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Die drei Kreise \( C_1, C_2, C_3 \) haben Mittelpunkte \( O_1, O_2, O_3 \) auf der Linie \( L \) und berühren sich im selben Punkt.
Wenn der Durchmesser des größten Kreises \( 20 \) Einheiten beträgt, finden Sie das Verhältnis der Fläche des größten Kreises zum kleinsten.
Durchmesser von \( C_1 \) ist \( 20 \) ⇒ \( r_1 = 10 \).
Fläche von \( C_1 \): \( A = \pi (10)^2 \)
Durchmesser von \( C_2 = 10 \) ⇒ \( r_2 = 5 \)
Durchmesser von \( C_3 = 5 \) ⇒ \( r_3 = 2,5 \)
Fläche von \( C_3 \): \( B = \pi (2,5)^2 \)
\[
\frac{A}{B} = \frac{\pi (10)^2}{\pi (2,5)^2}
= \left( \frac{10}{2,5} \right)^2
= 4^2 = 16
\]
Verhältnis: \( 16 : 1 \)
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Frau Parkinsons Garten hat 4 Quadrate und 2 Halbkreise. Jedes kleine Quadrat hat eine Fläche von \( 4\ \text{m}^2 \). Berechnen Sie die Gesamtfläche.
Gesamtfläche der Quadrate: \( 4 \times 4 = 16\ \text{m}^2 \)
Seitenlänge: \( 2 \ \text{m} \) ⇒ Halbkreisradius \( r = 2 \ \text{m} \)
Zwei Halbkreise bilden einen ganzen Kreis: Fläche \( = \pi (2)^2 = 4\pi \)
\[
\text{Gesamtfläche} = 16 + 4\pi \approx 28,56\ \text{m}^2
\]
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Ein Rasensprenger sprüht Wasser mit einer maximalen Entfernung von \( 12 \ \text{m} \). Finden Sie die bewässerte Fläche.
\[
A = \pi (12)^2 = 144\pi \approx 452\ \text{m}^2
\]
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Ein runder Garten (Durchmesser \( 10\ \text{m} \)) hat einen Gehweg mit einer Breite von \( 1\ \text{m} \). Finden Sie die Gehwegfläche.
Innerer Radius: \( 5 \ \text{m} \), Äußerer Radius: \( 6 \ \text{m} \)
\[
A = \pi (6)^2 - \pi (5)^2 = 36\pi - 25\pi = 11\pi \ \text{m}^2
\]
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Eine runde Pizza kostet \$19,99, Durchmesser \( 36 \ \text{cm} \). Finden Sie die Kosten pro \(\text{cm}^2\).
Radius: \( 18\ \text{cm} \)
Fläche: \( \pi (18)^2 = 324\pi \approx 1017 \ \text{cm}^2 \)
\[
\text{Kosten/cm}^2 \approx \frac{19,99}{1017} \approx 0,02\ \text{USD} \ (\text{2 Cent})
\]
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Die Gartenfläche der Robinsons beträgt \( 5\ \text{m}^2 \). Finden Sie die Länge des Zauns.
\(\pi r^2 = 5 \ \Rightarrow \ r \approx 1,26 \ \text{m}\)
\[
U = 2\pi r \approx 8\ \text{m}
\]
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Der Radius einer Scheibe erhöht sich um \( 20\% \). Finden Sie die prozentuale Zunahme der Fläche.
Alte Fläche: \( \pi r^2 \)
Neuer Radius: \( 1,2r \), Neue Fläche: \( 1,44\pi r^2 \)
\[
\% \text{ Änderung} = \frac{1,44\pi r^2 - \pi r^2}{\pi r^2} \times 100\% = 44\%
\]
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Ein runder Tisch hat einen Durchmesser von \( 100 \ \text{in} \), die Tischdecke hängt \( 15\ \text{in} \) über die Kanten. Finden Sie die Fläche der Tischdecke.
Durchmesser: \( 130\ \text{in} \) ⇒ Radius \( 65\ \text{in} \)
\[
A = \pi (65)^2 = 4225\pi \approx 13267\ \text{in}^2
\]
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Das Quadrat \( ABCD \) hat einen Eckpunkt im Mittelpunkt eines Kreises und zwei Eckpunkte auf dem Kreis. Die Kreisfläche beträgt \( 100\ \text{cm}^2 \). Finden Sie \( AC \).
\[
\pi r^2 = 100 \ \Rightarrow \ r^2 = \frac{100}{\pi}
\]
\[
AC^2 = r^2 + r^2 = 2r^2 = \frac{200}{\pi}
\]
\[
AC = 10\sqrt{\frac{2}{\pi}}\ \text{cm}
\]
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Das Verhältnis der Umfänge von Kreis \( A \) zu \( B \) ist \( 3:1 \). Finden Sie das Flächenverhältnis.
\[
\frac{R_a}{R_b} = 3 \quad \Rightarrow \quad A_a = \pi (3R_b)^2 = 9\pi R_b^2
\]
\[
\frac{A_a}{A_b} = 9:1
\]