Wie berechnet man das Volumen eines Würfels, wenn man seine Oberfläche kennt?

Teilen Sie zunächst die gesamte Oberfläche durch 6, um die Fläche einer Seite zu ermitteln. Ziehen Sie dann die Quadratwurzel aus dieser Zahl, um die Seitenlänge zu ermitteln. Schließlich kubieren Sie die Seitenlänge (multiplizieren Sie sie dreimal mit sich selbst), um das Volumen zu berechnen.

Was ist der Unterschied zwischen Komplementär- und Supplementärwinkeln?

Komplementärwinkel sind zwei Winkel, deren Maße sich auf genau 90 Grad addieren. Supplementärwinkel sind zwei Winkel, deren Maße sich auf genau 180 Grad addieren.

Wie findet man das Verhältnis der Flächen zweier ähnlicher Formen?

Wenn Sie das Verhältnis ihrer entsprechenden Seitenlängen kennen, können Sie das Verhältnis ihrer Flächen ermitteln, indem Sie das Seitenlängenverhältnis quadrieren. Wenn das Seitenverhältnis beispielsweise 1:4 beträgt, ist das Flächenverhältnis 1:16.

Geometrieaufgaben Klasse 8: Übungsfragen & Schritt-für-Schritt-Lösungen

Zylinderformeln: Finden Sie die gesamte Oberfläche und das Volumen eines geschlossenen zylindrischen Behälters mit einem Radius von 5 cm und einer Höhe von 34 cm.

Tipp: Fläche $ A = 2\pi r^2 + 2\pi rh $, Volumen $ V = \pi r^2 h $

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Schritt 1: Berechnen Sie die gesamte Oberfläche

$ A = 2\pi(5)^2 + 2\pi(5)(34) $ (Setzen Sie $ r=5 $ und $ h=34 $ ein)
$ A = 2\pi(25) + 2\pi(170) $
$ A = 50\pi + 340\pi $
Fläche = $ 390\pi \text{ cm}^2 $

Schritt 2: Berechnen Sie das Volumen

$ V = \pi(5)^2(34) $
$ V = \pi(25)(34) $
Volumen = $ 850\pi \text{ cm}^3 $

Kegelformeln: Finden Sie die gesamte Oberfläche und das Volumen eines geschlossenen kegelförmigen Behälters mit einem Radius von 5 cm und einer Höhe von 15 cm. (Runden Sie Ihre Antworten auf die nächste ganze Zahl).

Tipp: Fläche $ A = \pi r^2 + \pi r\sqrt{r^2 + h^2} $, Volumen $ V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h $

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Schritt 1: Berechnen Sie die gesamte Oberfläche

Finden Sie zuerst die Mantellinie (Seitenlänge): $ \sqrt{5^2 + 15^2} = \sqrt{25 + 225} = \sqrt{250} \approx 15,81 $ cm.
$ A = \pi(5)^2 + \pi(5)(15,81) $
$ A = 25\pi + 79,05\pi = 104,05\pi $
$ 104,05 \times 3,14159 \approx 326,88 $
Fläche $\approx 327 \text{ cm}^2 $

Schritt 2: Berechnen Sie das Volumen

$ V = \dfrac{1}{3}\pi(5)^2(15) $
$ V = \dfrac{1}{3}\pi(25)(15) = \pi(25)(5) = 125\pi $
$ 125 \times 3,14159 \approx 392,69 $
Volumen $\approx 393 \text{ cm}^3 $

Rückwärtsrechnen (Würfel): Ein Würfel hat eine Gesamtoberfläche der sechs Seiten von 150 Quadratfuß. Wie groß ist das Volumen des Würfels?

Tipp: Fläche $ A = 6s^2 $, Volumen $ V = s^3 $ (wobei $ s $ die Seitenlänge ist)

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Schritt 1: Finden Sie die Seitenlänge ($ s $)

Die gesamte Oberfläche ist die Summe von 6 identischen quadratischen Flächen.
$ 6s^2 = 150 $
$ s^2 = 25 $ (Durch 6 dividieren)
$ s = 5 \text{ Fuß} $ (Die Quadratwurzel ziehen)

Schritt 2: Berechnen Sie das Volumen

$ V = s^3 = 5^3 = 5 \times 5 \times 5 $
Volumen = $ 125 \text{ Kubikfuß} $

Komplementärwinkel: Welche zwei Winkel sind komplementär?

21$^{\circ} $ und 78$^{\circ} $
58$^{\circ} $ und 22$^{\circ} $
67$^{\circ} $ und 23$^{\circ} $
140$^{\circ} $ und 40$^{\circ} $

Definition: Komplementärwinkel addieren sich zu 90$^{\circ} $.

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Wir müssen das Paar finden, das sich auf genau 90$^{\circ} $ addiert:

A) 21 + 78 = 99$^{\circ} $
B) 58 + 22 = 80$^{\circ} $
C) 67 + 23 = 90$^{\circ} $ (Diese sind komplementär)
D) 140 + 40 = 180$^{\circ} $ (Diese sind supplementär)

Antwort: C

Supplementärwinkel: Welche zwei Winkel sind nicht supplementär?

30$^{\circ} $ und 150$^{\circ} $
5$^{\circ} $ und 175$^{\circ} $
89$^{\circ} $ und 91$^{\circ} $
23$^{\circ} $ und 177$^{\circ} $

Definition: Supplementärwinkel addieren sich zu 180$^{\circ} $.

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Wir müssen das Paar finden, das sich nicht auf genau 180$^{\circ} $ addiert:

A) 30 + 150 = 180$^{\circ} $
B) 5 + 175 = 180$^{\circ} $
C) 89 + 91 = 180$^{\circ} $
D) 23 + 177 = 200$^{\circ} $ (Diese ergeben nicht 180)

Antwort: D

Trapezfläche: Finden Sie die Höhe $ h $ des Trapezes, sodass seine Fläche 400 Quadratzentimeter beträgt. $Trapez mit oberer Grundseite 10cm, unterer Grundseite 30cm und Höhe h$

Tipp: $ A_{\text{Trapez}} = \dfrac{1}{2}h(b_1 + b_2) $

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Die gegebenen Grundseiten sind $ b_1 = 27 $ und $ b_2 = 13 $. Die Fläche beträgt 400.
$ 400 = \dfrac{1}{2}h(27 + 13) $ (Die bekannten Werte einsetzen)
$ 400 = \dfrac{1}{2}h(40) $
$ 400 = 20h $
$ h = \dfrac{400}{20} $
$ h = 20 \text{ cm} $

Parallelogrammfläche: Finden Sie die Breite $ w $ des Parallelogramms, sodass seine Fläche 600 Quadratfuß beträgt. $Parallelogramm mit Höhe 20 Fuß und Grundseite w$

Tipp: $ A_{\text{Parallelogramm}} = \text{Grundseite} \times \text{Höhe} $

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Die gegebene Höhe beträgt 20 Fuß. Die Fläche beträgt 600. Die Grundseite ist mit $ w $ beschriftet.
$ 600 = w \times 20 $
$ w = \dfrac{600}{20} $
$ w = 30 \text{ Fuß} $

Komplexe Fläche: Finden Sie die Fläche der schattierten Form anhand der angegebenen visuellen Abmessungen. $Komplexe geometrische Form$

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Die Fläche des schattierten Bereichs entspricht der Fläche des großen Rechtecks (40 mal 25), von der wir die Fläche des kleinen weißen Rechtecks (14 mal 12, links) und die Fläche des weißen Dreiecks mit der Höhe 10 und der Breite 25 (rechts) subtrahieren.
$ \text{Fläche des schattierten Bereichs} = 40 \times 25 - 14 \times 12 - \dfrac{1}{2} \times 10 \times 25 = 707 \; \text {cm}^2 $

Oberfläche einer offenen Box: Finden Sie die gesamte Oberfläche der Box, die oben offen ist. $Abmessungen einer offenen rechteckigen Box$

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Um die Oberfläche einer offenen Box zu finden, berechnen wir die Fläche der Grundfläche (12 mal 9) und addieren das Zweifache der Vorderfläche (12 mal 11) sowie das Zweifache der rechten Fläche (11 mal 9). Die obere Fläche wird nicht mit einbezogen.

Berechnen Sie anhand der in der Grafik angegebenen Abmessungen die einzelnen rechteckigen Flächen.
$ \text{Gesamte Oberfläche} = 12 \times 9 + 2 \times 11 \times 9 + 2 \times 11 \times 12 = 570 \; \text{cm}^2 $.

Koordinatengeometrie: Wenn das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist, wie lauten die Koordinaten von Punkt D? $Koordinatensystem mit den Punkten A, B und C$

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Damit ABCD ein Parallelogramm ist, müssen gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sein. Unter Verwendung von Vektoren müssen die Vektoren $ \vec{AB} $ und $ \vec{DC} $ gleich sein, damit ABCD ein Parallelogramm ist.

Komponenten von $ \vec{AB} = \lt 8-2 , 6 - 6 \gt = \lt 6 , 0 \gt $.
Seien $ (a,b) $ die Koordinaten von Punkt D.
Komponenten von $ \vec{DC} = \lt 7-a , 2 - b \gt $.
Vektoren sind gleich, wenn ihre Komponenten gleich sind, daher die Gleichungen: $ 7 - a = 6 $ und $ 2 - b = 0 $ .
Lösen Sie die Gleichungen, um Folgendes zu finden: $ a = 1 $ und $ b = 2 $
Punkt D befindet sich bei (1, 2).

Rechtwinklige Dreiecke: Welche der abgebildeten Dreiecke sind rechtwinklig? $Vier mit A, B, C, D beschriftete Dreiecke$

Tipp: In einem rechtwinkligen Dreieck gilt $ a^2 + b^2 = c^2 $ (Satz des Pythagoras) und ein Winkel muss gleich 90$^{\circ} $ sein.

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A: Die Winkel sind in Dreieck A gegeben: Der dritte Winkel ist gleich $180-62-28 = 90^{\circ} $, Dreieck A ist ein rechtwinkliges Dreieck.
B: Die Seiten sind in Dreieck B gegeben: Verwenden Sie den Satz des Pythagoras unter der Annahme, dass die längste Seite mit der Länge 5 die Hypotenuse ist: $ 3^2 + 3,9^2 = 24,21 $ ist nicht gleich $ 5^2 $ und daher ist Dreieck B KEIN rechtwinkliges Dreieck.
C: Die Seiten sind in Dreieck C gegeben: Verwenden Sie den Satz des Pythagoras unter der Annahme, dass die längste Seite mit der Länge 15 die Hypotenuse ist: $ 9^2 + 12^2 = 225 $ ist gleich $ 15^2 = 225 $ und daher ist Dreieck C ein rechtwinkliges Dreieck.
Die Dreiecke A und C sind rechtwinklig.

Dreieckswinkel: Finden Sie den Außenwinkel $ x $, wenn das Dreieck ABC ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel B = 90$^{\circ} $ ist. $Rechtwinkliges Dreieck mit einem Außenwinkel x$

Tipp: Die Innenwinkel addieren sich zu 180$^{\circ} $. Außenwinkel und ihr benachbarter Innenwinkel sind supplementär (addieren sich zu 180$^{\circ} $).

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Bestimmen Sie zunächst den fehlenden Innenwinkel mithilfe der Regel, dass die Summe der Innenwinkel im Dreieck ABC 180$^{\circ} $ beträgt.
Der an $ x $ anliegende Innenwinkel ist $ 180^{\circ} - 90^{\circ} - 47^{\circ} = 43^{\circ} $.
Da $ x $ mit diesem Innenwinkel und dem Winkel von $ 35^{\circ} $ eine gerade Linie bildet, müssen sie sich auf 180$^{\circ} $ addieren.
$ x + 43 + 35 = 180^{\circ} $
Nach $ x $ auflösen: $ x = 102^{\circ} $

Ähnliche Dreiecke: Finden Sie alle unbekannten Seiten $ x, y, z $ und $ w $, wenn alle drei Dreiecke ähnlich sind. $Drei ähnliche Dreiecke mit zunehmendem Maßstab$

Tipp: Wenn zwei Dreiecke ähnlich sind, sind ihre entsprechenden Seiten proportional: $ \dfrac{a}{a'} = \dfrac{b}{b'} = \dfrac{c}{c'} $

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Um die fehlenden Seiten zu finden, stellen Sie Verhältnisse unter Verwendung der entsprechenden Seiten ähnlicher Dreiecke auf.

$ \dfrac{12}{36} = \dfrac{17}{y} = \dfrac{3}{x} $
$ \dfrac{12}{z} = \dfrac{17}{204} = \dfrac{3}{w} $
Lösen Sie die Gleichungen: $ \dfrac{12}{36} = \dfrac{17}{y} $ , $ \dfrac{12}{36} = \dfrac{3}{x} $ , $ \dfrac{12}{z} = \dfrac{17}{204} $ und $ \dfrac{17}{204} = \dfrac{3}{w} $ um Folgendes zu erhalten.
$ x = 9 $
$ y = 51 $
$ z = 144 $
$ w = 36 $

Koordinatenspiegelung: Ein Viereck mit den Eckpunkten (-2,6), (6,8), (9,2) und (4,-1) wird an der x-Achse gespiegelt. Wie lauten die Koordinaten der Eckpunkte nach der Spiegelung?

Tipp: Spiegelung an der x-Achse: $ (x,y) \to (x,-y) $

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Um einen Punkt an der x-Achse zu spiegeln, bleibt die x-Koordinate gleich und die y-Koordinate ändert ihr Vorzeichen.

$ (-2, 6) \to $ $ (-2, -6) $
$ (6, 8) \to $ $ (6, -8) $
$ (9, 2) \to $ $ (9, -2) $
$ (4, -1) \to $ $ (4, 1) $

Volumenskalierung: Die Seite von Würfel A ist dreimal so lang wie die Seite von Würfel B. Das Volumen von Würfel A beträgt 3.375 Kubikfuß. Finden Sie das Volumen von Würfel B.

Tipp: $ V = s^3 $

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Methode 1: Skalierungsfaktor

Wenn das Seitenlängenverhältnis 3:1 beträgt, wird das Volumenverhältnis kubiert: $ 3^3 : 1^3 = 27:1 $.
Das bedeutet, dass Würfel A ein 27-mal größeres Volumen als Würfel B hat.
$ 3375 \div 27 = $ $ 125 \text{ Kubikfuß} $.

Methode 2: Algebra

$ V_A = (s_A)^3 = 3375 $. Daher ist $ s_A = \sqrt[3]{3375} = 15 \text{ Fuß} $.
Da $ s_A = 3 \times s_B $, dann ist $ 15 = 3 \times s_B $, also $ s_B = 5 \text{ Fuß} $.
$ V_B = (5)^3 = $ $ 125 \text{ Kubikfuß} $.

Flächenskalierung (Ähnliche Rechtecke): Die Länge von Rechteck A beträgt 24 cm und die Länge von Rechteck B beträgt 96 cm. Die beiden Rechtecke sind ähnlich. Finden Sie das Verhältnis der Fläche von A zur Fläche von B.

Tipp: Das Verhältnis der Flächen ähnlicher Figuren ist das Quadrat des Verhältnisses ihrer entsprechenden Seiten.

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Finden Sie das Verhältnis ihrer entsprechenden Längen: $ \dfrac{24}{96} $.
Vereinfachen Sie das Seitenverhältnis: $ \dfrac{24}{96} = \dfrac{1}{4} $.
Um das Flächenverhältnis zu ermitteln, quadrieren Sie das Seitenverhältnis: $ \left(\dfrac{1}{4}\right)^2 = \dfrac{1^2}{4^2} = \dfrac{1}{16} $.
Das Verhältnis der Fläche von A zur Fläche von B ist 1:16.

Geometrieaufgaben und Fragen der Klasse 8 mit Antworten

Übungsfragen

Links und Referenzen