Lösungen für Geometrieprobleme der 8. Klasse

Detaillierte Lösungen und vollständige Erklärungen zu Geometrieproblemen und Fragen der 8. Klasse werden unten vorgestellt.

1. Finden Sie die Gesamtoberfläche und das Volumen eines geschlossenen zylindrischen Behälters mit einem Radius von 5 cm und einer Höhe von 34 cm.

Lösung

Die Gesamtoberfläche A eines Zylinders ergibt sich aus der Summe der Fläche der Mantelfläche und der Flächen von Boden und Deckel des Behälters.

\begin{align} A &= 2 \times \text{Radius} \times \pi \times \text{Höhe} + \pi \times \text{Radius}^2 + \pi \times \text{Radius}^2 \\ &= 2 \times 5 \times \pi \times 34 + \pi \times 5^2 + \pi \times 5^2 \\ &= 340\pi + 25\pi + 25\pi = 390\pi \text{ Quadratzentimeter} \\ &= 1224.6 \text{ Quadratzentimeter (mit } \pi = 3.14\text{)} \end{align}

Das Volumen V des gegebenen Zylinders ist gleich

\begin{align} V &= \pi \times \text{Radius}^2 \times \text{Höhe} \\ &= \pi \times 25 \times 34 = 850\pi \text{ Kubikzentimeter} \\ &= 2669 \text{ Kubikzentimeter (mit } \pi = 3.14\text{)} \end{align}

2. Finden Sie die Gesamtoberfläche und das Volumen eines geschlossenen konischen Behälters mit einem Radius von 5 cm und einer Höhe von 15 cm. (Runden Sie Ihre Antwort auf die nächste Einheit.)

Lösung

Die Gesamtoberfläche A eines Kegels ergibt sich aus der Summe der Fläche der Mantelfläche und der Fläche der Grundfläche.

\begin{align} A &= \pi \times \text{Radius} \times \text{Seitenhöhe} + \pi \times \text{Radius}^2 \end{align}

Die Seitenhöhe S, die Höhe des Kegels (h = 15 cm) und der Radius (r = 5 cm) seiner Grundfläche bilden ein rechtwinkliges Dreieck, in dem S mit dem Satz des Pythagoras wie folgt ermittelt werden kann.

\begin{align} S^2 &= 15^2 + 5^2 = 250 \\ S &= 15.8 \text{ cm} \end{align}
\begin{align} A &= \pi \times 5 \times 15.8 + \pi \times 25 \\ &= 104\pi \text{ Quadratzentimeter} \\ &= 327 \text{ Quadratzentimeter (mit } \pi = 3.14\text{)} \end{align}

Das Volumen V des Kegels ist gegeben durch

\begin{align} V &= \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h \\ &= \frac{1}{3} \times \pi \times 5^2 \times 15 \\ &= 125\pi \text{ Kubikzentimeter} \\ &= 393 \text{ Kubikzentimeter} \end{align}

3. Ein Würfel hat eine Gesamtoberfläche der sechs Flächen von 150 Quadratfuß. Wie groß ist das Volumen des Würfels?

Lösung

Die Oberfläche einer quadratischen Fläche ist gleich

\begin{align} \frac{150}{6} = 25 \text{ Quadratfuß} \end{align}

Da die Fläche eines Würfels quadratisch ist, wenn x die Länge einer Kante des Würfels ist, dann gilt

\begin{align} x^2 &= 25 \text{ Quadratfuß} \\ x &= 5 \text{ Fuß} \end{align}

Das Volumen V des Würfels ist gleich

\begin{align} V = 5 \times 5 \times 5 = 125 \text{ Kubikfuß} \end{align}

4. Welche beiden Winkel sind komplementär?

  1. \(21^{\circ} \) und \(78^{\circ} \)
  2. \(58^{\circ} \) und \(22^{\circ} \)
  3. \(67^{\circ} \) und \(23^{\circ} \)
  4. \(140^{\circ} \) und \(40^{\circ} \)

Lösung

Zwei Winkel sind komplementär, wenn die Summe ihrer Maße gleich 90° ist

  1. \(21^{\circ} + 78^{\circ} = 99^{\circ}\)
  2. \(58^{\circ} + 22^{\circ} = 80^{\circ}\)
  3. \(67^{\circ} + 23^{\circ} = 90^{\circ}\)
  4. \(140^{\circ} + 40^{\circ} = 180^{\circ}\)

Die Winkel \( 67^{\circ} \) und \( 23^{\circ} \) sind komplementär

5. Welche beiden Winkel sind nicht supplementär?

  1. \(30^{\circ}\) und \( 150^{\circ} \)
  2. \( 5^{\circ} \) und \( 175^{\circ} \)
  3. \( 89 ^{\circ} \) und \( 91^{\circ} \)
  4. \(23^{\circ}\) und \( 177^{\circ} \)

Lösung

Zwei Winkel sind supplementär, wenn die Summe ihrer Maße gleich \( 180^{\circ} \) ist

  1. \(30^{\circ} + 150^{\circ} = 180^{\circ}\)
  2. \(5^{\circ} + 175^{\circ} = 180^{\circ}\)
  3. \(89^{\circ} + 91^{\circ} = 180^{\circ}\)
  4. \(23^{\circ} + 177^{\circ} = 200^{\circ}\)

Die Winkel \(23^{\circ}\) und \( 177^{\circ} \) sind nicht supplementär.

6. Finden Sie die Höhe h des Trapezes, sodass seine Fläche 400 Quadratzentimeter beträgt.

Geometrie Problem 6

Lösung

Die Fläche A eines Trapezes ist gegeben durch die Formel

\begin{align} A &= \frac{1}{2}(\text{Grundseite}_1 + \text{Grundseite}_2) \times \text{Höhe} \\ &= \frac{1}{2}(27 + 13) \times h \end{align}

Die Fläche A des Trapezes ist gleich 400 Quadratzentimeter. Daher

\begin{align} \frac{1}{2}(27 + 13) \times h &= 400 \\ \frac{1}{2}(40) \times h &= 400 \\ 20 \times h &= 400 \\ h &= 20 \text{ cm} \end{align}

16. Die Länge von Rechteck A beträgt 24 cm und die Länge von Rechteck B beträgt 96 cm. Die beiden Rechtecke sind ähnlich. Finden Sie das Verhältnis der Fläche von A zur Fläche von B.

Lösung

Seien Wa und Wb die Breiten der Rechtecke A bzw. B. Da die beiden Rechtecke ähnlich sind, haben wir die folgende Proportionalität

\begin{align} \frac{W_a}{24} = \frac{W_b}{96} \end{align}

Die Flächen Aa und Ab der Rechtecke A bzw. B sind gegeben durch

\begin{align} A_a = 24 \times W_a \text{ und } A_b = 96 \times W_b \end{align}

Das Verhältnis Aa / Ab ist gegeben durch

\begin{align} \frac{A_a}{A_b} = \frac{24 \times W_a}{96 \times W_b} = \frac{24}{96} \times \frac{W_a}{W_b} \end{align}

Die oben erhaltene Gleichung Wa / 24 = Wb / 96 kann geschrieben werden als

\begin{align} \frac{W_a}{W_b} = \frac{24}{96} \end{align}

Wir setzen nun ein und erhalten

\begin{align} \frac{A_a}{A_b} = \frac{24}{96} \times \frac{24}{96} = \frac{1}{16} \end{align}

Antworten zu den obigen Fragen

  1. Fläche = 390π Quadratzentimeter, Volumen = 850π Kubikzentimeter
  2. Fläche = 327 Quadratzentimeter, Volumen = 393 Kubikzentimeter
  3. Volumen = 125 Kubikfuß
  4. C) \( 67^{\circ} \) und \( 23^{\circ} \) Grad sind komplementär
  5. D) \( 23^{\circ} \) und \( 177^{\circ} \) sind nicht supplementär
  6. h = 20 cm
  7. w = 30 Fuß
  8. Fläche = 707 Quadratzentimeter
  9. Oberfläche = 570 Quadratzentimeter
  10. (1, 2)
  11. Dreiecke A) und C) sind rechtwinklige Dreiecke
  12. \( x = 102^{\circ}\)
  13. x = 9, y = 51, z = 144, w = 36
  14. Scheitelpunkte nach Spiegelung (-2,-6), (6,-8), (9,-2) und (4,1)
  15. Volumen von Würfel B = 125 Kubikfuß
  16. Verhältnis der Fläche von A zur Fläche von B = 1:16

Weitere Referenzen und Links