Winkel in Dreiecken: Übungsaufgaben für Klasse 8 mit Lösungen und Erklärungen

Diese Seite soll Schülern, Eltern und Lehrern dabei helfen, das Bestimmen unbekannter Winkel in Dreiecken durch Übungsaufgaben und Schritt-für-Schritt-Lösungen zu beherrschen. Klappen Sie die versteckten Lösungen unter jeder Frage aus, um den Rechenweg hinter jedem Schritt nachzuvollziehen.

Um diese Probleme erfolgreich zu lösen, erinnern Sie sich an die folgenden wichtigen Geometrie-Regeln:

Übungsaufgaben

  1. Bestimmen Sie den unbekannten Winkel \(x\): Dreieck mit einem unbekannten Winkel und zwei bekannten Winkeln (92 und 27 Grad)
    Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

    Die Summe aller 3 Innenwinkel eines Dreiecks ist gleich \(180^\circ\).

    • \(92^\circ + 27^\circ + x = 180^\circ\) (Gleichung aufstellen)
    • \(x = 180^\circ - (92^\circ + 27^\circ)\) (\(x\) isolieren)
    • \(x = 180^\circ - 119^\circ\)
    • \(x = 61^\circ\)
  2. Bestimmen Sie den unbekannten Winkel \(y\): Rechtwinkliges Dreieck mit einem 34-Grad-Winkel und einem unbekannten Winkel
    Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

    Beachten Sie, dass das Quadrat-Symbol ein rechtwinkliges Dreieck anzeigt. Die Summe aller 3 Innenwinkel des rechtwinkligen Dreiecks ist gleich \(180^\circ\).

    • \(y + 34^\circ + 90^\circ = 180^\circ\) (Gleichung mit dem \(90^\circ\)-Winkel aufstellen)
    • \(y = 180^\circ - (90^\circ + 34^\circ)\) (\(y\) isolieren)
    • \(y = 180^\circ - 124^\circ\)
    • \(y = 56^\circ\)
  3. Bestimmen Sie die unbekannten Winkel \(x\), \(y\) und \(z\): Dreieck mit drei unbekannten Innenwinkeln und gegebenen supplementären Außenwinkeln
    Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

    Schritt 1: Bestimmen Sie \(y\)

    • Winkel \(y\) und der Außenwinkel von \(56^\circ\) bilden eine gerade Linie, sie sind also Supplementwinkel.
    • \(y + 56^\circ = 180^\circ\)
    • \(y = 180^\circ - 56^\circ\) = \(124^\circ\)

    Schritt 2: Bestimmen Sie \(x\)

    • Winkel \(x\) und der Außenwinkel von \(144^\circ\) sind Supplementwinkel.
    • \(x + 144^\circ = 180^\circ\)
    • \(x = 180^\circ - 144^\circ\) = \(36^\circ\)

    Schritt 3: Bestimmen Sie \(z\)

    • Die Summe der Innenwinkel \(x\), \(y\) und \(z\) ist \(180^\circ\).
    • \(x + y + z = 180^\circ\)
    • \(36^\circ + 124^\circ + z = 180^\circ\) (Bekannte Werte einsetzen)
    • \(160^\circ + z = 180^\circ\)
    • \(z = 180^\circ - 160^\circ\) = \(20^\circ\)
  4. Bestimmen Sie die unbekannten Winkel \(x\) und \(y\): Zwei benachbarte Dreiecke mit einer gemeinsamen Seite und mehreren unbekannten Winkeln
    Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

    Schritt 1: Bestimmen Sie den fehlenden Winkel im rechten Dreieck

    • Sei \(z\) der dritte Winkel oben im rechten Dreieck. Die Summe der Innenwinkel ist \(180^\circ\).
    • \(26^\circ + 26^\circ + z = 180^\circ\)
    • \(z = 180^\circ - 52^\circ\) = \(128^\circ\)

    Schritt 2: Bestimmen Sie \(y\)

    • Die Winkel \(z\) und \(y\) liegen auf einer geraden Linie, sind also Supplementwinkel.
    • \(z + y = 180^\circ\)
    • \(128^\circ + y = 180^\circ\)
    • \(y = 180^\circ - 128^\circ\) = \(52^\circ\)

    Schritt 3: Bestimmen Sie \(x\)

    • Die Summe der Innenwinkel im linken Dreieck ist \(180^\circ\).
    • \(x + y + 64^\circ = 180^\circ\)
    • \(x + 52^\circ + 64^\circ = 180^\circ\) (\(y\) einsetzen)
    • \(x + 116^\circ = 180^\circ\)
    • \(x = 180^\circ - 116^\circ\) = \(64^\circ\)
  5. Bestimmen Sie die unbekannten Winkel \(x\), \(y\) und \(z\): Zwei vertikal gestapelte Dreiecke mit drei unbekannten Winkeln
    Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

    Schritt 1: Bestimmen Sie \(z\)

    • Winkel \(z\) und der Winkel von \(133^\circ\) sind Supplementwinkel (liegen auf einer geraden Linie).
    • \(z + 133^\circ = 180^\circ\)
    • \(z = 180^\circ - 133^\circ\) = \(47^\circ\)

    Schritt 2: Bestimmen Sie \(x\)

    • Die Winkel des unteren Dreiecks addieren sich zu \(180^\circ\).
    • \(33^\circ + 133^\circ + x = 180^\circ\)
    • \(166^\circ + x = 180^\circ\)
    • \(x = 180^\circ - 166^\circ\) = \(14^\circ\)

    Schritt 3: Bestimmen Sie \(y\)

    • Die Summe der Winkelmaße des oberen Dreiecks ist gleich \(180^\circ\).
    • \(y + z + 114^\circ = 180^\circ\)
    • \(y + 47^\circ + 114^\circ = 180^\circ\) (\(z\) einsetzen)
    • \(y + 161^\circ = 180^\circ\)
    • \(y = 180^\circ - 161^\circ\) = \(19^\circ\)
  6. Bestimmen Sie die unbekannten Winkel \(v\), \(w\), \(x\), \(y\) und \(z\): Drei verbundene Dreiecke mit fünf unbekannten Winkeln
    Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

    Schritt 1: Bestimmen Sie \(w\)

    • Die Summe der Winkel des rechten Dreiecks beträgt \(180^\circ\).
    • \(w + 131^\circ + 32^\circ = 180^\circ\)
    • \(w + 163^\circ = 180^\circ\)
    • \(w = 180^\circ - 163^\circ\) = \(17^\circ\)

    Schritt 2: Bestimmen Sie \(v\)

    • Winkel \(v\) und der Winkel von \(132^\circ\) sind Supplementwinkel.
    • \(132^\circ + v = 180^\circ\)
    • \(v = 180^\circ - 132^\circ\) = \(48^\circ\)

    Schritt 3: Bestimmen Sie \(z\)

    • Die drei Winkel des mittleren Dreiecks addieren sich zu \(180^\circ\).
    • \(v + z + 122^\circ = 180^\circ\)
    • \(48^\circ + z + 122^\circ = 180^\circ\) (\(v\) einsetzen)
    • \(170^\circ + z = 180^\circ\)
    • \(z = 180^\circ - 170^\circ\) = \(10^\circ\)

    Schritt 4: Bestimmen Sie \(x\)

    • Winkel \(x\) und der Winkel von \(122^\circ\) sind Supplementwinkel.
    • \(x + 122^\circ = 180^\circ\)
    • \(x = 180^\circ - 122^\circ\) = \(58^\circ\)

    Schritt 5: Bestimmen Sie \(y\)

    • Die drei Winkel des linken Dreiecks addieren sich zu \(180^\circ\).
    • \(x + 43^\circ + y = 180^\circ\)
    • \(58^\circ + 43^\circ + y = 180^\circ\) (\(x\) einsetzen)
    • \(101^\circ + y = 180^\circ\)
    • \(y = 180^\circ - 101^\circ\) = \(79^\circ\)

Links und Referenzen

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