Wie findet man den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von zwei Zahlen?

Um den ggT zu finden, schreiben Sie die Primfaktorzerlegung jeder Zahl auf und multiplizieren Sie die gemeinsamen Primfaktoren. Zum Beispiel ist der ggT von 100 und 180 gleich 20.

Wie prüft man, ob eine Zahl durch 6 teilbar ist?

Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie sowohl durch 2 (sie endet auf eine gerade Zahl) als auch durch 3 (die Quersumme ist ein Vielfaches von 3) teilbar ist.

Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit zweier unabhängiger Ereignisse?

Multiplizieren Sie die Wahrscheinlichkeit des ersten Ereignisses mit der Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses. Zum Beispiel hat das Werfen einer Münze (1/2) und das Würfeln einer bestimmten Zahl auf einem Würfel (1/6) eine kombinierte Wahrscheinlichkeit von 1/12.

Klasse 8 Mathe-Übungstest: Fragen & Schritt-für-Schritt-Lösungen

Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke:
a) $[-2 \times (-4) + 3] \times [3 \times (-4) - 4]$
b) $[-2 \times (-3 + 1) + 3] \times [2 \times (-3 - 5) - 4]$

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

a)
$[-2 \times (-4) + 3] \times [3 \times (-4) - 4]$
$= [8 + 3] \times [-12 - 4]$
$= 11 \times (-16) = -176$

b)
$[-2 \times (-3 + 1) + 3] \times [2 \times (-3 - 5) - 4]$
$= [-2 \times (-2) + 3] \times [2 \times (-8) - 4]$
$= [4 + 3] \times [-16 - 4]$
$= 7 \times (-20) = -140$

Welche der folgenden Zahlen ist KEINE rationale Zahl?
a) $0,2$ b) $\pi$ c) $\dfrac{2}{5}$

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Antwort: b) $\pi$

$\pi$ ist KEINE rationale Zahl, da sie nicht als einfacher Bruch zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden kann.

Welchen Wert hat die Ziffer 5 in der Zahl 34,6597?

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Die Ziffer 5 steht an der Hundertstelstelle, ihr Wert ist also $0,05$ oder $\dfrac{5}{100}$.

Was ist das nächste Glied in der Folge? $3, 6, 9, 12, \ldots$

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Wir stellen fest, dass wir beim Übergang von einem Glied zum nächsten $3$ addieren; daher ist das nächste Glied gleich: $12 + 3 = 15$.

Was ist das nächste Glied in der Folge? $1, 3, 9, 27, \ldots$

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Wir stellen fest, dass wir beim Übergang von einem Glied zum nächsten mit $3$ multiplizieren; daher ist das nächste Glied gegeben durch: $27 \times 3 = 81$.

Eine Zahlenfolge ist definiert durch $2n + 1$ für $n = 1, 2, 3, \ldots$
a) Finden Sie die ersten fünf Glieder der Folge, beginnend mit $n = 1$.
b) Ist die gegebene Folge arithmetisch, geometrisch oder keins von beiden?

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

a) Setzen Sie $n = 1, 2, 3, 4, 5$ in den Ausdruck $2n + 1$ ein:
Für $n=1$: $2(1)+1 = 3$
Für $n=2$: $2(2)+1 = 5$
Für $n=3$: $2(3)+1 = 7$
Für $n=4$: $2(4)+1 = 9$
Für $n=5$: $2(5)+1 = 11$

b) Beim Übergang von einem Glied zum nächsten addieren wir 2, daher handelt es sich um eine arithmetische Folge mit einer gemeinsamen Differenz von 2.

Eine Zahlenfolge ist definiert durch $3 \times 2^{n-1}$ für $n = 1, 2, 3, \ldots$
a) Finden Sie die ersten fünf Glieder der Folge, beginnend mit $n = 1$.
b) Ist die gegebene Folge arithmetisch, geometrisch oder keins von beiden?

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

a) Setzen Sie $n = 1, 2, 3, 4, 5$ in den Ausdruck $3 \times 2^{n-1}$ ein:
Für $n=1$: $3 \times 2^{1-1} = 3 \times 2^0 = 3$
Für $n=2$: $3 \times 2^{2-1} = 3 \times 2^1 = 6$
Für $n=3$: $3 \times 2^{3-1} = 3 \times 2^2 = 12$
Für $n=4$: $3 \times 2^{4-1} = 3 \times 2^3 = 24$
Für $n=5$: $3 \times 2^{5-1} = 3 \times 2^4 = 48$

b) Beim Übergang von einem Glied zum nächsten multiplizieren wir mit 2, daher handelt es sich um eine geometrische Folge mit einem gemeinsamen Quotienten von 2.

Die Mengen $S_1$ und $S_2$ sind wie folgt definiert: $S_1 = \{0, 2, 9, 12\}$ und $S_2 = \{2, 9, 10, 11, 12\}$. Finden Sie die Elemente von:
a) $S_1 \cap S_2$
b) $S_1 \cup S_2$

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

a) Die Schnittmenge zweier Mengen ist die Menge aller Elemente, die beiden Mengen gemeinsam sind. Daher ist $S_1 \cap S_2 = \{2, 9, 12\}$.

b) Die Vereinigungsmenge zweier Mengen ist die Menge aller Elemente in den beiden Mengen (ohne Wiederholung). Daher ist $S_1 \cup S_2 = \{0, 2, 9, 10, 11, 12\}$.

Sei $Q$ = Alle rationalen Zahlen, $P$ = Alle irrationalen Zahlen, $R$ = Alle reellen Zahlen. Was ist wahr?
a) $Q \cap P = R$ b) $Q \cup P = R$ c) $Q \cup P = \text{Leere Menge}$ d) $Q \cap P = \text{Leere Menge}$

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Jede reelle Zahl ist entweder rational oder irrational, aber nicht beides, daher ist $Q \cap P = \text{Leere Menge}$ wahr. Die Menge aller reellen Zahlen ist die Vereinigung der rationalen und irrationalen Zahlen, daher ist $Q \cup P = R$ wahr.

Aussagen b) und d) sind wahr.

Als Produkt von Primfaktoren ausdrücken: a) 345 b) 150 c) 210

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

a) $345 = 3 \times 5 \times 23$

b) $150 = 2 \times 3 \times 5 \times 5$

c) $210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7$

Was ist der größte gemeinsame Teiler (ggT) von 100 und 180?

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Der größte gemeinsame Teiler von 100 und 180 ist 20.

Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von 100 und 15?

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 100 und 15 ist 300.

Welche Zahl ist durch 3 teilbar? a) 101899 b) 900234 c) 134567280

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.

a) 101899: Quersumme = $1+0+1+8+9+9 = 28$. (Nicht teilbar)

b) 900234: Quersumme = $9+0+0+2+3+4 = 18$. (Ja, teilbar)

c) 134567280: Quersumme = $1+3+4+5+6+7+2+8+0 = 36$. (Ja, teilbar)

Welche Zahl ist durch 4 teilbar? a) 189001 b) 1005612 c) 1003456024

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildete Zahl durch 4 teilbar ist.

a) 189001: Letzte zwei Ziffern $01$. (Nicht teilbar)

b) 1005612: Letzte zwei Ziffern $12$. (Ja, teilbar)

c) 1003456024: Letzte zwei Ziffern $24$. (Ja, teilbar)

Welche Zahl ist durch 6 teilbar? a) 234 b) 12345 c) 12114290910

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Damit eine Zahl durch 6 teilbar ist, muss sie durch 2 (gerade) und durch 3 teilbar sein.

a) 234: Gerade, Quersumme $2+3+4=9$ (Ja, teilbar)

b) 12345: Ungerade (Nicht durch 2 teilbar, also auch nicht durch 6)

c) 12114290910: Gerade, Quersumme $30$. (Ja, teilbar)

Welche Bruchpaare sind gleichwertig?
a) $\dfrac{10}{15}, \dfrac{7}{3}$ b) $\dfrac{8}{12}, \dfrac{2}{3}$ c) $\dfrac{7}{12}, \dfrac{21}{36}$

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Beginnen Sie mit dem gekürzten Bruch und multiplizieren Sie mit einem Faktor, um den zweiten Bruch zu erhalten.

a) Multiplizieren Sie Zähler und Nenner von $\dfrac{7}{3}$ mit 5, um $\dfrac{35}{15}$ zu erhalten. Dies entspricht nicht $\dfrac{10}{15}$. (Nicht gleichwertig)

b) Multiplizieren Sie Zähler und Nenner von $\dfrac{2}{3}$ mit 4, um $\dfrac{8}{12}$ zu erhalten. (Gleichwertig)

c) Multiplizieren Sie Zähler und Nenner von $\dfrac{7}{12}$ mit 3, um $\dfrac{21}{36}$ zu erhalten. (Gleichwertig)

Berechne:
a) $\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{10} - \dfrac{1}{15}$ b) $\dfrac{7}{16} \times \dfrac{4}{14}$ c) $\dfrac{11}{2} \div 4$
d) $4\dfrac{3}{4} - 1\dfrac{1}{2} + 1\dfrac{1}{8}$ e) $1\dfrac{3}{4} \div \left(3 + \dfrac{1}{3}\right)$

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

a) kgV von $5, 10, 15$ ist $30$. $\dfrac{12}{30} + \dfrac{9}{30} - \dfrac{2}{30} = \dfrac{19}{30}$

b) $\dfrac{7}{16} \times \dfrac{4}{14}$. Terme faktorisieren: $\dfrac{7 \times 4}{(4 \times 4) \times (2 \times 7)}$. Gemeinsame Faktoren kürzen, um $\dfrac{1}{8}$ zu erhalten.

c) Mit dem Kehrwert multiplizieren: $\dfrac{11}{2} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{11}{8}$

d) Ganze Teile und Brüche gruppieren: $(4-1+1) + (\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{8}) = 4 + (\dfrac{6}{8} - \dfrac{4}{8} + \dfrac{1}{8}) = 4\dfrac{3}{8}$

e) In unechte Brüche umwandeln: $\dfrac{7}{4} \div \dfrac{10}{3} = \dfrac{7}{4} \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{21}{40}$

Als gekürzte Brüche schreiben: a) $0,2 \div 0,6$ b) $1 \div 0,4$

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

a) $0,2 \div 0,6 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$

b) $1 \div 0,4 = \dfrac{10}{4} = \dfrac{8+2}{4} = 2\dfrac{1}{2}$

Dalia gibt ein Viertel ihres Gehalts für Lebensmittel und Getränke aus. Sie gibt ein Fünftel davon für Erfrischungsgetränke und ein Sechstel davon für Kekse aus. Welcher Bruchteil ihres Gehalts wird für Erfrischungsgetränke und Kekse ausgegeben?

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Erfrischungsgetränke: $\dfrac{1}{5}$ von $\dfrac{1}{4}$ ihres Gehalts.

Kekse: $\dfrac{1}{6}$ von $\dfrac{1}{4}$ ihres Gehalts.

Gesamt: $\dfrac{1}{5} \times \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4} \left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6}\right) = \dfrac{1}{4} \left(\dfrac{11}{30}\right) = \dfrac{11}{120}$

James verbringt Mo-Fr 2 Stunden/Tag mit Hausaufgaben. Ben verbringt $\dfrac{3}{4}$ so viel; Linda verbringt $\dfrac{5}{4}$ so viel. Wie viele Stunden verbringen sie in einer Woche zusammen?

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

James: $2 \times 5 = 10$ Stunden mit Hausaufgaben an Wochentagen.

Ben: $\dfrac{3}{4} \times 10 = 7,5$ Stunden mit Hausaufgaben an Wochentagen.

Linda: $\dfrac{5}{4} \times 10 = 12,5$ Stunden mit Hausaufgaben an Wochentagen.

Sara hat 1,5 l Saft gemacht. Ihre Gläser fassen $\dfrac{1}{6}$ l. Wie viele Gläser kann sie füllen?

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Mit gemischten Zahlen geschrieben, sind 1,5 l gleich $1\dfrac{1}{2}$ oder $\dfrac{3}{2}$ l.

Anzahl der Gläser = $\dfrac{3}{2} \div \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{2} \times 6 = 9$ Gläser.

Berechne:
a) $(-2)^3 - 5^3 + (-3)^4$
b) $(-1)^{-3} - 5^0 + \dfrac{4^2}{(-2)^4}$
c) $\left(\dfrac{3}{4}\right)^2 + \left(\dfrac{4}{3}\right)^{-2}$

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

a) $-8 - 125 + 81 = -52$

b) $\dfrac{1}{(-1)^3} - 1 + \dfrac{16}{16} = -1 - 1 + 1 = -1$

c) $\dfrac{3^2}{4^2} + \dfrac{4^{-2}}{3^{-2}} = \dfrac{9}{16} + \dfrac{3^2}{4^2} = \dfrac{9}{16} + \dfrac{9}{16} = \dfrac{18}{16} = \dfrac{9}{8}$

In Exponentialform (Basis 10) schreiben: a) 10000 b) 0,0000001 c) $\dfrac{1}{100000}$

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

a) $10^4$ b) $10^{-7}$ c) $\dfrac{1}{10^5} = 10^{-5}$

In wissenschaftlicher Schreibweise schreiben: a) $12,4 \times 10^3$ b) $0,0023 \times 10^{-2}$ c) $\dfrac{12}{100000}$

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

a) $1,24 \times 10^4$ b) $2,3 \times 10^{-5}$ c) $\dfrac{12}{10^5} = 12 \times 10^{-5} = 1,2 \times 10^{-4}$

Vereinfachen: a) $\sqrt{16}$ b) $\sqrt{9}$ c) $\sqrt[3]{8}$

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

a) 4, weil $4^2=16$ b) 3, weil $3^2=9$ c) 2, weil $2^3=8$

Auf die einfachste Form kürzen: a) $\sqrt{3 \times 25}$ b) $\sqrt{36 \times 5}$ c) $\sqrt[3]{8 \times 7}$

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

a) $\sqrt{3} \times \sqrt{25} = 5\sqrt{3}$ b) $\sqrt{36} \times \sqrt{5} = 6\sqrt{5}$ c) $\sqrt[3]{8} \times \sqrt[3]{7} = 2\sqrt[3]{7}$

Leila lief 5 Stunden lang. Das Diagramm zeigt die Entfernung $d$ gegenüber der Zeit $t$.
a) Schreiben Sie eine Gleichung $d = kt$.
b) Wenn sie um 8:00 Uhr startete, wann war sie 10 km entfernt? $Entfernung gegenüber der Zeit Diagramm$

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

a) Verwenden Sie einen Punkt aus dem Diagramm. Zum Beispiel, wenn $t = 1$, ist $d = 4$. Setzen Sie $t$ durch 1 und $d$ durch 4 in die Gleichung $d = k \times t$ ein, um $4 = k \times 1$ zu erhalten, folglich ist $k = 4$. Die Beziehung lautet $d = 4t$.

b) Finden Sie die Zeit, die Leila benötigt, um $d = 10$ km zu laufen, indem Sie die Gleichung $10 = 4t \rightarrow t = 10 \div 4 = 2,5$ Stunden lösen. 2,5 Stunden können als 2:30 geschrieben werden. Sie ist 10 km entfernt um: 8:00 + 2:30 = 10:30 Uhr.

Zeigt die Tabelle, dass $y$ proportional zu $x$ ist? $Tabellen zur Proportionalität$
a) Wenn ja, finden Sie $k$, sodass $y = kx$.
b) Finden Sie $y$ für $x=10,2$.

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Eine Spalte, die das Verhältnis $y / x$ enthält, wurde hinzugefügt und zeigt, dass $y / x$ konstant und gleich 3 ist. Folglich ist $y$ proportional zu $x$.

$Tabellen zur Proportionalität Lösung$

a) Da $y / x = 3$, können wir $y = 3x$ schreiben. Daher ist $k = 3$.

b) $y = 3 \times 10,2 = 30,6$.

Ein Wasserhahn füllt 10 L in 2 Min., 20 L in 4 Min., 30 L in 6 Min.
a) Tragen Sie Punkte mit $V$ auf der vertikalen Achse und $t$ auf der horizontalen Achse ein.
b) Ist $V$ proportional zu $t$?
c) Wenn ja, finden Sie $k$, sodass $V = kt$.
d) Finden Sie die Zeit, um 100 L zu füllen.

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

a) Aus den gegebenen Informationen können wir drei Punkte $(V, t)$ aufschreiben: $(2,10)$, $(4,20)$ und $(6,30)$, die unten grafisch dargestellt sind.

$Volumen gegenüber der Zeit$

b) Die drei Punkte liegen auf derselben Linie, die durch den Ursprung verläuft, und daher besteht eine proportionale Beziehung zwischen $V$ und $t$.

c) Die Proportionalitätskonstante $k$ ist $V \div t$. $k = 10 \div 2 = 5$. Folglich $V = 5t$.

d) Setzen Sie $V=100$ in die Gleichung ein: $100 = 5t \rightarrow t = 100 \div 5 = 20$ Minuten.

Ein Artikel kostet 120 $ und wird um 12 % teurer. Was ist der neue Preis?

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Preis nach der Erhöhung = 120 $ + 12 % von 120 $.

Mathematisch geschrieben: $120 + \dfrac{12}{100} \times 120 = 120 + 14,4 = 134,40\$$.

Jimmy gibt 50 % seines Gehalts für Miete + Rechnungen aus und 15 % dieses Betrags für Rechnungen. Wie viel Prozent seines gesamten Gehalts werden für Rechnungen ausgegeben?

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Prozentsatz für Rechnungen = 15 % von 50 % seines Gehalts.

Mathematisch geschrieben: $\dfrac{15}{100} \times \dfrac{50}{100} = \dfrac{750}{10000} = \dfrac{7,5}{100} = 7,5\%$.

Ein Essen kostet 40 $. Die Steuer beträgt 15 %; das Trinkgeld beträgt 5 % des versteuerten Betrags. Wie hoch sind die Gesamtkosten?

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Kosten nach Steuer = $40 + \dfrac{15}{100} \times 40 = 46\$$.

Kosten nach Trinkgeld = $46 + \dfrac{5}{100} \times 46 = 48,30\$$.

Kamelea verdient 5000 $ und gibt aus: 400 $ für Kleidung, 1200 $ Miete, 200 $ Rechnungen, 1200 $ Essen/Ausgehen, 600 $ Auto, und spart den Rest. Wie viel Prozent wird gespart?

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Kameleas Ausgaben = $400\$ + 1200\$ + 200\$ + 1200\$ + 600\$ = 3600\$$.

Ersparnisse = Gehalt - Ausgaben = $5000\$ - 3600\$ = 1400\$$.

Kameleas Ersparnisse in Prozent des Gehalts = $\dfrac{1400}{5000} = 0,28 = 28\%$.

10 % eines Drittels einer Zahl ist 3. Wie lautet die Zahl?

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Sei $x$ die unbekannte Zahl. $\dfrac{10}{100} \times \dfrac{1}{3} \times x = 3$.

$\dfrac{10x}{300} = 3$. Multiplizieren Sie beide Seiten mit 300, um $10x = 900 \rightarrow x = 90$ zu erhalten.

Benzin stieg in den USA von 3 $ auf 4 $ pro Gallone und in Frankreich von 1,5 € auf 2 € pro Liter. Wo gab es den größeren prozentualen Anstieg?

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Prozentualer Anstieg von Benzin in den USA = $\dfrac{4 - 3}{3} = 0,33333 = 33,33\%$.

Prozentualer Anstieg von Benzin in Frankreich = $\dfrac{2 - 1,5}{1,5} = 0,33333 = 33,33\%$.

Beide verzeichneten genau denselben prozentualen Anstieg.

Rechne 10,5 ft in Meter um, wenn 1 m = 3,28084 ft ist.

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch 3,28084 ft, um $\dfrac{1 \text{ m}}{3,28084 \text{ ft}} = 1$ zu erhalten.

$10,5 \text{ ft} \times \dfrac{1 \text{ m}}{3,28084 \text{ ft}} = 3,20039 \text{ m}$.

Rechne 1,3 km in Yards um, wenn 1 km = 1093,61 yd ist.

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

$1,3 \text{ km} = 1,3 \times 1093,61 \text{ yd} = 1421,69 \text{ yd}$.

Rechne $1,2 \text{ m}^2$ in $\text{yd}^2$ um, wenn 1 m = 1,09361 yd ist.

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Quadrieren Sie beide Seiten der gegebenen Gleichung, um $1 \text{ m}^2 = (1,09361)^2 \text{ yd}^2 = 1,19598 \text{ yd}^2$ zu erhalten.

$1,2 \text{ m}^2 = 1,2 \times 1,19598 \text{ yd}^2 = 1,435176 \text{ yd}^2$.

Rechne 100 km/h in m/s um.

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

$1 \text{ km} = 1000 \text{ m}$ und $1 \text{ Std.} = 3600 \text{ Sek.}$.

$\dfrac{100 \text{ km}}{1 \text{ Std.}} = \dfrac{100 \times 1000 \text{ m}}{1 \times 3600 \text{ Sek.}} \approx 27,77777 \text{ m/Sek.}$.

Berechne $\dfrac{1}{x+2} - \dfrac{1}{x-2}$ für $x=1$.

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Setze $x$ durch 1 ein: $\dfrac{1}{(1)+2} - \dfrac{1}{(1)-2} = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{-1} = \dfrac{1}{3} + 1 = 1\dfrac{1}{3}$.

Berechne $\left|\dfrac{-x+1}{-6}\right| + x^2 - 1$ für $x=-5$.

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Setze $x$ durch -5 ein: $\left|\dfrac{-(-5)+1}{-6}\right| + (-5)^2 - 1 = \left|\dfrac{5+1}{-6}\right| + 25 - 1 = |-1| + 25 - 1 = 1 + 25 - 1 = 25$.

Berechne $2^a - \sqrt{b^2}$ für $a=2$, $b=-2$.

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Setze $a$ durch 2 und $b$ durch -2 ein: $2^{(2)} - \sqrt{(-2)^2} = 4 - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2$.

Vereinfachen: a) $3(x+2) + x - 12$ b) $\dfrac{1}{5}(15x+20) + 2x + 4$ c) $0,2(5x+10) + 3x - 4$

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

a) $3x + 6 + x - 12 = (3x+x) + (6-12) = 4x - 6$

b) $\dfrac{1}{5} \times 15x + \dfrac{1}{5} \times 20 + 2x + 4 = 3x + 4 + 2x + 4 = 5x + 8$

c) $0,2 \times 5x + 0,2 \times 10 + 3x - 4 = x + 2 + 3x - 4 = 4x - 2$

Vereinfachen: a) $2x \cdot 3x$ b) $\dfrac{1}{2}x \cdot \dfrac{4}{5}x$ c) $3x^2 \cdot 5x^3$

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

a) $(2 \times 3) \times (x \times x) = 6x^2$

b) $\left(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{5}\right) \times (x \times x) = \dfrac{2}{5}x^2$

c) $(3 \times 5) \times (x^2 \times x^3) = 15x^5$

Klammere aus: a) $21x + 7$ b) $24 - 20x$ c) $8b - 4a + 32$

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

a) Der größte gemeinsame Faktor von 21 und 7 ist 7. $7(3x + 1)$

b) Der größte gemeinsame Faktor von 24 und 20 ist 4. $4(6 - 5x)$

c) Der größte gemeinsame Faktor von 8, 4 und 32 ist 4. $4(2b - a + 8)$

Löse die Gleichungen:
a) $3(x - 2 ) = 3$
b) $2(9 - x) = - (x + 5)$
c) $\dfrac{x+1}{3} = 6$
d) $4\left(x + \dfrac{1}{4}\right) = -15$
e) $x - \dfrac{x}{2} = 3$

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

a) $3x - 6 = 3 \rightarrow 3x = 9 \rightarrow x = 3$

b) $18 - 2x = -x - 5 \rightarrow 18 = x - 5 \rightarrow x = 23$

c) Mit 3 multiplizieren: $x + 1 = 18 \rightarrow x = 17$

d) $4x + 1 = -15 \rightarrow 4x = -16 \rightarrow x = -4$

e) Mit 2 multiplizieren: $2x - x = 6 \rightarrow x = 6$

Ein rechteckiger Garten hat eine Länge von 12m und eine Breite von 8m. Ein Weg der Breite $x$ wird um den Garten herum angelegt, sodass der äußere Umfang doppelt so groß ist wie der ursprüngliche Umfang. $Rechteckiger Garten mit Weg$
a) Stelle eine Gleichung in $x$ auf.
b) Löse nach $x$ auf.
c) Finde die Länge und Breite des äußeren Umfangs.
d) Finde die Gesamtfläche (Garten + Weg).
e) Finde die Gartenfläche.
f) Finde die Fläche des Weges.

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

a) Länge des äußeren Umfangs: $L = 12 + 2x$. Breite: $W = 8 + 2x$. Äußerer Umfang = $2(12 + 2x) + 2(8 + 2x) = 40 + 8x$. Umfang des Gartens (weiß) = $2(12) + 2(8) = 40$. Äußerer Umfang ist doppelt so groß wie der des Gartens, also $40 + 8x = 2 \times 40$.

b) $40 + 8x = 80 \rightarrow 8x = 40 \rightarrow x = 5 \text{ m}$.

c) Länge = $12 + 2(5) = 22 \text{ m}$, Breite = $8 + 2(5) = 18 \text{ m}$.

d) Gesamtfläche = $22 \times 18 = 396 \text{ m}^2$.

e) Gartenfläche = $12 \times 8 = 96 \text{ m}^2$.

f) Wegfläche = Gesamtfläche - Gartenfläche = $396 - 96 = 300 \text{ m}^2$.

Wenn man 10 vom Doppelten einer Zahl subtrahiert und das Ergebnis mit einhalb multipliziert, lautet die Antwort 5. Wie lautet die ursprüngliche Zahl?

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Sei $x$ die ursprüngliche Zahl. "10 vom Doppelten einer Zahl subtrahieren" ist $2x - 10$. "Ergebnis mit einhalb multiplizieren" ist $\dfrac{1}{2}(2x - 10)$. Die Antwort ist 5: $\dfrac{1}{2}(2x - 10) = 5$.

Multiplizieren Sie beide Seiten mit 2: $2x - 10 = 10 \rightarrow 2x = 20 \rightarrow x = 10$.

Löse: a) $x + 2 < 4$ b) $2(x + 3) \ge 2$ c) $-3x + 2 \le 11$ d) $\dfrac{4x+1}{2} \ge x + 3$

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

a) $x < 2$

b) $2x + 6 \ge 2 \rightarrow 2x \ge -4 \rightarrow x \ge -2$

c) $-3x \le 9 \rightarrow x \ge -3$ (Ändern Sie das Symbol der Ungleichung, da -3 negativ ist).

d) $4x + 1 \ge 2x + 6 \rightarrow 2x \ge 5 \rightarrow x \ge 5/2$

Welches der geordneten Paare stellt eine Funktion dar?
a) $\{(1,2), (3,4), (5,7), (5,9)\}$
b) $\{(-1,-2), (3,4), (5,7), (7,9)\}$
c) $\{(3,3), (9,4), (5,7), (9,0)\}$

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Eine Funktion ist eine Beziehung zwischen zwei Mengen, bei der jedem Eingangswert genau ein Ausgangswert zugeordnet ist.

Die Beziehung b) ist eine Funktion. In Auswahl a) ist der Eingang 5 den Werten 7 und 9 zugeordnet. In Auswahl c) ist der Eingang 9 den Werten 4 und 0 zugeordnet.

Welches der folgenden Diagramme könnte der Graph einer linearen Funktion sein? Finde die Gleichung. $Graph von Funktionen$

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Graph (3) ist eine gerade Linie und daher der Graph einer linearen Funktion.

Finden Sie zwei Punkte (0,2) und (2,6) und berechnen Sie die Steigung: $ m = \dfrac{6-2}{2-0} = 2 $

Schreiben Sie die Achsenabschnittsform der Geradengleichung: $ y = 2 + 2 x $

Gegeben $y = 2x + 1$:
a) Finde $y$ für $x = 0$ und $x = 1$.
b) Verwende diese Werte, um $y = 2x + 1$ zu zeichnen.

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

a) Für $x=0$, $y = 2(0)+1 = 1$. Für $x=1$, $y = 2(1)+1 = 3$. Die geordneten Paare lauten $(0, 1)$ und $(1, 3)$.

b) Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Die beiden erhaltenen geordneten Paare können verwendet werden, um die Funktion wie unten gezeigt zu zeichnen.

$Graph der Funktion y = 2x + 1$

Zwei Funktionen sind unten grafisch dargestellt. $Graph linearer Funktionen$
a) Ohne Berechnungen: Welche hat die höhere Änderungsrate?
b) Finde die Koordinaten von zwei Punkten auf jeder Gerade.
c) Berechne jede Änderungsrate, um (a) zu bestätigen.

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

a) Die Funktion zu Graph (1) hat eine höhere Änderungsrate, weil sie schneller ansteigt, wenn $x$ zunimmt.

$Graph linearer Funktionen mit Punkten$

b) Punkte auf Graph (1): $(0,1)$ und $(3,7)$. Punkte auf Graph (2): $(0,3)$ und $(8,8)$.

c) Rate 1: $\dfrac{7-1}{3-0} = \dfrac{6}{3} = 2$. Rate 2: $\dfrac{8-3}{8-0} = 5/8$. Berechnungen bestätigen, dass die Änderungsrate von (1) höher ist.

Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 6 cm und 8 cm lang. Wie lang ist die Hypotenuse?

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Sei $h$ die Hypotenuse. Mit dem Satz des Pythagoras: $h^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$. $h = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}$.

Drei Geraden schneiden sich in $O$. Gegeben ist $\angle AOB = 31^\circ$ und $\angle AOC = 79^\circ$, finde $\angle EOF$. $Scheitelwinkel$

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Beachten Sie, dass $\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC$. Also $79^\circ = 31^\circ + \angle BOC$. Daraus folgt $\angle BOC = 79^\circ - 31^\circ = 48^\circ$.

Die Winkel $\angle BOC$ und $\angle EOF$ sind Scheitelwinkel und daher gleich groß. $\angle EOF = 48^\circ$.

Wie viele Symmetrieachsen hat ein Quadrat?

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Ein Quadrat hat 4 Symmetrieachsen, wie unten gezeigt.

$Symmetrieachsen eines Quadrats$

Gegeben ist $m\angle 1 = 40^\circ$. Finde die Maße aller acht Winkel am Parallelschnitt. $Parallele und sich schneidende Geraden$

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Die Winkel $m\angle 1$ und $m\angle 2$ sind supplementär und summieren sich zu $180^\circ$. Also ist $m\angle 2 = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.

$m\angle 1$ und $m\angle 3$ sind Scheitelwinkel (gleich). $m\angle 3 = 40^\circ$.

$m\angle 2$ und $m\angle 4$ sind Scheitelwinkel (gleich). $m\angle 4 = 140^\circ$.

$m\angle 1$ und $m\angle 5$ sind Stufenwinkel (gleich). $m\angle 5 = 40^\circ$.

$m\angle 2$ und $m\angle 6$ sind Stufenwinkel (gleich). $m\angle 6 = 140^\circ$.

$m\angle 4$ und $m\angle 8$ sind Stufenwinkel (gleich). $m\angle 8 = 140^\circ$.

$m\angle 3$ und $m\angle 7$ sind Stufenwinkel (gleich). $m\angle 7 = 40^\circ$.

Berechne die Fläche eines Kreises mit einem Durchmesser von 20 cm.

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Radius $r = \text{Durchmesser} \div 2 = 20 \div 2 = 10 \text{ cm}$. Fläche $= \pi \times r^2 = 3,14 \times 10^2 = 314 \text{ cm}^2$.

Berechne die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mit einer Kathete von 16 cm und einer Hypotenuse von 20 cm.

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Verwenden Sie den Satz des Pythagoras, um die zweite Kathete $b$ zu finden: $b^2 + 16^2 = 20^2 \rightarrow b^2 = 400 - 256 = 144 \rightarrow b = 12 \text{ cm}$.

Fläche $= \dfrac{1}{2} \times 16 \times 12 = 96 \text{ cm}^2$.

In der Abbildung ist ABDE ein Quadrat und FC eine Symmetrieachse. Finde die Fläche des blauen Pfeils. $Fläche des Pfeils$

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Aufgrund der Symmetrie berechnen wir die Fläche des unteren Teils des Pfeils, der ein Trapez ist.

$Fläche des halben Pfeils$

Fläche des Trapezes $= \dfrac{1}{2}(\overline{FG} + \overline{ED}) \times \overline{HE}$.

$\overline{FG} = 12 + 16 - 4 = 24$. $\overline{ED} = 16$. $\overline{HE} = \dfrac{1}{2} \overline{AE} = 8$.

Fläche $= \dfrac{1}{2}(24 + 16) \times 8 = 160$.

Die Fläche des Pfeils ist doppelt so groß wie das Trapez: $2 \times 160 = 320 \text{ Einheiten}^2$.

Finde die Fläche der Form, die von einem Halbkreis (Durchmesser DE) und einem gleichschenkligen Dreieck ABG begrenzt wird. Runde auf zwei Dezimalstellen. $Fläche der zusammengesetzten Form$

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Wir zerlegen die gegebene Form in Grundformen, deren Flächen sich leicht mit Formeln berechnen lassen.

$Zerlegte Fläche der zusammengesetzten Form$

Fläche des gleichschenkligen Dreiecks ABG $= \dfrac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$

Fläche des Trapezes BCFG $= \dfrac{1}{2} \times 2 \times (4+1) = 5$

Fläche des Trapezes CDEF $= \dfrac{1}{2} \times 3 \times (1+3) = 6$

Fläche des Halbkreises mit Durchmesser DE $= \dfrac{1}{2} \times \pi \times 1,5^2 \approx 3,53$

Gesamtfläche $= 8 + 5 + 6 + 3,53 = 22,53 \text{ mm}^2$.

Finde das Volumen und die Oberfläche (ohne Boden) eines Silos, das aus einem Zylinder ($h = 10$ m) und einer Halbkugel ($r = 6$ m) obenauf besteht. $Zylinder und Halbkugel$

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

$Zylinder und Halbkugel Lösung$

Das Volumen der halben Kugel $= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3} \pi r^3 = \dfrac{4}{6} \times 3,14 \times 6^3 = 452,16 \text{ m}^3$

Das Volumen des Zylinders $= \pi \times r^2 \times h = 3,14 \times 6^2 \times 10 = 1130,4 \text{ m}^3$

Die Oberfläche der halben Kugel $= \dfrac{1}{2} \times 4 \times \pi \times r^2 = 2 \times 3,14 \times 6^2 = 226,08 \text{ m}^2$

Die Oberfläche des Zylinders (ohne Boden) $= 2 \times \pi \times r \times h = 2 \times 3,14 \times 6 \times 10 = 376,8 \text{ m}^2$

Gesamtvolumen des Silos $= 452,16 + 1130,4 = 1582,56 \text{ m}^3$

Gesamte Oberfläche des Silos $= 226,08 + 376,8 = 602,88 \text{ m}^2$

Ein rechteckiges Prisma wird diagonal in zwei kongruente dreieckige Prismen geteilt. Finde das Volumen und die Oberfläche eines dreieckigen Prismas. $Teilung in dreieckiges Prisma$

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Aufgrund der Symmetrie ist das Volumen des dreieckigen Prismas die Hälfte des Volumens des rechteckigen Prismas.

$Lösung für dreieckiges Prisma$

Volumen des rechteckigen Prismas $= 6 \times 3 \times 4 = 72 \text{ Einheiten}^3$. Volumen des dreieckigen Prismas $= 36 \text{ Einheiten}^3$.

Die Oberfläche ist die halbe Oberfläche des rechteckigen Prismas plus die Fläche des durch die roten Diagonalen gebildeten Rechtecks.

Oberfläche des rechteckigen Prismas $= 2 \times (6 \times 3 + 3 \times 4 + 6 \times 4) = 108 \text{ Einheiten}^2$.

Verwenden Sie den Satz des Pythagoras, um die Länge $d$ der Diagonale zu finden: $d^2 = 3^2 + 4^2 = 25 \rightarrow d=5$.

Fläche des Rechteckschnitts $= 5 \times 6 = 30 \text{ Einheiten}^2$.

Oberfläche des dreieckigen Prismas $= \dfrac{1}{2} \times 108 + 30 = 84 \text{ Einheiten}^2$.

Das Liniendiagramm zeigt die durchschnittlichen Höchsttemperaturen (°C) für 12 Monate in Ottawa.
a) Durchschnittliches Hoch im kältesten Monat?
b) Durchschnittliches Hoch im wärmsten Monat?
c) Unterschied zwischen dem kältesten und dem wärmsten Monat?
d) Kleinster Anstieg zwischen zwei aufeinanderfolgenden Monaten?
e) Kleinster Rückgang zwischen zwei aufeinanderfolgenden Monaten? $Durchschnittliche Höchsttemperatur in Ottawa$

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

a) Der Januar hat die niedrigste Durchschnittstemperatur von $-5^\circ$C.

b) Der Juli hat die höchste Durchschnittstemperatur von $26^\circ$C.

c) Unterschied $= 26 - (-5) = 31^\circ$C.

d) Die kleinsten Anstiege gibt es von Januar bis Februar und von Juni bis Juli.

e) Der kleinste Rückgang ist von Juli bis August.

Testergebnisse: 31, 44, 54, 69, 45, 55, 91, 76, 76, 77, 78, 70, 79, 67, 60, 85, 84, 89, 56, 67, 86, 64, 97, 88, 92.
a) Ordne vom kleinsten zum größten Wert.
b) Finde die Spannweite (Range).
c) Erstelle eine Häufigkeitstabelle ab 30–39.
d) Erstelle ein Histogramm.
e) Wenn Ergebnisse unter 60 durchgefallen bedeuten, wie viel Prozent sind durchgefallen?

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

a) Geordnet: $31, 44, 45, 54, 55, 56, 60, 64, 67, 67, 69, 70, 76, 76, 77, 78, 79, 84, 85, 86, 88, 89, 91, 92, 97$.

b) Spannweite = Größter Wert - kleinster Wert $= 97 - 31 = 66$.

c) Beginnen Sie mit der Klasse 30-39 und addieren Sie die Klassenbreite (10), um die restlichen Klassen zu erhalten.

$Häufigkeitstabelle$

d) Ein Histogramm wird erstellt, indem die Anzahl der Schüler auf der vertikalen Achse und die Klassen auf der horizontalen Achse aufgetragen werden.

$Histogramm$

e) Die Ergebnisse in den drei Klassen 30-39, 40-49 und 50-59 liegen unter 60. $1 + 2 + 3 = 6$ sind durchgefallen. Prozentsatz $= \dfrac{6}{25} = 0,24 = 24\%$.

Finde den Median, das untere Quartil und das obere Quartil von $\{9, 4, 3, 2, 3, 0, 2, 3, 1, 9, 10\}$.

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Geordnete Daten: $\{0, 1, 2, 2, 3, \textbf{3}, 3, 4, 9, 9, 10\}$

Median: Der Wert in der Mitte ist 3.

Unteres Quartil: Der Median der Datenwerte unterhalb des Medians $\{0, 1, \textbf{2}, 2, 3\}$ ist 2.

Oberes Quartil: Der Median der Datenwerte oberhalb des Medians $\{3, 4, \textbf{9}, 9, 10\}$ ist 9.

Mark erzielte bei seinen ersten vier Tests 83, 94, 97, 93 Punkte. Was muss er beim fünften Test erreichen, um einen Durchschnitt von mindestens 90 zu erhalten?

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Sei $x$ das Ergebnis des fünften Tests. Der Durchschnitt ist mindestens 90: $\dfrac{83 + 94 + 97 + 93 + x}{5} \ge 90$

Mit 5 multiplizieren: $367 + x \ge 450$.

Nach $x$ auflösen: $x \ge 450 - 367 \rightarrow x \ge 83$. Mark muss mindestens 83 erreichen.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Werfen eines fairen 6-seitigen Würfels eine gerade Zahl zu würfeln?

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Ergebnisraum = $\{1,2,3,4,5,6\}$. Menge der geraden Zahlen = $\{2,4,6\}$.

Wahrscheinlichkeit $= \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.

Werfen einer Münze und eines Würfels: a) Wahrscheinlichkeit für Zahl und eine 4? b) Wahrscheinlichkeit für Kopf und eine ungerade Zahl?

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

a) Die Wahrscheinlichkeit, Zahl zu erhalten, ist $1/2$. Die Wahrscheinlichkeit für eine 4 ist $1/6$. Unabhängige Ereignisse: $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{12}$.

b) Die Wahrscheinlichkeit, Kopf zu erhalten, ist $1/2$. Die Wahrscheinlichkeit für ungerade ist $3/6 = 1/2$. Unabhängige Ereignisse: $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$.

Ben zieht eine Karte aus einem Satz von 3 Karten mit der Beschriftung (1), (2), (3), legt sie zurück und zieht erneut. a) Wahrscheinlichkeit, zweimal 3 zu ziehen? b) Wahrscheinlichkeit, beide Male dieselbe Zahl zu ziehen?

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

a) Es gibt 1 Ergebnis mit 3 in beiden Ziehungen $(3,3)$ von $3 \times 3 = 9$ möglichen Ergebnissen. Wahrscheinlichkeit $= \dfrac{1}{9}$.

b) Drei der 9 Ergebnisse haben dieselbe Zahl: $(1,1), (2,2), (3,3)$. Wahrscheinlichkeit $= \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$.

In einer Umfrage: 5 Schüler bevorzugen Blau, 6 bevorzugen Braun, von insgesamt 20. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler keines von beiden bevorzugt?

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Wenn 5 Blau und 6 Braun sagten, haben $20 - 5 - 6 = 11$ keines von beiden gewählt.

Die Wahrscheinlichkeit ist $\dfrac{11}{20}$.

Klasse 8 Mathe-Übungstest & Lösungen

Übungsfragen & Lösungen

1 - Zahlen

2 - Zahlenfolgen

3 - Mengen

4 - Faktoren, Vielfache und Teilbarkeit

5 - Brüche und gemischte Zahlen

6 - Exponenten und wissenschaftliche Schreibweise

7 - Wurzeln

8 - Proportionalität

9 - Prozentrechnung

10 - Einheitenumrechnung

11 - Terme berechnen

12 - Algebra

13 - Gleichungen & Textaufgaben

14 - Ungleichungen

15 - Funktionen

16 - Zweidimensionale Figuren

17 - Umfang und Flächeninhalt

18 - Volumen und Oberfläche

19 - Daten und Diagramme

20 - Statistik

21 - Wahrscheinlichkeit

Links und Referenzen