Die Differenz der Maße zweier Supplementärwinkel beträgt 102 Grad. Finde die beiden Winkel.

Supplementärwinkel ergänzen sich zu 180 Grad. Sei der kleinere Winkel y; der größere Winkel ist y + 102. Die Gleichung aufstellen: y + (y + 102) = 180. Auflösen ergibt 2y = 78, also y = 39. Der kleinere Winkel beträgt 39 Grad und der größere 141 Grad.

Textaufgaben zu linearen Gleichungen: Klasse 8 Fragen & Lösungen

Q: Die Summe zweier Zahlen ist 64. Die Differenz der beiden Zahlen ist 18. Wie lauten die Zahlen?

Sei die kleinere Zahl x. Da die Differenz 18 beträgt, ist die größere Zahl x + 18. Die Summe ist x + (x + 18) = 64. Das Lösen nach x ergibt 2x = 46, also x = 23. Die kleinere Zahl ist 23 und die größere Zahl ist 41.

Q: Die Länge eines Rechtecks ist 10 Meter größer als das Doppelte seiner Breite. Wie lang und wie breit ist das Rechteck, wenn sein Umfang 62 Meter beträgt?

Sei W die Breite. Die Länge L ist 2W + 10. Die Umfangsformel lautet 2L + 2W = 62. Das Einsetzen von L ergibt 2(2W + 10) + 2W = 62. Eine Vereinfachung liefert 6W + 20 = 62. Nach W aufgelöst ergibt W = 7. Die Breite beträgt 7 Meter und die Länge 24 Meter.

Zahleneigenschaften: Das Dreifache einer Zahl, um zehn erhöht, ist gleich dem Sechsfachen der Zahl, verringert um zwanzig. Finde die Zahl.

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Sei die Zahl \(x\).

"Das Dreifache einer Zahl, um 10 erhöht" entspricht \(3x + 10\).
"Ist gleich" entspricht \(=\).
"Zwanzig weniger als das Sechsfache der Zahl" entspricht \(6x - 20\).

Gleichung aufstellen und lösen:

\(3x + 10 = 6x - 20\)
\(3x - 6x = -20 - 10\) (Variablen auf eine Seite und Konstanten auf die andere verschieben)
\(-3x = -30\)
\(x = 10\) (Beide Seiten durch -3 dividieren)

Probe: \(3(10) + 10 = 40\) und \(6(10) - 20 = 40\). Die Lösung ist korrekt.

Komplexe Übersetzung: Wenn das Zweifache der Differenz aus einer Zahl und 3 zu 4 addiert wird, ist das Ergebnis um 22 größer als das Vierfache der Zahl. Finde die Zahl.

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Sei die Zahl \(x\).

"Das Zweifache der Differenz aus einer Zahl und 3 wird zu 4 addiert" entspricht \(2(x - 3) + 4\).
"Das Ergebnis ist" entspricht \(=\).
"um 22 größer als das Vierfache der Zahl" entspricht \(4x + 22\).

Gleichung aufstellen und lösen:

\(2(x - 3) + 4 = 4x + 22\)
\(2x - 6 + 4 = 4x + 22\) (Die 2 ausmultiplizieren)
\(2x - 2 = 4x + 22\) (Konstanten auf der linken Seite zusammenfassen)
\(2x - 4x = 22 + 2\) (Variablen nach links, Konstanten nach rechts verschieben)
\(-2x = 24\)
\(x = -12\)

Summen und Differenzen: Die Summe zweier Zahlen ist 64. Die Differenz der beiden Zahlen ist 18. Wie lauten die Zahlen?

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Sei \(x\) die kleinere Zahl. Da die Differenz der beiden Zahlen 18 beträgt, muss die größere Zahl \(x + 18\) sein.

Die Gleichung mithilfe ihrer Summe aufstellen:

\(x + (x + 18) = 64\)
\(2x + 18 = 64\) (Gleichartige Terme zusammenfassen)
\(2x = 64 - 18\)
\(2x = 46\)
\(x = 23\) (Dies ist die kleinere Zahl)

Die größere Zahl berechnen:

Größere Zahl = \(x + 18 = 23 + 18 =\) \(41\)

Probe: \(23 + 41 = 64\) und \(41 - 23 = 18\).

Geometrische Anwendung (Umfang): Die Länge eines Rechtecks ist 10 Meter größer als das Doppelte seiner Breite. Wie lang und wie breit ist das Rechteck, wenn sein Umfang 62 Meter beträgt?

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Sei \(W\) die Breite. Die Länge \(L\) wird als \(2W + 10\) beschrieben.

Die Formel für den Umfang eines Rechtecks lautet \(U = 2L + 2W\).

\(62 = 2L + 2W\)
\(62 = 2(2W + 10) + 2W\) (Den Ausdruck für L einsetzen)
\(62 = 4W + 20 + 2W\) (Die 2 ausmultiplizieren)
\(62 = 6W + 20\) (Gleichartige Terme zusammenfassen)
\(62 - 20 = 6W\)
\(42 = 6W\)
\(W = 7\) Meter

Nun die Länge berechnen:

\(L = 2(7) + 10 = 14 + 10 =\) \(24\) Meter

Durchschnitte: Der Durchschnitt von 35, 45 und \(x\) ist gleich fünf mehr als das Doppelte von \(x\). Finde \(x\).

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Um den Durchschnitt von drei Zahlen zu ermitteln, bilde ihre Summe und dividiere durch 3:

\(\dfrac{35 + 45 + x}{3} = 2x + 5\) (Die Gleichung basierend auf der Aufgabenstellung aufstellen)
\(35 + 45 + x = 3(2x + 5)\) (Beide Seiten mit 3 multiplizieren, um den Bruch aufzulösen)
\(80 + x = 6x + 15\) (Zahlen zusammenfassen und die 3 ausmultiplizieren)
\(80 - 15 = 6x - x\) (Variablen und Konstanten gruppieren)
\(65 = 5x\)
\(x = 13\) (Durch 5 dividieren)

Supplementärwinkel: Die Differenz der Maße zweier Supplementärwinkel beträgt \(102^\circ\). Finde die beiden Winkel.

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Supplementärwinkel ergänzen sich zu \(180^\circ\). Sei der kleinere Winkel \(y\). Da ihre Differenz \(102^\circ\) beträgt, ist der größere Winkel \(y + 102^\circ\).

\(y + (y + 102) = 180\)
\(2y + 102 = 180\) (Gleichartige Terme zusammenfassen)
\(2y = 180 - 102\)
\(2y = 78\)
\(y = 39^\circ\) (Dies ist der kleinere Winkel)

Den größeren Winkel berechnen:

Größerer Winkel = \(39^\circ + 102^\circ =\) \(141^\circ\)

Komplementärwinkel: Zwei Komplementärwinkel sind so beschaffen, dass der eine um \(14^\circ\) größer ist als das Dreifache des zweiten Winkels. Wie groß ist der größere Winkel?

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Komplementärwinkel ergänzen sich zu \(90^\circ\). Sei der kleinere Winkel \(y\). Der größere Winkel ist \(3y + 14^\circ\).

\(y + (3y + 14) = 90\)
\(4y + 14 = 90\) (Gleichartige Terme zusammenfassen)
\(4y = 90 - 14\)
\(4y = 76\)
\(y = 19^\circ\) (Dies ist der kleinere Winkel)

Den größeren Winkel berechnen:

Größerer Winkel = \(3(19) + 14 = 57 + 14 =\) \(71^\circ\)

Aufeinanderfolgende ganze Zahlen: Die Summe einer positiven geraden ganzen Zahl und der dritten darauffolgenden geraden ganzen Zahl ist gleich 150. Finde die Zahl.

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Sei \(x\) die erste gerade ganze Zahl. Aufeinanderfolgende gerade ganze Zahlen haben einen Abstand von 2. Die Folge lautet: \(x\) (1.), \(x + 2\) (nächste), \(x + 4\) (zweite darauffolgende), \(x + 6\) (dritte darauffolgende).

\(x + (x + 6) = 150\) (Die Summe aus der ersten und der dritten darauffolgenden Zahl aufstellen)
\(2x + 6 = 150\)
\(2x = 150 - 6\)
\(2x = 144\)
\(x = 72\)

Aufeinanderfolgende ungerade ganze Zahlen: Der Durchschnitt von drei aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen ist gleich 129. Was ist die größte der drei Zahlen?

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Seien die drei aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen \(x\), \(x + 2\) und \(x + 4\). (Ungerade Zahlen haben ebenfalls einen Abstand von 2).

\(\dfrac{x + (x + 2) + (x + 4)}{3} = 129\) (Die Durchschnittsgleichung aufstellen)
\(\dfrac{3x + 6}{3} = 129\) (Terme im Zähler zusammenfassen)
\(x + 2 = 129\) (Die Terme im Zähler durch 3 dividieren)
\(x = 127\) (Dies ist die kleinste Zahl)

Die größte Zahl (\(x + 4\)) berechnen:

Größte Zahl = \(127 + 4 =\) \(131\)

Durchschnitte und Differenzen: Zwei Zahlen sind so beschaffen, dass eine Zahl um 42 größer ist als die zweite Zahl und ihr Durchschnitt 40 beträgt. Wie lauten die beiden Zahlen?

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Sei die kleinere Zahl \(x\). Die größere Zahl ist \(x + 42\).

\(\dfrac{x + (x + 42)}{2} = 40\) (Die Durchschnittsgleichung aufstellen)
\(\dfrac{2x + 42}{2} = 40\) (Gleichartige Terme zusammenfassen)
\(x + 21 = 40\) (Die Terme im Zähler durch 2 dividieren)
\(x = 19\) (Dies ist die kleinere Zahl)

Die größere Zahl berechnen:

Größere Zahl = \(19 + 42 =\) \(61\)

Die beiden Zahlen lauten 19 und 61.

Lineare Gleichungen Klasse 8: Reale Anwendungen & Textaufgaben

Übungsfragen

Links und Referenzen