)
x und y durch die gegebenen Werte ersetzen\(= 3(-1) - 4(16) = -3 - 64 = -67\)
auswertenA) \(x + 6 < 0\)
\(x + 6 - 6 < 0 - 6\)
6 von beiden Seiten subtrahieren\(x < -6\)
gleiche Terme zusammenfassenB) \(x + 1 > 5\)
\(x + 1 - 1 > 5 - 1\)
1 von beiden Seiten subtrahieren\(x > 4\)
gleiche Terme zusammenfassenC) \(2(x - 2) < 12\)
\(x - 2 < 6\)
beide Seiten mit 1/2 multiplizieren\(x - 2 + 2 < 6 + 2\)
2 zu beiden Seiten addieren\(x < 8\)
gleiche Terme zusammenfassenA) \(-1\)
\((-1) \cdot a = 1\)
Definition: a ist der Kehrwert von -1\(a = \dfrac{1}{-1} = -1\)
löse nach a auf; -1 ist der Kehrwert von -1B) \(0\)
\((0) \cdot b = 1\)
Definition: b ist der Kehrwert von 0\(b = \text{undefiniert}\)
kein Wert für b erfüllt die obige GleichungC) \(\dfrac{3}{4}\)
\(\dfrac{3}{4} \cdot c = 1\)
Definition: c ist der Kehrwert von 3/4\(c = \dfrac{4}{3}\)
löse nach c auf; c = 4/3 ist der Kehrwert von 3/4D) \(2\dfrac{5}{7}\)
\(2\dfrac{5}{7} \cdot d = 1\)
Definition: d ist der Kehrwert von 2 5/7\(\dfrac{19}{7} \cdot d = 1\)
wandele die gemischte Zahl 2 5/7 in einen Bruch um\(d = \dfrac{7}{19}\)
löse nach d auf; d = 7/19 ist der Kehrwert von 2(5/7)E) \(0.02\)
\(0.02 \cdot d = 1\)
Definition: d ist der Kehrwert von 0.02\(d = \dfrac{1}{0.02} = 50\)
löse nach d auf; d = 50 ist der Kehrwert von 0.02A) \(3\dfrac{3}{4} + 6\dfrac{1}{7}\)
\(= (3 + 6) + \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{7}\right)\)
die ganzen Teile und die Bruchteile zusammenfassen\(= 9 + \left(\dfrac{21}{28} + \dfrac{4}{28}\right)\)
gemeinsamen Nenner 28 verwenden\(= 9 + \dfrac{25}{28}\)
Brüche addieren\(= 9\dfrac{25}{28}\)
als gemischte Zahl schreibenB) \((1\dfrac{3}{5}) \times (3\dfrac{1}{3}) - 2\dfrac{1}{2}\)
\(= \dfrac{8}{5} \times \dfrac{10}{3} - \dfrac{5}{2}\)
gemischte Zahlen in unechte Brüche umwandeln\(= \dfrac{80}{15} - \dfrac{5}{2}\)
multiplizieren\(= \dfrac{16}{3} - \dfrac{5}{2}\)
den Bruch vereinfachen\(= \dfrac{32}{6} - \dfrac{15}{6}\)
gemeinsamen Nenner 6 verwenden\(= \dfrac{17}{6}\)
subtrahieren\(= 2\dfrac{5}{6}\)
unechten Bruch in gemischte Zahl umwandelnC) \((5\dfrac{2}{3}) \div (4\dfrac{1}{5})\)
\(= \dfrac{17}{3} \div \dfrac{21}{5}\)
gemischte Zahlen in unechte Brüche umwandeln\(= \dfrac{17}{3} \times \dfrac{5}{21}\)
mit dem Kehrwert multiplizieren\(= \dfrac{85}{63}\)
Zähler und Nenner multiplizieren\(= 1\dfrac{22}{63}\)
unechten Bruch in gemischte Zahl umwandelnD) \((3\dfrac{4}{7} - 1\dfrac{1}{2}) \div (2\dfrac{3}{8} + 2\dfrac{1}{4})\)
\(= \left(\dfrac{25}{7} - \dfrac{3}{2}\right) \div \left(\dfrac{19}{8} + \dfrac{9}{4}\right)\)
gemischte Zahlen in unechte Brüche umwandeln\(= \left(\dfrac{50}{14} - \dfrac{21}{14}\right) \div \left(\dfrac{19}{8} + \dfrac{18}{8}\right)\)
gemeinsame Nenner verwenden\(= \dfrac{29}{14} \div \dfrac{37}{8}\)
subtrahieren und addieren\(= \dfrac{29}{14} \times \dfrac{8}{37}\)
mit dem Kehrwert multiplizieren\(= \dfrac{232}{518}\)
Zähler und Nenner multiplizieren\(= \dfrac{116}{259}\)
Zähler und Nenner durch 2 teilen, um den Bruch zu kürzenA) \(-4^2\)
\(= -(4 \times 4) = -16\)
ausmultiplizieren und berechnenB) \((-2)^3\)
\(= (-2) \times (-2) \times (-2) = -8\)
ausmultiplizieren und berechnenC) \((-2)^4\)
\(= (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = 16\)
ausmultiplizieren und berechnenD) \(1000^0\)
\(= 1\)
Definition: Jede Zahl ungleich Null hoch Null ergibt 1E) \(566^1\)
\(= 566\)
Jede Zahl hoch 1 ist die Zahl selbstA) \(0.02 = \dfrac{2}{100} = \dfrac{1}{50}\)
Erklärung: Die Dezimalzahl 0.02 wird als 2 Hundertstel gelesen, was dem Bruch 2/100 entspricht. Das Teilen von Zähler und Nenner durch 2 vereinfacht ihn zu 1/50.
B) \(12\% = \dfrac{12}{100} = \dfrac{3}{25}\)
Erklärung: Das Prozentzeichen (%) bedeutet "von Hundert", also ist 12% 12 pro Hundert oder 12/100. Das Teilen von Zähler und Nenner durch 4 ergibt den vereinfachten Bruch 3/25.
C) \(0.5\% = \dfrac{0.5}{100} = \dfrac{1}{200}\)
Erklärung: 0.5% bedeutet 0.5 pro Hundert oder 0.5/100. Um die Dezimalzahl im Zähler zu entfernen, multipliziert man Zähler und Nenner mit 2 und erhält 1/200.
D) \(1.12 = \dfrac{112}{100} = \dfrac{28}{25}\)
Erklärung: Die Dezimalzahl 1.12 wird als 112 Hundertstel gelesen, also ist sie 112/100. Das Teilen von Zähler und Nenner durch 4 vereinfacht sie zu 28/25.
A) \(\dfrac{1}{5} = 0.2\)
Erklärung: Der Bruch 1/5 bedeutet 1 geteilt durch 5. Die Durchführung der Division ergibt die Dezimalzahl 0.2.
B) \(120\% = \dfrac{120}{100} = 1.2\)
Erklärung: Prozent bedeutet "von Hundert", also ist 120% gleich 120/100. Die Division von 120 durch 100 ergibt die Dezimalzahl 1.2.
C) \(0.2\% = \dfrac{0.2}{100} = 0.002\)
Erklärung: 0.2% bedeutet 0.2 pro Hundert oder 0.2/100. Das Teilen von 0.2 durch 100 verschiebt das Dezimalkomma um zwei Stellen nach links, was 0.002 ergibt.
D) \(4\dfrac{8}{5} = 4 + 1.6 = 5.6\)
Erklärung: Die gemischte Zahl besteht aus einer ganzen Zahl 4 und einem Bruch 8/5. Da 8/5 ein unechter Bruch ist, entspricht er 1.6. Die Addition von 4 und 1.6 ergibt die Dezimalzahl 5.6.
A) \(\dfrac{3}{10} = \dfrac{30}{100} = 30\%\)
Erklärung: Um einen Bruch in einen Prozentsatz umzuwandeln, schreibt man ihn zuerst mit einem Nenner von 100. Die Multiplikation von Zähler und Nenner von 3/10 mit 10 ergibt 30/100, was 30 Prozent entspricht.
B) \(1.4 = \dfrac{140}{100} = 140\%\)
Erklärung: Die Dezimalzahl 1.4 entspricht 140/100, da das Verschieben des Dezimalkommas um zwei Stellen nach rechts sie in Hundertstel umwandelt. Ein Bruch mit einem Nenner von 100 wird als Prozentsatz gelesen, also entspricht er 140%.
C) \(123.45 = \dfrac{12345}{100} = 12345\%\)
Erklärung: Um die Dezimalzahl 123.45 als Prozentsatz auszudrücken, multipliziert man sie mit 100, was 12345 ergibt, und fügt das Prozentzeichen hinzu. Dies entspricht dem Bruch 12345/100.
D) \(2\dfrac{4}{5} = 2 + \dfrac{4}{5} = 2 + 0.8 = 2.8 = \dfrac{280}{100} = 280\%\)
Erklärung: Die gemischte Zahl 2 und 4/5 wird in eine Dezimalzahl umgewandelt, indem man die ganze Zahl 2 zum Bruch 4/5 (der 0.8 entspricht) addiert, was 2.8 ergibt. Das Schreiben von 2.8 als Bruch mit dem Nenner 100 ergibt 280/100, was 280% ist.
A) \(156312\)
Ziffernsumme: \(1+5+6+3+1+2 = 18\)
18 ist durch 3 teilbar → JA, \(156312\) ist durch 3 teilbarB) \(176314\)
Ziffernsumme: \(1+7+6+3+1+4 = 22\)
22 ist nicht durch 3 teilbar → NEIN, \(176314\) ist NICHT durch 3 teilbarA) \(3432\)
Letzte zwei Ziffern: 32
32 ist durch 4 teilbar → JA, \(3432\) ist durch 4 teilbarB) \(1257\)
Letzte zwei Ziffern: 57
57 ist nicht durch 4 teilbar → NEIN, \(1257\) ist nicht durch 4 teilbarA) \(1233\)
Ziffernsumme = 9 (teilbar durch 3), also ist \(1233\) durch 3 teilbar
\(1233\) ist durch 3 teilbar, aber nicht durch 2 → \(1233\) ist NICHT durch 6 teilbarB) \(3432\)
Ziffernsumme = 12 , also ist \(3432\) durch 3 teilbar
\(3432\) ist durch 3 und 2 teilbar → JA, \(3432\) ist durch 6 teilbarA) \(2538\)
Ziffernsumme: \(2+5+3+8 = 18\)
18 ist durch 9 teilbar → JA, \(2538\) ist durch 9 teilbarB) \(1451\)
Ziffernsumme: \(1+4+5+1 = 11\)
11 ist nicht durch 9 teilbar → \(1451\) ist NICHT durch 9 teilbarBerechne \(8x + 7\), gegeben dass \(x - 3 = 10\).
\(x - 3 = 10\)
gegebene Gleichung\(x = 10 + 3 = 13\)
löse die gegebene Gleichung\(8(13) + 7 = 104 + 7 = 111\)
x durch 13 im gegebenen Ausdruck ersetzen und auswerten