Was ist die Dreiecksungleichung?

Die Dreiecksungleichung besagt, dass die Summe der Längen zweier beliebiger Seiten eines Dreiecks strikt größer sein muss als die Länge der dritten Seite. Wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, kann das Dreieck nicht existieren.

Wie berechnet man den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks in einem Koordinatensystem?

Verwenden Sie zuerst die Abstandsformel, um die Längen der Katheten des rechtwinkligen Dreiecks zu ermitteln. Multiplizieren Sie dann die Längen der beiden Katheten miteinander und teilen Sie sie durch 2, unter Verwendung der Formel: Flächeninhalt = 1/2 × Basis × Höhe.

Wie verwendet man ähnliche Dreiecke, um fehlende Seitenlängen zu finden?

Wenn zwei Dreiecke ähnlich sind, sind ihre entsprechenden Seiten proportional. Sie können ein Verhältnis aufstellen, indem Sie die bekannte Seite des einen Dreiecks mit der entsprechenden bekannten Seite des anderen Dreiecks vergleichen und dies gleich dem Verhältnis der gesuchten Seite setzen.

Matheaufgaben zu Dreiecken für Klasse 8: Übungsfragen & Schritt-für-Schritt-Lösungen

Dreiecksungleichung: Die Längen zweier Seiten eines Dreiecks betragen 20 mm und 13 mm. Welche dieser Längen kann nicht die Länge der dritten Seite darstellen?

35 mm
10 cm
20 mm
45 mm

Tipp: Die Summe zweier beliebiger Seiten eines Dreiecks muss strikt größer sein als die dritte Seite.

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In jedem Dreieck muss die Summe der Längen zweier Seiten größer sein als die Länge der dritten Seite.

Gegeben sind zwei Seiten mit den Längen 20 mm und 13 mm, deren Summe ist:

$ 20 + 13 = 33 \text{ mm} $

Daher muss die Länge der dritten Seite $ x $ Folgendes erfüllen:

$ x \lt 33 \text{ mm} $

Prüfen Sie nun die gegebenen Optionen (denken Sie daran, cm in mm umzurechnen):

A) $ 35 \text{ mm} \gt 33 \text{ mm} $ (Nicht möglich)
B) $ 10 \text{ cm} = 100 \text{ mm} \gt 33 \text{ mm} $ (Nicht möglich)
C) $ 20 \text{ mm} \lt 33 \text{ mm} $ (Möglich)
D) $ 45 \text{ mm} \gt 33 \text{ mm} $ (Nicht möglich)

Antwort: Die Längen 35 mm, 10 cm und 45 mm können nicht die dritte Seite darstellen.

Winkel im gleichschenkligen Dreieck: Dreieck ABC ist ein gleichschenkliges Dreieck. Finde die Größe des Winkels ABC. $Gleichschenkliges Dreieck ABC mit einem Spitzenwinkel von 72 Grad$

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Die Summe der Innenwinkel in jedem Dreieck beträgt $ 180^\circ $:

$ 72^\circ + \angle ACB + \angle ABC = 180^\circ $

Da Dreieck ABC gleichschenklig ist (gekennzeichnet durch die Markierungen auf den Seiten AB und AC), sind seine Basiswinkel gleich:

$ \angle ACB = \angle ABC $

Sei $ \angle ABC = x $. Dann gilt:

$ 72^\circ + 2x = 180^\circ $
$ 2x = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ $
$ x = 54^\circ $

Antwort: $ \angle ABC = 54^\circ $

Umfang gleichseitiges Dreieck: Der Umfang eines gleichseitigen Dreiecks beträgt 210 cm. Wie lang ist eine Seite dieses Dreiecks?

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In einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang. Wenn die Länge einer Seite $ x $ ist, dann ist der Umfang:

$ 3x = 210 $
$ x = \dfrac{210}{3} $
$ x = 70 \text{ cm} $

Antwort: Die Länge einer Seite beträgt 70 cm.

Algebra mit dem Satz des Pythagoras: Finde $ x $, sodass das unten gezeigte Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck ist. $Rechtwinkliges Dreieck mit Katheten 12x und 16x und Hypotenuse 10$

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Verwende den Satz des Pythagoras ($ a^2 + b^2 = c^2 $):

$ (12x)^2 + (16x)^2 = 10^2 $
$ 144x^2 + 256x^2 = 100 $
$ 400x^2 = 100 $
$ x^2 = \dfrac{100}{400} = \dfrac{1}{4} $

Ziehe die positive Quadratwurzel (da ein Seitenlängen-Multiplikator positiv sein muss):

$ x = \dfrac{1}{2} $

Antwort: $ x = 0,5 $

Spiegelung im Koordinatensystem: Was sind die Eckpunkte des Dreiecks, das durch Spiegelung des Dreiecks mit den Eckpunkten (1, 2), (2, -3) und (4, -1) an der x-Achse entsteht?

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Wenn ein Punkt $ (x, y) $ an der x-Achse gespiegelt wird, bleibt seine horizontale Position gleich, aber seine vertikale Position ändert das Vorzeichen. Die Regel lautet $ (x, y) \to (x, -y) $.

Anwendung dieser Regel auf jeden Eckpunkt:

$ (1, 2) \to $ $ (1, -2) $
$ (2, -3) \to $ $ (2, 3) $
$ (4, -1) \to $ $ (4, 1) $

Ähnliche Dreiecke: Die beiden unten gezeigten Dreiecke sind ähnlich. Finde die Länge der Hypotenuse des größeren Dreiecks. $Zwei ähnliche rechtwinklige Dreiecke. Kleines Dreieck hat Katheten 6 und 8. Großes Dreieck hat entsprechende Kathete 15.$

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Finde zuerst die Hypotenuse $ h $ des kleineren rechtwinkligen Dreiecks mithilfe des Satzes des Pythagoras:

$ h^2 = 8^2 + 6^2 $
$ h^2 = 64 + 36 = 100 $
$ h = 10 $

Bei ähnlichen Dreiecken sind entsprechende Seiten proportional. Sei $ H $ die Hypotenuse des größeren Dreiecks. Das Verhältnis der entsprechenden Katheten ist gleich dem Verhältnis der Hypotenusen:

$ \dfrac{6}{15} = \dfrac{10}{H} $

Multipliziere über Kreuz, um nach $ H $ aufzulösen:

$ 6 H = 150 $
$ H = \dfrac{150}{6} $
$ H = 25 $

Antwort: Die Länge der Hypotenuse des größeren Dreiecks beträgt 25 Einheiten.

Anwendung in der Praxis: Eine 13 Fuß lange Leiter lehnt an einer senkrechten Wand. Der unterste Punkt der Leiter ist 4 Fuß von der Wand entfernt. Wie hoch ist der Punkt, an dem die Leiter die Wand berührt? (Runden Sie Ihre Antwort auf die nächste Zehntel-Stelle).

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Die Leiter, die Wand und der Boden bilden ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem die Leiter die Hypotenuse ($ c = 13 $) ist und der Abstand zum Boden eine Kathete ($ a = 4 $). Sei die Höhe der Wand $ x $.

Verwende den Satz des Pythagoras:

$ x^2 + 4^2 = 13^2 $
$ x^2 + 16 = 169 $
$ x^2 = 169 - 16 = 153 $
$ x = \sqrt{153} $

Berechnung der Quadratwurzel:

$ x \approx 12,369 $

Antwort: Die Leiter berührt die Wand bei ungefähr 12,4 Fuß.

Besondere rechtwinklige Dreiecke: Die Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt 40 cm. Ein Winkel ist 45 Grad groß. Wie lang sind die anderen beiden Seiten des Dreiecks exakt?

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In einem rechtwinkligen Dreieck muss, wenn ein Winkel $ 45^\circ $ groß ist, der andere spitze Winkel ebenfalls $ 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ $ groß sein. Da die Basiswinkel gleich sind, ist das Dreieck gleichschenklig, was bedeutet, dass beide Katheten exakt dieselbe Länge haben. Sei die Länge jeder Kathete $ x $.

Verwendung des Satzes des Pythagoras:

$ x^2 + x^2 = 40^2 $
$ 2x^2 = 1600 $
$ x^2 = 800 $
$ x = \sqrt{800} = \sqrt{400 \times 2} = 20\sqrt{2} $

Antwort: Die exakte Länge jeder der anderen beiden Seiten beträgt $ 20\sqrt{2} $ cm.

Umfang gleichschenkliges Dreieck: Dreieck ABC ist ein gleichschenkliges Dreieck. Die Länge der Basis beträgt 20 Meter und die entsprechende Höhe 24 Meter. Finde den Umfang von ABC.

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Die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks halbiert die Basis, teilt sie in zwei gleiche Segmente von 10 Metern und bildet zwei identische rechtwinklige Dreiecke.

$Gleichschenkliges Dreieck unterteilt in zwei rechtwinklige Dreiecke durch seine Höhe$

Verwende den Satz des Pythagoras, um die Länge $ x $ der schrägen Seiten zu finden (die Hypotenuse der rechtwinkligen Dreiecke):

$ x^2 = 24^2 + 10^2 $
$ x^2 = 576 + 100 = 676 $
$ x = \sqrt{676} = 26 \text{ Meter} $

Der Umfang des Dreiecks ist die Summe der Basis und der zwei identischen schrägen Seiten:

$ \text{Umfang} = 20 + 26 + 26 = 72 $

Antwort: Der Umfang beträgt 72 Meter.

Algebra des Flächeninhalts: Ein Dreieck hat einen Flächeninhalt von 90 Quadratzentimetern. Finde die Länge der Basis, wenn die Basis 3 cm länger als die Höhe ist.

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Sei $ h $ die Höhe. Die Basis $ b $ ist gegeben als $ b = h + 3 $.

Verwendung der Flächenformel $ A = \dfrac{1}{2} \times b \times h $:

$ 90 = \dfrac{1}{2}(h + 3)h $

Multipliziere beide Seiten mit 2, um den Bruch zu eliminieren:

$ 180 = h(h + 3) $
$ h^2 + 3h - 180 = 0 $

Faktorisieren der quadratischen Gleichung:

$ (h + 15)(h - 12) = 0 $

Da die Höhe ein positives Maß sein muss, ist $ h = 12 $.

Berechnung der Basis:

$ b = 12 + 3 = 15 $

Antwort: Die Länge der Basis beträgt 15 cm.

Algebra des Umfangs: Der Umfang eines Dreiecks beträgt 74 Zoll. Die Länge der ersten Seite ist doppelt so lang wie die der zweiten Seite. Die dritte Seite ist 4 Zoll länger als die erste Seite. Finde die Länge jeder Seite.

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Sei $ x $ die Länge der zweiten Seite. Wir können die anderen Seiten basierend auf $ x $ definieren:

Erste Seite = $ 2x $
Zweite Seite = $ x $
Dritte Seite = $ 2x + 4 $

Der Umfang ist die Summe aller drei Seiten:

$ 2x + x + (2x + 4) = 74 $
$ 5x + 4 = 74 $
$ 5x = 70 $
$ x = 14 $

Setze nun $ x = 14 $ wieder in die Seitenausdrücke ein:

Erste Seite: $ 2(14) = 28 \text{ Zoll} $
Zweite Seite: $ 14 \text{ Zoll} $
Dritte Seite: $ 28 + 4 = 32 \text{ Zoll} $

Antwort: Die Seitenlängen sind 28, 14 und 32 Zoll.

Fläche im Koordinatensystem: Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks, das von den Linien $ y = -4 $, $ x = 1 $ und $ y = -2x + 8 $ begrenzt wird.

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Die Eckpunkte des Dreiecks sind die Schnittpunkte dieser drei Geraden. Finden wir die Punkte A, B und C.

$Dreieck im Koordinatensystem mit sich schneidenden Linien$

Punkt A finden (Schnittpunkt von $ x = 1 $ und $ y = -2x + 8 $):

Setze $ x = 1 $ in die Gleichung ein: $ y = -2(1) + 8 = 6 $
A = (1, 6)

Punkt C finden (Schnittpunkt von $ y = -4 $ und $ y = -2x + 8 $):

Setze $ y = -4 $ in die Gleichung ein: $ -4 = -2x + 8 \implies -2x = -12 \implies x = 6 $
C = (6, -4)

Punkt D finden (Schnittpunkt von $ x = 1 $ und $ y = -4 $):

D = (1, -4)

Da die Linien $ x = 1 $ (vertikal) und $ y = -4 $ (horizontal) senkrecht aufeinanderstehen, ist dies ein rechtwinkliges Dreieck. Die Basis und die Höhe sind die geraden vertikalen und horizontalen Abstände:

Höhe (AD) = vertikaler Abstand von $ y = 6 $ bis $ y = -4 $ = $ |6 - (-4)| = 10 $
Basis (CD) = horizontaler Abstand von $ x = 1 $ bis $ x = 6 $ = $ |6 - 1| = 5 $

Fläche berechnen:

$ \text{Fläche} = \dfrac{1}{2} \times 5 \times 10 = 25 $

Antwort: Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt 25 Flächeneinheiten.

Abstandsformel: Zeige, dass das Dreieck mit den Eckpunkten A(-1,6), B(2,6) und C(2,2) ein rechtwinkliges Dreieck ist, und finde seinen Flächeninhalt.

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Berechne die quadrierte Länge jeder Seite mithilfe der Abstandsformel $ d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 $:

$ AB^2 = (2 - (-1))^2 + (6 - 6)^2 = 3^2 + 0^2 = 9 $
$ BC^2 = (2 - 2)^2 + (2 - 6)^2 = 0^2 + (-4)^2 = 16 $
$ CA^2 = (-1 - 2)^2 + (6 - 2)^2 = (-3)^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 $

Prüfe, ob der Satz des Pythagoras ($ a^2 + b^2 = c^2 $) zutrifft:

$ AB^2 + BC^2 = 9 + 16 = 25 $
Da $ AB^2 + BC^2 = CA^2 $ (25 = 25), ist das Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck, wobei die Hypotenuse die Seite CA ist.

Da es ein rechtwinkliges Dreieck ist, sind AB und BC Basis und Höhe. Die Seitenlängen sind $ AB = \sqrt{9} = 3 $ und $ BC = \sqrt{16} = 4 $.

Fläche berechnen:

$ \text{Fläche} = \dfrac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 $

Antwort: Das Dreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck mit einem Flächeninhalt von 6 Flächeneinheiten.

Aufgaben und Fragen zu Dreiecken für Klasse 8

Übungsaufgaben

Links und Referenzen