Lösungen mit vollständigen Erklärungen zu Fragen der 8. Klasse zu quadratischen Gleichungen. Einige dieser Probleme könnten anspruchsvoll sein und es lohnt sich daher, sie zu lösen, auch wenn sie Zeit in Anspruch nehmen. Wir lernen, indem wir Probleme lösen, von denen wir anfangs nicht wissen, wie man sie löst.
Zwei aufeinanderfolgende ganze Zahlen haben die Form
\( x \) und \( x + 1 \)
Ihr Produkt ist gleich 56
\[ x(x + 1) = 56 \]Lösen Sie und finden Sie die beiden Zahlen \( x \) und \( x + 1 \). Die obige Gleichung kann wie folgt geschrieben werden
\[ x^{2} + x - 56 = 0 \]Faktorisieren und lösen
\[ (x - 7)(x + 8) = 0 \]Lösungen: \( x = 7 \), \( x = -8 \)
\( x = -8 \) ist nicht gültig, da die Zahlen positiv sein müssen. Daher
\( x = 7 \) und \( x + 1 = 8 \) sind die beiden aufeinanderfolgenden Zahlen.
Zwei aufeinanderfolgende ganze Zahlen haben die Form
\( x \) und \( x + 1 \)
Die Summe ihrer Quadrate ist gleich 145
\[ x^{2} + (x + 1)^{2} = 145 \]Erweitern und gleichartige Terme zusammenfassen, dann in Standardform schreiben
\[ 2x^{2} + 2x - 144 = 0 \]Teilen Sie alle Terme durch 2
\[ x^{2} + x - 72 = 0 \]Faktorisieren und lösen
\[ (x + 9)(x - 8) = 0 \]Lösungen: \( x = 8 \) (nur positive Lösung)
Die beiden aufeinanderfolgenden Zahlen sind
\( x = 8 \) und \( x + 1 = 9 \).
Fläche ist Länge mal Breite, also
\[ (x + 2)(x + 1) = 42 \]Erweitern und gleichartige Terme zusammenfassen
\[ x^{2} + 3x + 2 = 42 \]In Standardform umschreiben
\[ x^{2} + 3x - 40 = 0 \]Faktorisieren und lösen
\[ (x + 8)(x - 5) = 0 \]Lösungen: \( x = -8 \) und \( x = 5 \)
Nur \( x = 5 \) ergibt positive Länge und Breite
Länge: \( x + 2 = 7 \)
Breite: \( x + 1 = 6 \)
Der Umfang ist
\[ 2 \times \text{Länge} + 2 \times \text{Breite} = 14 + 12 = 26 \]Sei \( y \) die Länge der kürzeren Kathete. Dann ist die längere Kathete
\( y + 3 \)
Die Hypotenuse ist 3 cm länger als die längere Kathete, also
\( (y + 3) + 3 = y + 6 \)
Verwenden Sie den Satz des Pythagoras
\[ y^{2} + (y + 3)^{2} = (y + 6)^{2} \]Erweitern und vereinfachen
\[ y^{2} + y^{2} + 6y + 9 = y^{2} + 12y + 36 \] \[ y^{2} - 6y - 27 = 0 \]Faktorisieren und lösen
\[ (y - 9)(y + 3) = 0 \]Nur \( y = 9 \) ist gültig, da die Länge positiv sein muss.
Länge der Hypotenuse:
\( y + 6 = 15 \text{ cm} \)
Das Objekt befindet sich 80 Fuß über dem Boden, wenn \( h = 80 \), also
\[ -16t^{2} + 64t + 32 = 80 \]In Standardform umschreiben
\[ -16t^{2} + 64t + 32 - 80 = 0 \implies -16t^{2} + 64t - 48 = 0 \]Faktorisieren und lösen
\[ -16(t^{2} - 4t + 3) = 0 \] \[ -16 (t - 1)(t - 3) = 0 \]Lösungen: \( t = 1 \) Sekunde und \( t = 3 \) Sekunden.
Das Objekt erreicht 80 Fuß bei \( t = 1 \), steigt auf, kommt dann herunter und passiert 80 Fuß erneut bei \( t = 3 \), bevor es weiter fällt.
Sei \( L \) die Länge und \( W \) die Breite. Gegeben
\[ L \times W = 96 \]Der Umfang ist 40, also
\[ 2(L + W) = 40 \implies L + W = 20 \implies L = 20 - W \]In die Flächengleichung einsetzen
\[ (20 - W) \times W = 96 \]Erweitern und umstellen
\[ 20W - W^{2} = 96 \implies W^{2} - 20W + 96 = 0 \]Faktorisieren und lösen
\[ (W - 8)(W - 12) = 0 \]Lösungen: \( W = 8 \), \( W = 12 \)
Finden Sie die entsprechenden \( L \)
\[ \begin{cases} W = 8 \implies L = 12 \\ W = 12 \implies L = 8 \end{cases} \]Angenommen, die Länge ist die längere, sind die Abmessungen
\( W = 8 \) und \( L = 12 \)
Sei \( b \) die Grundseite, dann ist die Höhe \( b + 3 \). Flächenformel:
\[ 54 = \frac{1}{2} \times b \times (b + 3) \]Multiplizieren Sie beide Seiten mit 2:
\[ 108 = b(b + 3) \]Als quadratische Gleichung umschreiben:
\[ b^{2} + 3b - 108 = 0 \]Lösen Sie die quadratische Gleichung:
\[ b = 9 \quad \text{oder} \quad b = -12 \]Die Grundseite muss positiv sein, also \( b = 9 \). Die Höhe ist
\[ 9 + 3 = 12 \]Die Zahlen seien \( x \), \( x + 1 \) und \( x + 2 \).
Produkt der ersten und dritten:
\[ x(x + 2) = x^{2} + 2x \]Eins weniger als das Quadrat der zweiten:
\[ (x + 1)^{2} - 1 = x^{2} + 2x + 1 - 1 = x^{2} + 2x \]Beide Ausdrücke sind für alle reellen \( x \) gleich. Daher erfüllt jede Menge von drei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen die Bedingung.
Sei \( x \) die kleinere Zahl. Dann ist die größere Zahl \( x + \frac{7}{2} \).
Das Produkt ist:
\[ x \left( x + \frac{7}{2} \right) = 2 \]Als quadratische Gleichung umschreiben:
\[ x^{2} + \frac{7}{2} x - 2 = 0 \]Lösen Sie die quadratische Gleichung:
\[ x = \frac{1}{2} \quad \text{oder} \quad x = -4 \]Die positive Lösung ist \( x = \frac{1}{2} \), also sind die Zahlen
\[ \frac{1}{2} \quad \text{und} \quad \frac{1}{2} + \frac{7}{2} = 4 \]Die Zahlen seien \( x \), \( x + 1 \) und \( x + 2 \).
Die Summe ihrer Quadrate ist
\[ x^{2} + (x + 1)^{2} + (x + 2)^{2} = 77 \]Erweitern und vereinfachen:
\[ 3x^{2} + 6x - 72 = 0 \]Lösen Sie die quadratische Gleichung:
\[ x = 4 \quad \text{oder} \quad x = -6 \]Für \( x = 4 \) sind die ganzen Zahlen
\( 4, 5, 6 \)
Für \( x = -6 \) sind die ganzen Zahlen
\( -6, -5, -4 \)