1 - Zahlen
π ist KEINE rationale Zahl.
Der Wert der Ziffer 5 in der Zahl 34.6597 ist \[ 0.05 \quad \text{oder} \quad \dfrac{5}{100} \] \( \require{cancel} \) \( \require{bbox} \)
2 - Folgen
Wir stellen fest, dass wir beim Übergang von einem Glied zum nächsten \( 3 \) addieren; daher ist das nächste Glied gleich: \( 12 + 3 = 15 \)
Wir stellen fest, dass wir beim Übergang von einem Glied zum nächsten mit \( 3 \) multiplizieren; daher ist das nächste Glied gegeben durch: \( 27 \times 3 = 81 \)
a) Die ersten fünf Glieder der Folge, beginnend mit \( n = 1 \), erhält man durch Einsetzen von \( n \) durch \( 1, 2, 3, 4, 5 \) in den Ausdruck \( 2 n + 1 \) :
Für \( n = \color{red}1 \) , \( 2 n + 1 = 2( \color{red}1) + 1 = 3 \)
Für \( n = \color{red}2 \) , \( 2 n + 1 = 2(\color{red}2) + 1 = 5 \)
Für \( n = \color{red}3 \) , \( 2 n + 1 = 2(\color{red}3) + 1 = 7 \)
Für \( n = \color{red}4 \) , \( 2 n + 1 = 2(\color{red}4) + 1 = 9 \)
Für \( n = \color{red}5 \) , \( 2 n + 1 = 2(\color{red}5) + 1 = 11 \)
b) Beim Übergang von einem Glied zum nächsten addieren wir \( 2 \) und daher ist es eine arithmetische Folge mit einer gemeinsamen Differenz von \( 2 \).
a) Die ersten fünf Glieder der Folge, beginnend mit \( n = 1 \), erhält man durch Einsetzen von \( n \) durch \( 1, 2, 3, 4, 5 \) in den Ausdruck \( 3 \times 2^{n-1} \) :
Für \( n = \color{red}1 \) , \( 3 \times 2^{n-1} = 3 \times 2^{\color{red}1-1} = 3 \times 2^{0} = 3 \)
Für \( n = \color{red}2 \) , \( 3 \times 2^{n-1} = 3 \times 2^{\color{red}2-1} = 3 \times 2^{1} = 6 \)
Für \( n = \color{red}3 \) , \( 3 \times 2^{n-1} = 3 \times 2^{\color{red}3-1} = 3 \times 2^{2} = 12 \)
Für \( n = \color{red}4 \) , \( 3 \times 2^{n-1} = 3 \times 2^{\color{red}4-1} = 3 \times 2^{3} = 24 \)
Für \( n = \color{red}5 \) , \( 3 \times 2^{n-1} = 3 \times 2^{\color{red}5-1} = 3 \times 2^{4} = 48 \)
b) Beim Übergang von einem Glied zum nächsten multiplizieren wir mit \( 2 \) und daher ist es eine geometrische Folge mit einem gemeinsamen Verhältnis von \( 2 \).
3 - Mengen
a) Die Schnittmenge zweier Mengen ist die Menge aller Elemente, die in beiden Mengen vorkommen. Daher
\( S_1 \cap S_2 = \{ 2, 9, 12 \} \)
b) Die Vereinigungsmenge zweier Mengen ist die Menge aller Elemente in den beiden Mengen (ohne Wiederholung). Daher
\( S_1 \cup S_2 = \{ 0, 2, 9, 10, 11, 12 \}\)
Jede reelle Zahl ist entweder rational oder irrational, aber nicht beides, daher
\( Q \cap P = \text{Leere Menge} \)
Die Menge aller reellen Zahlen ist die Vereinigung der rationalen und irrationalen Zahlen, daher
\( Q \cup P = R \)
b) und d) sind wahr.
4 - Faktoren, Vielfache und Teilbarkeit von Zahlen
a) \( 345 = 3 \times 5 \times 23 \)
b) \( 150 = 2 \times 3 \times 5 \times 5 \)
c) \( 210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \)
Eine Zahl ist durch \( 3 \) teilbar, wenn die Summe ihrer Ziffern durch \( 3 \) teilbar ist.
a)
Addiere alle Ziffern der gegebenen Zahl \( 101899 \): \[ 1+0+1+8+9+9 = 28 \].
Das Ergebnis \( 28 \) ist nicht durch \( 3 \) teilbar und daher ist die gegebene Zahl \( 101899 \) nicht durch \( 3 \) teilbar.
b)
Addiere alle Ziffern der gegebenen Zahl \( 900234 \): \[ 9+0+0+2+3+4 = 18 \]
Das Ergebnis \( 18 \) ist durch \( 3 \) teilbar und daher ist die gegebene Zahl \( 900234 \) durch \( 3 \) teilbar.
c)
Addiere alle Ziffern der gegebenen Zahl \( 134567280 \): \[ 1+3+4+5+6+7+2+8+0 = 36 \]
\( 36 \) ist durch \( 3 \) teilbar und daher ist die gegebene Zahl \( 134567280 \) durch \( 3 \) teilbar.
Eine Zahl ist durch \( 4 \) teilbar, wenn ihre letzten beiden Ziffern eine Zahl bilden, die durch \( 4 \) teilbar ist.
a)
Die letzten beiden Ziffern der gegebenen Zahl \( 1890\color{red}{01} \) sind \( 01 \), was eine Zahl bildet, die nicht durch \( 4 \) teilbar ist, und daher ist \( 189001 \) nicht durch \( 4 \) teilbar.
b)
Die letzten beiden Ziffern der gegebenen Zahl \( 10056\color{red}{12} \) sind \( 12 \), was eine Zahl bildet, die durch \( 4 \) teilbar ist, und daher ist \( 1005612 \) durch \( 4 \) teilbar.
c)
Die letzten beiden Ziffern der gegebenen Zahl \( 10034560\color{red}{24} \) sind \( 24 \), was eine Zahl bildet, die durch \( 4 \) teilbar ist, und daher ist \( 1003456024 \) durch \( 4 \) teilbar.
Damit eine Zahl durch \( 6 \) teilbar ist, muss sie durch \( 2 \) und durch \( 3 \) teilbar sein.
a)
\( 234 \) ist durch \( 2 \) teilbar, da ihre letzte Ziffer rechts \( 4 \) ist. Sie ist auch durch \( 3 \) teilbar, da die Summe ihrer Ziffern \( 2+3+4 = 9 \) durch \( 3 \) teilbar ist. Daher ist \( 234 \) durch \( 6 \) teilbar.
b)
\( 12345 \) ist nicht durch \( 6 \) teilbar, weil sie nicht durch \( 2 \) teilbar ist.
c)
\( 12114290910 \) ist durch \( 2 \) teilbar, da ihre letzte Ziffer rechts \( 0 \) ist. Die Summe ihrer Ziffern \( 1+2+1+1+4+2+9+0+9+1+0 = 30 \) ist durch \( 3 \) teilbar, und daher ist die gegebene Zahl \( 12114290910 \) auch durch \( 3 \) teilbar. Da die gegebene Zahl durch \( 2 \) und durch \( 3 \) teilbar ist, ist sie durch \( 6 \) teilbar.
5 - Brüche und gemischte Zahlen
Beginne mit dem Bruch in gekürzter Form und multipliziere mit einem Faktor, um den zweiten Bruch zu erhalten, falls möglich.
a) Multipliziere Zähler und Nenner des Bruchs \( \displaystyle \frac{7}{3} \) mit \( 5 \) und vereinfache
\( \displaystyle \frac{7 \times 5 }{3 \times 5 } = \frac{35}{15} \)
Wir erhalten einen Bruch mit demselben Nenner, aber nicht demselben Zähler wie der gegebene Bruch \( \displaystyle \frac{10}{15} \), daher sind die beiden Brüche NICHT äquivalent.
b) Multipliziere Zähler und Nenner des Bruchs \( \displaystyle \frac{2}{3} \) mit \( 4 \) und vereinfache
\( \displaystyle \frac{2 \times 4}{3 \times 4 } = \frac {8}{12}\)
Wir erhalten einen Bruch mit demselben Nenner und demselben Zähler wie der gegebene Bruch \( \displaystyle \frac{8}{12} \), daher sind die beiden Brüche äquivalent.
c) Multipliziere Zähler und Nenner des Bruchs \( \displaystyle \frac{7}{12} \) mit \( 3 \) und vereinfache
\( \displaystyle \frac{7 \times 3 }{12 \times 3} = \frac{21}{36} \)
Wir erhalten einen Bruch mit demselben Nenner und demselben Zähler wie der gegebene Bruch \( \displaystyle \frac{21}{36} \), daher sind die beiden Brüche äquivalent.
a) Schreibe die drei Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner um, der das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner \( 5, 10 \) und \( 15 \) ist. kgV von \( 5, 10 , 15 \) = \( 30 \)
Daher
\( \displaystyle \frac{2}{5} + \frac{3}{10} - \frac{1}{15} \\~\\ \quad \quad = \frac{2 \times 6 }{5 \times 6} + \frac{3 \times 3}{10 \times 3} - \frac{1 \times 2}{15 \times 2} \\~\\ \quad \quad = \frac{12 }{30} + \frac{9}{30} - \frac{2}{30} \\~\\ \quad \quad = \frac{19}{30} \)
b) Multipliziere Nenner miteinander und Zähler miteinander
\( \displaystyle \frac{7}{16} \times \frac{4}{14} = \frac{7 \times 4}{16 \times 14} \)
Faktorisiere die Terme \( 16 = 4 \times 4 \) und \( 14 = 2 \times 7 \) im Nenner
\( \displaystyle = \frac{7 \times 4}{(4 \times 4) \times (2 \times 7)} \)
Kürze gemeinsame Faktoren und vereinfache
\( \quad \quad \displaystyle = \frac{\cancel{\color{blue}{7}} \times \cancel{\color{red}{4}}}{(\cancel{\color{red}{4}}\times 4) \times (2 \times \cancel{\color{blue}{7}})} = \frac{1}{8} \)
c) Schreibe die Division der Brüche als Multiplikation mit dem Kehrwert um; daher
\( \displaystyle \frac{11}{2} \div 4 = \frac{11}{2} \times \frac{1}{4} \)
Vereinfache
\( \quad \quad = \frac{11}{8} \)
d) Fasse die ganzen Teile und die Brüche zusammen
\( \displaystyle 4 \frac{3}{4} - 1 \frac{1}{2} + 1 \frac{1}{8} = (4-1+1) + (\frac{3}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{8} ) \)
Vereinfache
\( \quad \quad = 4 \frac{3}{8} \)
e) Wandle die Ausdrücke \( \displaystyle 1 \frac{3}{4} \) und \( 3 + \frac{1}{3} \) in Brüche um.
\( \displaystyle 1 \frac{3}{4} = \frac{7}{4} \) und \( 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3} \)
Schreibe den gegebenen Ausdruck nur mit Brüchen um
\( \displaystyle 1 \frac{3}{4} \div \left(3 + \frac{1}{3} \right) = \frac{7}{4} \div \frac{10}{3} \)
Schreibe die Division als Multiplikation mit dem Kehrwert um
\( \quad \quad = \frac{7}{4} \times \frac{3}{10} \)
Vereinfache
\( \quad \quad = \frac{21}{40} \)
a) \( 0.2 \div 0.6 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
b) \( 1 \div 0.4 = \frac{10}{4} \)
Es ist ein unechter Bruch und kann daher als gemischte Zahl geschrieben werden
\( \quad \quad = \frac{8+2}{4} = \frac{8}{4} + \frac{2}{4} = 2 \frac{1}{2} \)
Dalia gibt "\( \frac{1}{4} \) ihres Gehalts" für Essen und Getränke aus
\( \frac{1}{5} \) von "\( \frac{1}{4} \) ihres Gehalts" wird für Erfrischungsgetränke ausgegeben
\( \frac{1}{6} \) von "\( \frac{1}{4} \) ihres Gehalts" wird für Kekse ausgegeben
Gesamtausgaben für Erfrischungsgetränke und Kekse: \( \frac{1}{5} \) von "\( \frac{1}{4} \) ihres Gehalts" plus \( \frac{1}{6} \) von "\( \frac{1}{4} \) ihres Gehalts"
was geschrieben werden kann als
\( \frac{1}{5} \times \frac{1}{4} + \frac{1}{6} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{4} ( \frac{1}{5} + \frac{1}{6}) = \frac{11}{120} \)
Dalia gibt \( \frac{11}{120} \) ihres Gehalts für Erfrischungsgetränke und Kekse aus.
Ben verbringt: \( \frac{3}{4} \times 10 = 7.5 \) Stunden mit Hausaufgaben an Wochentagen
Linda verbringt: \( \frac{5}{4} \times 10 = 12.5 \) Stunden mit Hausaufgaben an Wochentagen
Mit gemischten Zahlen wird eineinhalb Liter Saft geschrieben als: \( 1\frac{1}{2} \)
Mit Brüchen wird ein Sechstel Liter geschrieben als: \( \frac{1}{6} \)
Anzahl der Gläser, die gefüllt werden können = \( 1\frac{1}{2} \div \frac{1}{6} = 9 \)
6 - Exponenten und wissenschaftliche Schreibweise
a) \( (-2)^3 - 5^3 + (-3)^4 \\~\\ \quad \quad = - 8 - 125 + 81 \\~\\ \quad \quad = - 52\)
b) \( \quad (-1)^{-3} - 5^0 + \frac{4^2}{(-2)^4} \\~\\ \quad \quad = \frac{1}{(-1)^3} - 1 + \frac{16}{16} \\~\\ \quad \quad = \frac{1}{-1} -1 +1 = -1 \)
c) \( \quad \left( \frac{3}{4} \right)^2 + \left( \frac{4}{3} \right)^{-2} \\~\\ \quad \quad = \frac{3^2}{4^2} + \frac{4^{-2}}{3^{-2}} \\~\\ \quad \quad = \frac{9}{16} + \frac{3^2}{4^2} \\~\\ \quad \quad = \frac{9}{8}\)
a) \( 10000 = 10^4\)
b) \( 0.0000001 = 10^{-7}\)
c) \( \frac{1}{100000} = \frac{1}{10^5} = 10^{-5}\)
a) \( 12.4 \times 10^3 = 1.24 \times 10^4\)
b) \( 0.0023 \times 10^{-2} = 2.3 \times 10^{-5} \)
c) \( \frac{12}{100000} = \frac{12}{10^5} = 12 \times 10^{-5} = 1.2 \times 10^{-4}\)
7 - Wurzeln
a) \( \sqrt{16} = 4 \) weil \( 4^2 = 16 \)
b) \( \quad \sqrt{9} = 3 \) weil \( 3^2 = 9 \)
c) \( \quad \sqrt[3]{8} = 2 \) weil \( 2^3 = 8 \)
a) \( \sqrt{3 \times 25} = \sqrt{3 } \times \sqrt{ 25} = 5 \sqrt{3 } \)
b) \( \quad \sqrt{36 \times 5} = \sqrt{36} \times \sqrt{ 5} = 6 \sqrt{ 5} \)
c) \( \quad \sqrt[3]{8 \times 7} = \sqrt[3]{8 } \times \sqrt[3]{7} = 2 \sqrt[3]{7} \)
8 - Proportionalität und verwandte Probleme
a) Verwende einen Punkt im Diagramm. Zum Beispiel, wenn \( t = 1 \), \( d = 4 \)
Ersetze \( t \) durch \( 1 \) und \( d \) durch \( 4 \) in der Gleichung \( d = k \times t \), um zu erhalten
\( 4 = k \times 1 \)
Vereinfache, um zu erhalten
\( k = 4 \)
Daher ist die Beziehung zwischen der Entfernung \( d \) und der \( Zeit \) gegeben durch
\[ d = 4 \times t\] , mit \( d \) in km und \( t \) in Stunden.
b) Finde die Zeit, die Leila braucht, um d = 10 km zu gehen, indem du die Gleichung löst
\( 10 = 4 t \)
Löse nach \( t \) auf
\( t = 10 \div 4 = 2.5 \) Stunden
\( 2.5 \) Stunden können auch als \( 2:30 \) geschrieben werden
Sie ist 10 km von ihrem Ausgangspunkt entfernt um: \( 8 + 2:30 = 10:30 \)
Eine Spalte, die das Verhältnis \( y / x \) enthält, wurde hinzugefügt und zeigt, dass \( y / x \) konstant und gleich \( 3 \) ist. Daher
\( y \) ist proportional zu \( x \).
a)
Da \( y / x = 3 \), können wir \( y = 3 x \) schreiben
Daher
\( k = 3 \)
b)
\( y = 3 \times 10.2 = 30.6 \)
a) Aus den gegebenen Informationen können wir drei Punkte der Form \( (V , t) \) schreiben: \( (2,10) \), \( (4,20) \) und \( (6,30) \), die unten dargestellt sind.
b) Die drei Punkte liegen auf derselben Linie, und daher besteht eine proportionale Beziehung zwischen \( V \) und \( t \).
c) Die Proportionalitätskonstante \( k \) ist in der Gleichung \( V = k \; t \) definiert. Daher
\[ k = V \div t \]
Verwende einen der drei Punkte oben, \( k \) wird wie folgt gefunden
\( k = V \ div t = 10 \div 2 = 5 \)
oder \( k = V \div t = 20 \div 4 = 5 \)
oder \( k = V \div t = 30 \div 6 = 5 \)
Daher
\( V = 5 t \)
d) Da wir die Beziehung \( V = k \; t \) haben und \( V = 100 \), setzen wir \( V \) durch \( 100 \) in der Gleichung \( V = 5 t \) ein.
\( 100 = 5 t \)
Löse die obige Gleichung nach \( t \) auf
\( t = 100 \div 5 = 20 \) Minuten werden benötigt, um einen Tank mit 100 Litern zu füllen.
9 - Prozent und verwandte Probleme
Preis nach Erhöhung = \( 120 \) + Erhöhung = \( 120 \) + \( 12\% \) von \( 120 \)
was mathematisch geschrieben wird als
Preis nach Erhöhung = \( 120 + 12\% \times 120 = 120 + \frac{12}{100} \times 120 \\~\\ = 120 + 14.4 \\~\\ = \$134.40 \)
Der Prozentsatz von Jimmys Gehalt, der für Rechnungen ausgegeben wird = \( 15\% \) von \( 50\% \) seines Gehalts
was mathematisch geschrieben wird als
\( \frac{15}{100} \times \frac{50}{100} \\~\\ = \frac{15 \times 50}{100 \times 100} \\~\\ = \frac{750}{10000} \\~\\ = \frac{7.5}{100} \\~\\ = 7.5\% \)
Kosten nach Steuer = \( 40 + 15\% \text{ von } 40 = 40 + \frac{15}{100} \times 40 = \$46\)
Kosten nach Trinkgeld = \( 46 + \frac{5}{100} \times 46 = \$48.30 \)
Kameleas Ausgaben \( = \$400 + \$1200 + \$200 + \$1200 + \$600 = \$3600 \)
Ersparnis = Gehalt - Ausgaben \( = \$5000 - \$3600 = \$1400 \)
Kameleas Ersparnis in Prozent des Gehalts = \( \frac{1400}{5000} = 0.28 = 28 \% \)
Sei \( x \) die unbekannte Zahl. Wir wissen, dass
\( 10\% \) von \( \frac{1}{3} \) von \( x \) = 3
was mathematisch geschrieben wird als
\( \frac{10}{100} \times \frac{1}{3} \times x = 3 \)
Die obige Gleichung kann geschrieben werden als
\( \frac{10 x}{300} = 3 \)
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \( 300 \)
\( \frac{10 x}{300} \times 300 = 3 \times 300 \)
Vereinfache
\( 10 x = 900 \)
Löse nach \( x \) auf
\( x = 900 \div 10 = 90 \)
Prozentuale Erhöhung des Benzins in den USA = \( \frac{4 - 3}{3} = 0.33333 = 33.33\% \)
Prozentuale Erhöhung des Benzins in Frankreich = \( \frac{2 - 1.5}{1.5} = 0.33333 = 33.33\% \)
Die USA und Frankreich verzeichneten in diesem Jahr den gleichen prozentualen Anstieg des Benzins.
10 - Maßeinheiten umrechnen
Teile beide Seiten der Gleichheit \( \quad 1 \text{ m} = 3.28084 \text{ ft} \quad \) durch \( \quad 3.28084 \text{ ft} \quad \)
\( \frac{1 \text{ m}}{3.28084 \text{ ft}} = \frac{3.28084 \text{ ft}}{3.28084 \text{ ft}} \)
Vereinfache, um zu erhalten
\( \frac{1 \text{ m}}{3.28084 \text{ ft}} = 1 \)
Wir schreiben nun die gegebene Länge \( 10.5 \text{ ft} \) als
\( 10.5 \text{ ft} = 10.5 \text{ ft} \times 1 \)
Ersetze \( 1 \) durch \( \frac{1 \text{ m}}{3.28084 \text{ ft}} \). Daher
\( 10.5 \text{ ft} = 10.5 \text{ ft} \times \frac{1 \text{ m}}{3.28084 \text{ ft}} \)
Kürze \( \text{ ft} \)
\( 10.5 \text{ ft} = 10.5 \cancel{\text{ ft}} \times \frac{1 \text{ m}}{3.28084 \cancel{\text{ ft}}} \)
Berechne, um zu erhalten
\( 10.5 \text{ ft} = 10.5 \times \frac{1 \text{ m}}{3.28084} = 3.20039 \text{ m} \)
\( 1.3 \text{ km} = 1.3 \times 1093.61 \text{ yd} = 1421.69 \text{ yd} \)
Quadriere beide Seiten der gegebenen Gleichheit \( 1 \; m = 1.09361 \; yd \), um zu erhalten
\( (1 \; m) \times (1 \; m) = (1.09361 \; yd) \times (1.09361 \; yd) \)
Vereinfache
\( 1 \; m^2 = 1.19598 \; yd^2 \)
\( 1.2 \; m^2 = 1.2 \times 1.19598 \; yd^2 = 1.435176 \; yd^2 \)
\( 1 \; km = 1000 \; m \) und \( 1 \; hr = 3600 \; sec \)
Daher
\( 100 \; km / h = \frac{100 \; km}{1 h} = \frac{100 \times 1000 \; m }{1 \times 3600 \; s}\)
Vereinfache
\( 100 \; km/h = 27.77777 \; m/s \)
11 - Ausdrücke auswerten
Setze \( x \) durch \( 1 \) in den gegebenen Ausdruck ein
\( \; \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x-2} = \frac{1}{(1)+2} - \frac{1}{(1)-2}\; \)
Berechne
\( = \frac{1}{3} - \frac{1}{-1} = \frac{1}{3} + 1 = 1 \frac{1}{3} \; \)
Setze \( x \) durch \( -5 \) in den gegebenen Ausdruck ein
\( \; | \frac{-x+1}{-6} | + x^2 - 1 = | \frac{-(-5)+1}{-6} | + (-5)^2 - 1 \; \)
Berechne
\( = | \frac{5+1}{-6} | + 25 - 1 = | -1 | + 25 - 1 \\~\\ = 1 + 25 - 1 = 25 \)
Setze \( a\) und \( b \) durch \( 2 \) bzw. \( -2 \) in den gegebenen Ausdruck ein
\( \; 2^a - \sqrt{b^2} = 2^{(2)} - \sqrt{(-2)^2}\; \)
Berechne
\( = 4 - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2 \)
12 - Algebra
Wiederholung
Das Distributivgesetz in der Algebra kann wie folgt zum Ausmultiplizieren verwendet werden
\[ a (x + y ) = \color{red}a \times x + \color{red}a \times y \]
Das Distributivgesetz kann auch umgekehrt zum Faktorisieren wie folgt verwendet werden
\[ \color{red}a \times x + \color{red}a \times y = \color{red}a (x + y ) \]
a)
Verwende das Distributivgesetz für den Ausdruck \( 3 (x + 2) \)
\( 3 (x + 2) + x - 12 = 3 x + 3\times 2 + x - 12 \\~\\ \qquad = 3 x + 6 + x - 12 \)
Fasse gleichartige Terme zusammen
\( = (3 x + x) + (6 -12) \)
Vereinfache
\( = 4 x - 6 \)
b)
Verwende das Distributivgesetz für den Ausdruck \( \displaystyle \frac{1}{5}( 15 x + 20) \)
\( \displaystyle \frac{1}{5}( 15 x + 20) + 2x + 4 = \frac{1}{5} \times 15 x + \frac{1}{5} \times 20 + 2x + 4 \)
Vereinfache mit \( \frac{1}{5} \times 15 x = \frac{15}{5} x = 3 x \) und \( \frac{1}{5} \times 20 = \frac{20}{5} = 4 \)
\( = 3 x + 4 + 2x + 4 \)
Fasse gleichartige Terme zusammen
\( = (3x + 2x) + ( 4 + 4 ) \)
Vereinfache
\( = 5x + 8 \)
c)
Verwende das Distributivgesetz für den Ausdruck \( 0.2 ( 5 x + 10) \)
\( 0.2 ( 5 x + 10) + 3x - 4 = 0.2 \times 5 x + 0.2 \times 10 + 3x - 4 \)
Vereinfache
\( = x + 2 + 3x - 4 \\~\\ \qquad = (x+3x) + (2-4) \\~\\ \qquad = 4x - 2 \)
Vereinfache die Ausdrücke
a)
\( 2x \times 3 x = (2 \times 3) \times ( x \times x ) = 6 x^2\)
b)
\( \displaystyle \frac{1}{2}x \times \frac{4}{5} x = (\frac{1}{2} \times \frac{4}{5} ) \times (x \times x) = \frac{2}{5} x^2 \)
c)
\( 3x^2 \times 5 x^3 = (3 \times 5) \times (x^2 \times x^3) = 15 x^{2+3} = 15 x^5 \)
a)
Der größte gemeinsame Teiler der Koeffizienten \( 21 \) und \( 7 \) ist gleich \( 7 \), daher
\( 21 x + 7 = \color{red}7 \times 3 x + \color{red}7 \times 1\)
Verwende das Distributivgesetz umgekehrt, um \( 7 \) auszuklammern.
\( = 7 ( 3x + 1 ) \)
b)
Der größte gemeinsame Teiler der Koeffizienten \( 24 \) und \( 20 \) ist gleich \( 4 \), daher
\( 24 - 20 x = \color{red}4 \times 6 - \color{red}4 \times 5x \)
Verwende das Distributivgesetz umgekehrt, um \( 4 \) auszuklammern.
\( = 4 (6 - 5x) \)
c)
Der größte gemeinsame Teiler der Koeffizienten \( 8 \), \( 4 \) und \( 32 \) ist gleich \( 4 \), daher.
\( 8 b - 4 a + 32 = \color{red}4 \times 2 b - \color{red}4 \times a + \color{red}4 \times 8\)
Verwende das Distributivgesetz umgekehrt, um die \( 4 \) auszuklammern
\( = 4 (2b - a + 8) \)
13 - Gleichung mit einer Variablen und verwandte Probleme
a)
Gegeben die Gleichung \( 3(x - 2 ) = 3 \)
Multipliziere den Ausdruck \( 3(x - 2 ) \) mit dem Distributivgesetz aus
\( 3 x - 6 = 3 \)
Addiere \( 6 \) zu beiden Seiten
\( 3 x - 6 + 6 = 3 + 6 \)
Vereinfache
\( 3 x = 9 \)
Teile beide Seiten durch \( 3 \)
\( 3 x \div 3 = 9 \div 3\)
Vereinfache und löse nach \( x \) auf.
\( x = 3 \)
b)
Gegeben die Gleichung \( 2(9 - x) = - (x + 5) \)
Multipliziere die Klammern auf beiden Seiten der Gleichung mit dem Distributivgesetz aus
\( 18 - 2 x = - x - 5 \)
Addiere \( 2x \) zu beiden Seiten der Gleichung und vereinfache
\( 18 - 2 x + 2x = - x - 5 + 2x \)
\( 18 = x - 5 \)
Addiere \( 5 \) zu beiden Seiten und vereinfache
\( x = 23 \)
c)
Gegeben die Gleichung \( \displaystyle \frac{x+1}{3} = 6 \)
Multipliziere beide Seiten mit dem Nenner \( 3 \)
\( \displaystyle \frac{x+1}{3} \times 3 = 6 \times 3\)
Vereinfache
\( x+1 = 18 \)
Löse nach \( x \) auf
\(x = 17 \)
d)
Gegeben die Gleichung \( 4 \left(x + \displaystyle \frac{1}{4} \right) = -15\)
Multipliziere die Klammer auf der linken Seite der Gleichung mit dem Distributivgesetz aus
\( 4 x + 4 \times \frac{1}{4} = -15\)
Vereinfache
\( 4 x + 1 = -15\)
Löse nach \( x \) auf
\( 4 x + 1 - 1 = -15 - 1\)
\( 4 x = -16\)
\( x = - 4 \)
e)
Gegeben die Gleichung \( x - \displaystyle \frac{x}{2} = 3 \)
Multipliziere alle Terme mit dem Nenner \( 2 \).
\( x \times 2 - \displaystyle \frac{x}{2} \times 2 = 3 \times 2 \)
Vereinfache und löse nach \( x \) auf.
\( 2 x - x = 6 \)
\( x = 6 \)
Gegeben
a)
Länge des äußeren Umfangs: \( L = 12 + x + x = 12 + 2x\)
Breite des äußeren Umfangs: \( W = 8 + x + x = 8 + 2x \)
Äußerer Umfang \( = 2 \times L + 2 \times W = 2 (12 + 2x) + 2(8 + 2x) \)
Multipliziere aus und fasse gleichartige Terme zusammen
Äußerer Umfang \( = 24 + 4x + 16 + 4x = 40 + 8x \)
Umfang des Gartens (in weiß) \( = 2 \times 12 + 2 \times 8 = 40 \)
Gegeben, dass "der äußere Umfang gleich dem doppelten Umfang des Gartens ist", können wir die Gleichung aufstellen
\( 40 + 8x = 2 \times 40 \)
b)
Vereinfache die rechte Seite der in a) erhaltenen Gleichung
\( 40 + 8x = 80 \)
Löse nach \( x \) auf
\( 8x = 40 \)
\( x = 5 \; \text{ m} \)
c) \( L = 12 + 2x = 12 + 2 \times 5 = 22 \; \text{ m} \)
\( W = 8 + 2x = 8 + 2 \times 5 = 18 \; \text{ m} \)
d)
Fläche von Garten und Weg \( = L \times W = 22 \times 18 = 396 \; m^2\)
e) Fläche des Gartens = \( 12 \times 8 = 96 \; m^2\)
f) Die Fläche des Weges = Fläche von Garten und Weg - Fläche des Gartens \( = 396 - 96 = 300 \; m^2\).
"10 wird von der doppelten einer Zahl subtrahiert" wird geschrieben als: \( 2x - 10 \)
"das Ergebnis wird mit der Hälfte multipliziert" wird geschrieben als: \( \frac{1}{2} (2x - 10) \)
"die Antwort ist 5" wird geschrieben als: \( \frac{1}{2} (2x - 10) = 5\)
Multipliziere beide Seiten der Gleichung und vereinfache
\( \frac{1}{2} (2x - 10) \times 2 = 5 \times 2\)
\( 2x - 10 = 10 \)
Die ursprüngliche Zahl ist gleich \( 10 \)
14 - Ungleichung mit einer Variablen
a)
Gegeben die Ungleichung \( x+2 \lt 4 \)
Subtrahiere \( 2 \) von beiden Seiten der Ungleichung und vereinfache
\( x+2 -2 \lt 4 -2 \)
\( x \lt 2 \)
b)
Gegeben die Ungleichung \( 2(x + 3)\ge 2 \)
Multipliziere die Klammer auf der linken Seite der Ungleichung mit dem Distributivgesetz aus und vereinfache
\( 2 \times x + 2 \times 3 \ge 2 \)
\( 2 x + 6 \ge 2 \)
Subtrahiere \( 6 \) von beiden Seiten der Ungleichung und vereinfache
\( 2 x + 6 - 6 \ge 2 - 6 \)
\( 2 x \ge - 4 \)
Teile beide Seiten der Ungleichung durch \( 2 \) und vereinfache
\( \frac{2 x}{2} \ge \frac{ - 4}{2} \)
\( x \ge -2 \)
c) Gegeben die Ungleichung \( -3x+2 \le 11 \)
Subtrahiere \( 2 \) von beiden Seiten der Ungleichung und vereinfache
\( -3x+2 -2 \le 11 - 2 \)
\( -3x \le 9 \)
Teile beide Seiten der Ungleichung durch \( -3 \) und ändere das Symbol der Ungleichung, weil \(-3 \) negativ ist.
\( \frac{-3x}{-3} \color{red}{ \ge } \frac{9}{-3} \)
Vereinfache
\( x \ge - 3 \)
d) Gegeben die Ungleichung \( \frac{4x+1}{2} \ge x+3 \)
Multipliziere beide Seiten der Ungleichung mit dem Nenner \( 2 \)
\( \frac{4x+1}{2} \times 2 \ge (x+3) \times 2 \)
Vereinfache
\( 4x+1 \ge 2x + 6 \)
Subtrahiere \( 1 \) von beiden Seiten der Ungleichung und vereinfache
\( 4x+1 - 1\ge 2x + 6 - 1 \)
\( 4x \ge 2x + 5 \)
Subtrahiere \( 2x \) von beiden Seiten der Ungleichung und vereinfache
\( 4x - 2x \ge 2x + 5 - 2x \)
\( 2x \ge 5 \)
Teile beide Seiten der Ungleichung durch \( 2 \) und vereinfache
\( x \ge 5/2 \)
15 - Funktionen
Eine Funktion ist eine Beziehung zwischen zwei Mengen, bei der jeder Eingabe genau eine Ausgabe entspricht.
a)
Die Relation \( \{ (1,2) , (3,4) , (5,7) , (5,9) \} \) ist KEINE Funktion, weil der Eingabe \( 5 \) zwei Ausgaben entsprechen: \(7 \) und \( 9 \).
b)
Die Relation \( \{ (-1,-2) , (3,4) , (5,7) , (7,9) \} \) ist eine Funktion, weil jeder Eingabe genau eine Ausgabe entspricht
c)
Die Relation \( \{ (3,3) , (9,4) , (5,7) , (9,0) \} \) ist KEINE Funktion, weil der Eingabe \( 9 \) zwei Ausgaben entsprechen: \( 4 \) und \( 0 \).
Graph (3) ist eine Linie und ist daher der Graph einer linearen Funktion.
a)
für \( x = 0 \), \( y = 2 x + 1 = 2(0) + 1 = 1\)
für \( x = 1 \), \( y = 2 x + 1 = 2(1) + 1 = 3\)
b) Die Ergebnisse in Teil a) können als geordnete Paare \( (x , y) \) dargestellt werden als \( (0 , 1) \) und \( (1 , 3) \)
Die gegebene Funktion \( y = 2 x + 1 \) ist eine lineare Funktion und ihr Graph ist eine Linie, und daher können die beiden oben erhaltenen geordneten Paare verwendet werden, um die Funktion wie unten gezeigt zu graphisch darzustellen.
a) Die Funktion, die zu Graph (1) gehört, hat eine höhere Änderungsrate, weil sie mit zunehmendem \( x \) schneller ansteigt.
b)
Punkte auf Graph (1): \( (0,1) \), \( (3,7) \); es gibt viele andere Punkte
Punkte auf Graph (2): \( (0,3) \), \( (8,8) \); es gibt viele andere Punkte
c)
Änderungsrate von Graph (1): \( r_1 = \frac{\text{Änderung in y} }{\text{Änderung in x}} = \frac{7-1}{3 - 0} = 2 \)
Änderungsrate von Graph (2): \( r_2 = \frac{\text{Änderung in y} }{\text{Änderung in x}} = \frac{8-3}{8 - 0} = 5/8 \)
d)
Berechnungen zeigen, dass die Änderungsrate von (1) höher ist als die Änderungsrate von Graph (2), was die Antwort zu Teil a) oben bestätigt.
16 - Zweidimensionale Figuren
Sei \( h \) die Hypotenuse des Dreiecks und wende den Satz des Pythagoras an, um zu schreiben
\( h^2 = 6^2 + 8^2 \)
Löse nach \( h \) auf, indem du die Quadratwurzel aus beiden Seiten der obigen Gleichung ziehst.
\( h = \sqrt {6^2 + 8^2} \\~\\ \qquad = \sqrt {36 + 64} \\~\\ \qquad = \sqrt{100} \\~\\ \qquad = 10 \text{ cm} \)
Beachte, dass \( \angle AOC = \angle AOB + \angle BOC \)
Setze die bekannten Winkel mit ihren Größen ein.
\( 79^{\circ} = 31^{\circ} + \angle BOC \)
Daher
\( \angle BOC = 79^{\circ} - 31^{\circ} = 48^{\circ} \)
Beachte, dass die Winkel \( \angle BOC \) und \( \angle EOF \) Scheitelwinkel sind und daher gleiche Größe haben. Daher
\( \angle EOF = 48^{\circ} \)
Ein Quadrat hat 4 Symmetrieachsen, wie unten gezeigt.
Die Winkel \( m \angle 1 \) und \( m \angle 2 \) sind supplementär und daher ist ihre Summe gleich \( 180^{\circ} \). Daher
\( 40^{\circ} + m \angle 2 = 180^{\circ} \)
Löse nach \( m \angle 2 \) auf
\( m \angle 2 = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ}\)
\( m \angle 1 \) und \( m \angle 3 \) sind Scheitelwinkel und haben daher das gleiche Maß, daher
\( m \angle 3 = m \angle 1 = 40^{\circ} \)
\( m \angle 2 \) und \( m \angle 4 \) sind Scheitelwinkel und haben daher das gleiche Maß, daher
\( m \angle 4 = m \angle 2 = 140^{\circ} \)
\( m \angle 1 \) und \( m \angle 5 \) sind Stufenwinkel und haben daher das gleiche Maß, daher
\( m \angle 5 = m \angle 1 = 40^{\circ}\)
\( m \angle 2 \) und \( m \angle 6 \) sind Stufenwinkel und haben daher das gleiche Maß, daher
\( m \angle 6 = m \angle 2 = 140^{\circ}\)
\( m \angle 4 \) und \( m \angle 8 \) sind Stufenwinkel und haben daher das gleiche Maß, daher
\( m \angle 8 = m \angle 4 = 140^{\circ}\)
\( m \angle 3 \) und \( m \angle 7 \) sind Stufenwinkel und haben daher das gleiche Maß, daher
\( m \angle 7 = m \angle 3 = 40^{\circ}\)
17 - Umfang und Fläche von ebenen Figuren
Radius: \( r = \text{Durchmesser} \div 2 = 20 \div 2 = 10 \text{ cm} \)
\( \text{Fläche} = \pi \times r^2 = 3.14 \times 10^2 = 3.14 \times 100 = 314 \; cm^2 \)
Die Fläche \( A \) eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten \( a \) und \( b \) ist gegeben durch
\( A = \frac{1}{2} \times a \times b \)
Wir kennen die Größe einer Kathete \( a = 16 \) und müssen die Größe der zweiten Kathete \(b\) finden.
Verwende den Satz des Pythagoras, um die zweite Kathete \( b\) des rechtwinkligen Dreiecks zu finden
\( b^2 + 16^2 = 20^2 \)
Daher
\( b^2 = 20^2 - 16^2 = 144\)
\( b = \sqrt {144} = 12 \; cm \)
Die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks ist gleich: \( \frac{1}{2} \times 16 \times 12 = 96 \; cm^2 \)
Aufgrund der Symmetrie berechnen wir die Fläche des unteren Teils des Pfeils, der ein Trapez ist, dessen Fläche \( A \) gegeben ist durch
\( A = \frac{1}{2} (\overline{FG}+ \overline{ED}) \times \overline{HE} \)
\( \overline{FG} = 12 + 16 - 4 = 24 \)
\( \overline{ED} = 16 \)
Da ABDE ein Quadrat ist, gilt \( \quad \overline{AE} = \overline{AB} = 16 \) .
\( \overline{HE} = \frac{1}{2} \overline{AE} = \frac{1}{2} 16 = 8 \)
Daher
\( A = \frac{1}{2} (24 + 16) \times 8 = 160 \)
Die Fläche des Pfeils ist doppelt so groß wie die Fläche des Trapezes. Daher
Die Fläche des Pfeils ist gleich \( 2 \times 160 = 320 \; Einheit^2 \)
Wir zerlegen die gegebene Form in Grundformen, deren Flächen leicht mit Formeln berechnet werden können.
Fläche des gleichschenkligen Dreiecks ABG \( = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8 \)
Fläche des Trapezes BCFG \( = \frac{1}{2} \times 2 \times (4+1) = 5 \)
Fläche des Trapezes CDEF \( = \frac{1}{2} \times 3 \times (1+3) = 6 \)
Fläche des Halbkreises mit Durchmesser DE \( = \frac{1}{2} \times \pi \times 1.5^2 = 3.14 \times 1.5^2 = 3.53 \)
Gesamtfläche der schraffierten Region \( = 8 + 5 + 6 + 3.53 = 22.53 \; mm^2 \), gerundet auf zwei Dezimalstellen.
18 - Volumen und Oberfläche
Das Volumen der Halbkugel \( = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{6} \times 3.14 \times 6^3 = 452.16 \; m^3\)
Das Volumen des Zylinders \( = \pi \times r^2 \times h = 3.14 \times 6^2 \times 10 = 1130.4 \; m^3 \)
Die Oberfläche der Halbkugel \( = \frac{1}{2} \times 4 \times \pi \times r^2 = 2 \times 3.14 \times 6^2 = 226.08 \; m^2\)
Die Oberfläche des Zylinders (ohne Boden) \( = 2 \times \pi \times r \times h = 2 \times 3.14 \times 6 \times 10 = 377.00 \; m^2\)
Gesamtvolumen des Silos \( = 452.16 + 1130.4 = 1582.56 \; m^3 \)
Gesamtoberfläche des Silos \( = 226.08 + 377.00 = 603.08 \; m^2 \)
Aufgrund der Symmetrie des rechteckigen Prismas ist das Volumen des dreieckigen Prismas gleich der Hälfte des Volumens des rechteckigen Prismas
Volumen des gegebenen rechteckigen Prismas \( = 6 \times 3 \times 4 = 72 \; Einheit^3\)
Volumen des dreieckigen Prismas \( \frac{1}{2} \times 72 = 36 \; Einheit^3\)
Die Oberfläche des dreieckigen Prismas ist gleich der Hälfte der Oberfläche des rechteckigen Prismas, zu der wir die Fläche des Rechtecks ABCE addieren, das von den roten Diagonalen und den Kanten AE und BC des rechteckigen Prismas gebildet wird.
Oberfläche des rechteckigen Prismas \( = 2 \times ( 6 \times 3 + 3 \times 4 + 6 \times 4 ) = 108 \; Einheit^2\)
Verwende den Satz des Pythagoras, um die Länge \( d \) der Diagonale zu finden, die die Hypotenuse (rot) des rechtwinkligen Dreiecks CDE ist.
\( d^2 = 3^2+4^2 = 25 \)
Verwende die Quadratwurzel, um zu finden
\( d = 5 \)
Fläche des Rechtecks, das von den Diagonalen und den Kanten gebildet wird \( = 5 \times 6 = 30 \; Einheit^2\)
Oberfläche des dreieckigen Prismas \( = \frac{1}{2} \times 108 + 30 = 84 \; Einheit^2\)
Hinweis Es gibt andere Möglichkeiten, das Volumen und die Oberfläche des rechteckigen Prismas zu finden.
19 - Daten und Diagramme
a)
Der Januar hat mit \( -5^{\circ} \) die niedrigste Durchschnittstemperatur und ist daher der kälteste Monat.
b)
Der Juli hat mit \( 26^{\circ} \) die höchste Durchschnittstemperatur und ist daher der heißeste Monat des Jahres.
c)
Temperaturunterschied zwischen dem kältesten und dem heißesten Monat \( = 26 - (-5) = 31^{\circ} \)
d)
Die geringsten Anstiege sind von Januar bis Februar und von Juni bis Juli
e)
Der geringste Rückgang ist von Juli bis August
a) Die gegebenen Daten in der Reihenfolge vom kleinsten zum größten Wert sind wie folgt
\( 31, 44, 45, 54, 55, 56, 60, 64, 67, 67, 69, 70, 76, 76, 77, 78, 79, 84, 85, 86, 88, 89, 91, 92, 97 \)
b)
Spannweite = Größter Wert - kleinster Wert \( = 97 - 31 = 66 \)
c)
Beginne mit der Klasse \( 30 - 39 \) und addiere die Klassenbreite, um die restlichen Klassen zu erhalten und alle Datenwerte mit einem Maximalwert von \( 97 \) abzudecken.
Um die nächste Klasse zu erhalten, addieren wir \( 10 \) zu den unteren und oberen Grenzen einer gegebenen Klasse.
Daher ist die nächste Klasse nach der Klasse \( 30 - 39 \) gegeben durch
\( (30 + 10) - (39 + 10) \) = \( 40 - 49 \)
und fahre fort, bis alle Datenwerte abgedeckt sind, wie in der Häufigkeitstabelle unten gezeigt
d)
Ein Histogramm wird mit der Anzahl der Schüler auf der vertikalen Achse und den Klassen auf der horizontalen Achse erstellt, wie unten gezeigt.
e)
Die Punktzahlen in den drei Klassen \( 30-39 \), \( 40-49 \) und \( 50-59 \) liegen unter 60, und die Anzahl der Schüler in diesen Klassen kann der Häufigkeitstabelle und dem Histogramm entnommen werden.
1 Schüler in der Klasse \( 30-39 \)
2 Schüler in der Klasse \( 40-49 \)
3 Schüler in der Klasse \( 50-59 \)
Die Gesamtzahl der Schüler, die durchgefallen sind, ist gleich
\( 1 + 2 + 3 = 6 \)
Der Prozentsatz der Schüler, die durchgefallen sind, ist gegeben durch
\( \frac{\text{Anzahl der durchgefallenen Schüler} }{\text{Gesamtzahl der Schüler}} = \frac{6}{25} = 0.24 = 24\% \)
20 - Statistik
Ordne zuerst die Datenwerte vom kleinsten zum größten.
\( \{ 0 , 1 , 2 , 2 , 3 , \color{red}{3} , 3 , 4 , 9 , 9 , 10\} \)
Der Median ist der Wert in der Mitte (rot), also \( 3 \)
Das untere Quartil ist der Median der Datenwerte unterhalb des Medians \( 3 \), was in den obigen Daten \( \{0 , 1 , \color{red}2 , 2 , 3 \} \) ist
unteres Quartil = \( 2 \)
Das obere Quartil ist der Median der Datenwerte oberhalb des Medians \( 3 \), was in den obigen Daten \( \{ 3 , 4 , \color{red} 9 , 9 , 10 \} \) ist
oberes Quartil = \( 9\)
Sei \( x \) die Punktzahl des fünften Tests. Der Durchschnitt der 5 Tests ist gegeben durch
\( \frac{83 + 94 + 97 + 93 + x}{5} \)
Der Durchschnitt "ist mindestens 90" wird mathematisch geschrieben als
\( \frac{83 + 94 + 97 + 93 + x}{5} \ge 90 \)
Multipliziere beide Seiten der obigen Ungleichung mit 5
\( \frac{83 + 94 + 97 + 93 + x}{5} \times 5 \ge 90 \times 5\)
Vereinfache
\( 83 + 94 + 97 + 93 + x \ge 450 \)
Löse nach \( x \) auf
\( x \ge 450 - (83 + 94 + 97 + 93) \)
\( x \ge 83 \)
Mark muss im fünften Test mindestens \( 83 \) erreichen, um einen Durchschnitt von mindestens \( 90 \) zu haben.
21 - Wahrscheinlichkeiten
Ergebnisraum = alle möglichen Ergebnisse = \( \{ 1,2,3,4,5,6 \} \)
Menge der geraden Zahlen unter den Ergebnissen = \( \{ 2,4,6 \} \)
Es gibt \( 6 \) mögliche Ergebnisse, von denen \( 3 \) gerade sind; daher
Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu erhalten \( = \frac{\text{Anzahl der Elemente in der Menge der geraden Zahlen}}{\text{Anzahl der Elemente im Ergebnisraum}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
a)
Wahrscheinlichkeit, eine Zahl zu erhalten, ist \( \quad P_1 = \frac{1}{2} \)
Wahrscheinlichkeit, eine "4" zu erhalten, ist \( \quad P_2 = \frac{1}{6} \)
Die Ereignisse sind unabhängig und daher
Die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl (Münze) und eine 4 (Würfel) zu erhalten = \( \quad P_1 \times P_2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \)
b)
Wahrscheinlichkeit, Kopf zu erhalten, ist \( \quad P_3 = \frac{1}{2} \)
Wahrscheinlichkeit, eine ungerade Zahl zu erhalten, ist \( \quad P_4 = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
Die Ereignisse sind unabhängig und daher
Die Wahrscheinlichkeit, Kopf (Münze) und eine ungerade Zahl (Würfel) zu erhalten \( \quad P_3 \times P_4 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \)
a)
Mit dem Zählprinzip haben wir \( 3 \times 3 = 9 \) mögliche Ergebnisse, geschrieben als: \[ (1,1) , (1,2), (1,3) , (2,1) , (2,2), (2,3) , (3,1) , (3,2), (3,3) \] Es gibt ein Ergebnis mit \( 3 \) in beiden Zufallsauswahlen, und das ist \( (3,3) \)
Daher
Die Wahrscheinlichkeit, bei beiden Zufallsauswahlen eine 3 zu wählen \( = \frac{1}{9} \)
b)
Drei der \( 9 \) möglichen Ergebnisse haben bei beiden Zufallsauswahlen die gleiche Zahl, und diese sind: \( (1,1) \), \( (2,2) \) und \( (3,3) \)
Die Wahrscheinlichkeit, bei beiden Zufallsauswahlen die gleiche Zahl zu wählen \( = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \)
Wenn 5 sagten, Blau sei ihre Lieblingsfarbe und 6 sagten, Braun sei ihre Lieblingszahl, dann
\( 20 - 5 - 6 = 11 \) wählten eine Farbe, die weder Blau noch Braun ist
Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass der nächste befragte Schüler eine Farbe wählt, die weder Blau noch Braun ist, gegeben durch
\( \frac{11}{20} \)