Übungsaufgaben & Lösungen
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Ein Auto legte 281 Meilen in 4 Stunden und 41 Minuten zurück. Wie hoch war die Durchschnittsgeschwindigkeit des Autos in Meilen pro Stunde?
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Wir rechnen die Zeit von 4 Stunden und 41 Minuten zunächst in Stunden um:
\[ 4\ \text{Stunden} + 41\ \text{Minuten} = 4 + \dfrac{41}{60} = \dfrac{240 + 41}{60} = \dfrac{281}{60}\ \text{Stunden} \]Die Durchschnittsgeschwindigkeit \( S \) ergibt sich aus Strecke geteilt durch Zeit:
\[ S = \dfrac{281\ \text{Meilen}}{\dfrac{281}{60}\ \text{Stunden}} = 281 \times \dfrac{60}{281} = 60\ \text{Meilen pro Stunde} \] -
Löse nach \( x \) auf:
\[ 5x - 7 = 3x + 9 \]Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Ausgehend von \( 5x - 7 = 3x + 9 \):
Subtrahiere \( 3x \) von beiden Seiten: \( 2x - 7 = 9 \)
Addiere 7 zu beiden Seiten: \( 2x = 16 \)
Teile beide Seiten durch 2: \( x = 8 \)
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Löse das Gleichungssystem:
\[ 2x + 3y = 12 \]
\[ 4x - y = 7 \]Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Stelle die zweite Gleichung \( 4x - y = 7 \) nach \( y \) um: \( y = 4x - 7 \)
Setze \( y \) in die erste Gleichung \( 2x + 3y = 12 \) ein:
\[ 2x + 3(4x - 7) = 12 \] \[ 2x + 12x - 21 = 12 \] \[ 14x - 21 = 12 \implies 14x = 33 \implies x = \dfrac{33}{14} \]Setze \( x \) zurück in \( y = 4x - 7 \) ein:
\[ y = 4\left(\dfrac{33}{14}\right) - 7 = \dfrac{132}{14} - \dfrac{98}{14} = \dfrac{34}{14} = \dfrac{17}{7} \] -
Vereinfache den Ausdruck:
\[ \sqrt{50} + \sqrt{18} \]Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Vereinfache zuerst jede Quadratwurzel durch Finden von Quadratzahlen als Faktoren:
\[ \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \] \[ \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \]Addiere die beiden vereinfachten Terme: \( 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \)
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Finde den Flächeninhalt eines Trapezes mit parallelen Seiten der Länge 10 cm und 14 cm sowie einer Höhe von 6 cm.
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Die Formel für die Fläche eines Trapezes lautet \( A = \dfrac{1}{2} \times (a + c) \times h \).
\[ A = \dfrac{1}{2} \times (10 + 14) \times 6 = \dfrac{1}{2} \times 24 \times 6 = 72\ \text{cm}^2 \] -
Die Länge eines Rechtecks ist viermal so groß wie seine Breite. Wenn die Fläche 100 m² beträgt, wie lang ist das Rechteck?
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Sei \( W \) die Breite. Die Länge \( L \) ist \( 4W \). Die Flächenformel ergibt:
\[ \text{Fläche} = L \times W = (4W) \times W = 4W^2 \] \[ 4W^2 = 100 \implies W^2 = 25 \implies W = 5\ \text{m} \]Die Länge ist \( L = 4 \times 5 = 20\ \text{m} \).
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Die Länge eines Rechtecks wird auf das Zweifache seiner ursprünglichen Größe vergrößert, und die Breite auf das Dreifache seiner ursprünglichen Größe. Wenn die Fläche des neuen Rechtecks 1800 Quadratmeter beträgt, wie groß ist die Fläche des ursprünglichen Rechtecks?
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Sei die ursprüngliche Fläche \( A_{\text{orig}} = L \times W \).
Die neuen Dimensionen sind \( 2L \) und \( 3W \). Die neue Fläche ist:
\[ A_{\text{neu}} = (2L) \times (3W) = 6(LW) = 1800 \]Auflösen nach der ursprünglichen Fläche (\( LW \)): \( L \times W = \dfrac{1800}{6} = 300\ \text{m}^2 \).
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Jede Dimension eines Würfels wurde auf das Doppelte seiner ursprünglichen Größe vergrößert. Wenn der neue Würfel ein Volumen von 64.000 Kubikzentimetern hat, wie groß ist die Fläche einer Seite des ursprünglichen Würfels?
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Sei \( x \) die ursprüngliche Kantenlänge. Die neue Kantenlänge ist \( 2x \).
Das neue Volumen ist \( (2x)^3 = 8x^3 = 64.000 \).
\[ x^3 = 8.000 \implies x = \sqrt[3]{8.000} = 20\ \text{cm} \]Die Fläche einer Seite des ursprünglichen Würfels ist \( x^2 = 20^2 = 400\ \text{cm}^2 \).
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Pumpe A kann einen Wassertank in 5 Stunden füllen. Pumpe B kann denselben Tank in 8 Stunden füllen. Wie lange brauchen beide Pumpen zusammen, um den Tank zu füllen? (Runden Sie Ihre Antwort auf die nächste Minute).
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Pumpe A füllt \( 1/5 \) des Tanks pro Stunde. Pumpe B füllt \( 1/8 \) pro Stunde.
Zusammen füllen sie: \( \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{13}{40} \) des Tanks pro Stunde.
Gesamtzeit \( t = \dfrac{40}{13} \) Stunden, das entspricht \( 3\dfrac{1}{13} \) Stunden.
Umrechnung des Bruchteils in Minuten: \( \dfrac{1}{13} \times 60 \approx 4,6 \) Minuten, was auf 5 Minuten aufgerundet wird. Die Gesamtzeit beträgt 3 Stunden und 5 Minuten.
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Wasser wird mit konstanter Geschwindigkeit in einen unterirdischen Lagertank gepumpt, der die Form eines rechteckigen Prismas hat. Welcher der folgenden Graphen stellt am besten die Änderung der Wasserhöhe im Tank in Abhängigkeit von der Zeit dar?
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Da Wasser mit konstanter Geschwindigkeit hineingepumpt wird, muss die Höhe linear ansteigen. Der Graph, der eine abfallende oder konstante Linie zeigt, ist falsch. Der Graph links unten, der eine stetig ansteigende Höhe zeigt, stellt das Szenario korrekt dar.
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Eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks ist 18 cm lang und sein Flächeninhalt beträgt 216 Quadratzentimeter. Finde seinen Umfang.
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Flächeninhalt = \( \dfrac{1}{2} \times \text{Basis} \times \text{Höhe} \). Gegebener Flächeninhalt = 216 und Kathete \( a = 18 \):
\[ 216 = \dfrac{1}{2} \times 18 \times b \implies 9b = 216 \implies b = 24\ \text{cm} \]Verwende den Satz des Pythagoras für die Hypotenuse \( c \):
\[ c^2 = 18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900 \implies c = 30\ \text{cm} \]Umfang = \( 18 + 24 + 30 = 72\ \text{cm} \).
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Wie groß ist die Summe der Innenwinkel eines Polygons mit 53 Seiten?
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Die Formel für die Summe der Innenwinkel lautet \( 180(n - 2) \). Für \( n = 53 \):
\[ \text{Summe} = 180(53 - 2) = 180 \times 51 = 9180^\circ \] -
Jack ist größer als Sarah, aber kleiner als Malika und Tania. Malika ist kleiner als Tania. Natasha ist kleiner als Sarah. Wer ist am kleinsten?
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Aus dem Text: Natasha < Sarah < Jack. Jack < Malika < Tania.
Die Kombination dieser Größen ergibt die fortlaufende Reihenfolge: Natasha < Sarah < Jack < Malika < Tania. Natasha ist am kleinsten.
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Was ist die Höhe (eine der Katheten) und die Hypotenuse eines gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecks mit einem Flächeninhalt von 800 Quadratfuß?
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Seien beide Katheten \( x \). Fläche = \( \dfrac{1}{2} x^2 = 800 \implies x^2 = 1600 \implies x = 40\ \text{ft} \).
Die Hypotenuse \( h \) mittels Satz des Pythagoras: \( h^2 = 40^2 + 40^2 = 3200 \).
\[ h = \sqrt{3200} = 40\sqrt{2} \approx 56,57\ \text{ft} \] -
Finde den Umfang eines Kreises, der in ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 20 Metern eingeschrieben ist.
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Der Durchmesser des eingeschriebenen Kreises entspricht der Seitenlänge des Quadrats (20 m), also ist der Radius \( r = 10\ \text{m} \).
Umfang \( C = 2\pi r = 2\pi(10) = 20\pi \approx 62,8\ \text{m} \).
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Zwei verschiedene Schulen (A und B) haben die gleiche Anzahl an Schülern. Das Verhältnis der Jungen in Schule A zu den Jungen in Schule B ist 2:1, und das Verhältnis der Mädchen in Schule A zu den Mädchen in Schule B ist 4:5. Finde das Verhältnis der Jungen in Schule A zu den Mädchen in Schule A.
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Sei Anzahl der Jungen in B = \( x \), dann sind es in A = \( 2x \). Sei Anzahl der Mädchen in B = \( 5y \), dann sind es in A = \( 4y \).
Gesamtzahl der Schüler ist gleich: \( 2x + 4y = x + 5y \implies x = y \).
Verhältnis Jungen zu Mädchen in Schule A: \( \dfrac{2x}{4y} = \dfrac{2x}{4x} = \dfrac{1}{2} \). Das Verhältnis ist 1:2.
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In einer Klasse ist das Verhältnis von Jungen zu Mädchen 5:6. Wenn es insgesamt 66 Schüler gibt, wie viele Mädchen sind in der Klasse?
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Seien Jungen = \( 5x \) und Mädchen = \( 6x \). Gesamtzahl der Schüler = \( 11x = 66 \implies x = 6 \).
Anzahl der Mädchen = \( 6x = 6(6) = 36 \).
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Eine Tasche enthält 5 rote, 3 grüne und 2 blaue Kugeln. Wenn eine Kugel zufällig aus der Tasche gezogen wird, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel entweder rot oder blau ist?
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Gesamtzahl der Kugeln = \( 5 + 3 + 2 = 10 \). Rote oder blaue Kugeln = \( 5 + 2 = 7 \).
Wahrscheinlichkeit \( = \dfrac{7}{10} \).
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Eine Leiter lehnt an einer Wand. Der Fuß der Leiter ist 6 Meter von der Wand entfernt, und die Leiter erreicht eine Höhe von 8 Metern. Wie lang ist die Leiter?
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Die Wand, der Boden und die Leiter bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Länge der Leiter \( L \) ist die Hypotenuse:
\[ L = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\ \text{m} \] -
Der Preis einer Jacke stieg von 80 $ auf 100 $. Wie hoch ist der prozentuale Anstieg?
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Anstieg = \( 100\$ - 80\$ = 20\$ \).
Prozentualer Anstieg = \( \left( \dfrac{\text{Anstieg}}{\text{Ursprünglich}} \right) \times 100 = \left(\dfrac{20}{80}\right) \times 100 = 25\% \).
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Joe fuhr eine gewisse Strecke mit 45 Meilen pro Stunde. Dann fuhr er dieselbe Strecke mit 55 Meilen pro Stunde. Wie hoch ist die Durchschnittsgeschwindigkeit für die gesamte Fahrt?
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Sei Strecke = \( d \). Gesamte Strecke = \( 2d \). Gesamte Zeit = \( \dfrac{d}{45} + \dfrac{d}{55} \).
Gemeinsamer Nenner ist 495: \( \dfrac{11d}{495} + \dfrac{9d}{495} = \dfrac{20d}{495} \).
Durchschnittsgeschwindigkeit = \( \dfrac{2d}{\dfrac{20d}{495}} = 2d \times \dfrac{495}{20d} = \dfrac{990}{20} = 49,5\ \text{mph} \).
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Zwei Kugeln A und B rotieren auf einer kreisförmigen Bahn. Kugel A macht 2 volle Umdrehungen in 26 Minuten. Kugel B macht 5 volle Umdrehungen in 35 Minuten. Wenn sie jetzt vom gleichen Punkt aus starten, wann sind sie wieder am gleichen Startpunkt?
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Zeit für eine Umdrehung für A = \( 26 / 2 = 13 \) Min. Für B = \( 35 / 5 = 7 \) Min.
Die Zeit, zu der sie sich wieder treffen, ist das kgV von 13 und 7, das ist \( 13 \times 7 = 91 \) Minuten.
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Die Zahlen \( x , y , z \) und \( w \) haben einen Durchschnitt von 25. Der Durchschnitt von \( x , y \) und \( z \) ist 27. Finde \( w \).
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Summe von 4 Zahlen: \( x + y + z + w = 4 \times 25 = 100 \).
Summe der ersten 3 Zahlen: \( x + y + z = 3 \times 27 = 81 \).
Daher gilt \( 81 + w = 100 \implies w = 19 \).
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Peter fuhr 2 Stunden lang mit konstanter Geschwindigkeit. Dann hielt er für eine Stunde an, um einzukaufen und sich auszuruhen, und fuhr dann mit konstanter Geschwindigkeit zurück nach Hause. Welcher Graph stellt am besten die Änderung der Entfernung von zu Hause dar, während Peter fuhr?
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Die Entfernung von zu Hause sollte zuerst ansteigen (Wegfahren), flach bleiben (Einkaufen/Ausruhen) und dann wieder auf null abfallen (Heimfahren). Nur der untere linke Graph zeigt genau diesen Verlauf.
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Anfangs war das rechteckige Prisma links voll mit Wasser. Dann wurde Wasser in den rechten zylindrischen Behälter gegossen, sodass die Wasserhöhen in beiden Behältern gleich sind. Finde die Höhe \(h\) des Wassers in beiden Behältern (runden Sie Ihre Antwort auf eine Dezimalstelle).
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Volumen linkes Prisma = \( 2 \times 4 \times 10 = 80\ \text{cm}^3 \). Dieses Wasser wird zwischen dem mittleren Prisma und dem Zylinder geteilt.
Volumen mittleres Prisma = \( 2 \times 4 \times h = 8h \). Volumen Zylinder = \( \pi (1)^2 h = \pi h \).
Gesamt: \( 8h + \pi h = 80 \implies h(8 + \pi) = 80 \implies h = \dfrac{80}{8 + 3,14} \approx 7,2\ \text{cm} \).
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Der Umfang des Quadrats ABCD beträgt 100 cm. Die Länge der Strecke MN beträgt 5 cm und das Dreieck MNC ist ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck. Finde den Flächeninhalt des Fünfecks ABNMD.
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Quadratumfang = 100, also Seitenlänge = 25 cm. Gesamtfläche = 625 cm².
Dreieck MNC ist ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse MN = 5. Nach dem Satz des Pythagoras: \( MC^2 + NC^2 = 5^2 \). Da \( MC = NC \), \( 2MC^2 = 25 \implies MC^2 = 12,5 \).
Fläche des Dreiecks = \( \dfrac{1}{2} \times MC \times NC = \dfrac{1}{2}(12,5) = 6,25\ \text{cm}^2 \).
Fläche des Fünfecks = \( 625 - 6,25 = 618,75\ \text{cm}^2 \).
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Dany kaufte insgesamt 20 Spielkarten, von denen einige 0,25 $ und einige 0,15 $ kosteten. Wenn Dany 4,20 $ für diese Karten ausgab, wie viele Karten von jeder Art hat er gekauft?
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Sei \( X \) = 0,25 $-Karten, \( Y \) = 0,15 $-Karten.
\[ X + Y = 20 \implies Y = 20 - X \] \[ 0,25X + 0,15Y = 4,20 \implies 25X + 15Y = 420 \]Setze \( Y \) ein: \( 25X + 15(20 - X) = 420 \implies 10X + 300 = 420 \implies 10X = 120 \implies X = 12 \).
Daher ist \( Y = 8 \). Er kaufte 12 Karten für 0,25 $ und 8 Karten für 0,15 $.
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Ein sechsseitiger Würfel wird einmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gewürfelte Zahl eine gerade Zahl größer als 2 ist?
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Mögliche Ergebnisse: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Gerade Zahlen größer als 2: 4 und 6.
Wahrscheinlichkeit = \( \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \).
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Ein zylindrischer Behälter hat einen Radius von 4 cm und eine Höhe von 10 cm. Wie groß ist sein Volumen? (Verwenden Sie \( \pi \approx 3,14 \))
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Formel: \( V = \pi r^2 h \).
\[ V = 3,14 \times 4^2 \times 10 = 3,14 \times 16 \times 10 = 502,4\ \text{cm}^3 \]