Die Längen zweier Seiten eines Dreiecks betragen 20 mm und 13 mm. Welche dieser Längen kann nicht die Länge der dritten Seite darstellen?
- 35 mm
- 10 cm
- 20 mm
- 45 mm
Lösung
In jedem Dreieck muss die Summe der Längen zweier beliebiger Seiten größer sein als die Länge der dritten Seite.
Gegeben sind zwei Seiten mit den Längen \(20\, \text{mm}\) und \(13\, \text{mm}\), ihre Summe ist
\[ 20 + 13 = 33 \text{ mm}. \]Daher muss die Länge der dritten Seite \(x\) erfüllen
\[ x \lt 33 \text{ mm}. \]Überprüfe nun die gegebenen Optionen:
- \(35 \text{ mm} > 33 \text{ mm}\) — nicht möglich,
- \(10 \text{ cm} = 100 \text{ mm} > 33 \text{ mm}\) — nicht möglich,
- \(20 \text{ mm} \lt 33 \text{ mm}\) — möglich,
- \(45 \text{ mm} > 33 \text{ mm}\) — nicht möglich.
Daher kann die dritte Seite nicht \(35\, \text{mm}\), \(10\, \text{cm}\) oder \(45\, \text{mm}\) sein.
ABC ist ein gleichschenkliges Dreieck. Finde die Größe des Winkels \( \angle ABC \).
Lösung
Die Summe der Winkel im Dreieck \(ABC\) ist
\[ 72^\circ + \angle ACB + \angle ABC = 180^\circ. \]Da \(ABC\) gleichschenklig ist, sind die Winkel \(ACB\) und \(ABC\) gleich:
\[ \angle ACB = \angle ABC. \]Sei \(\angle ABC = x\). Dann gilt
\[ 72^\circ + 2x = 180^\circ \implies 2x = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ \implies x = 54^\circ. \]Daher ist
\[ \angle ABC = 54^\circ. \]Der Umfang eines gleichseitigen Dreiecks beträgt 210 cm. Wie lang ist eine Seite dieses Dreiecks?
Lösung
In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich. Wenn die Länge einer Seite \(x\) ist, dann ist der Umfang
\[ 3x = 210. \]Löse nach \(x\) auf
\[ x = \frac{210}{3} = 70 \text{ cm}. \]Finde \(x\), so dass das unten abgebildete Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck ist.
Lösung
Verwende den Satz des Pythagoras:
\[ (12x)^2 + (16x)^2 = 10^2. \]Berechne jeden Term:
\[ 144 x^2 + 256 x^2 = 100. \]Welche Eckpunkte hat das Dreieck, das durch Spiegelung an der x-Achse des Dreiecks mit den Eckpunkten \((1, 2), (2, -3)\) und \((4, -1)\) entsteht?
Lösung
Wenn ein Punkt \((x, y)\) an der x-Achse gespiegelt wird, ändert die y-Koordinate ihr Vorzeichen, also ist der gespiegelte Punkt \((x, -y)\).
Somit sind die gespiegelten Eckpunkte:
\[ (1, -2), \quad (2, 3), \quad (4, 1). \]Die beiden unten abgebildeten Dreiecke sind ähnlich. Finde die Länge der Hypotenuse des größeren Dreiecks.
Lösung
In ähnlichen Dreiecken sind entsprechende Seiten proportional. Sei \(h\) die Hypotenuse des kleineren Dreiecks und \(H\) die Hypotenuse des größeren Dreiecks. Dann gilt
\[ \frac{8}{15} = \frac{h}{H}. \]Verwende den Satz des Pythagoras, um \(h\) zu finden:
\[ h^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100, \] \[ h = 10. \]Setze \(h = 10\) in die Proportion ein:
\[ \frac{8}{15} = \frac{10}{H}. \]Multipliziere über Kreuz:
\[ 8H = 150, \] \[ H = \frac{150}{8} = 18.75. \]Eine 13-Fuß-Leiter lehnt an einer senkrechten Wand. Das Fußende der Leiter ist 4 Fuß von der Wand entfernt. Wie hoch ist der Punkt, an dem die Leiter die Wand berührt? (Runde deine Antwort auf das nächste Zehntel eines Fußes.)
Lösung
Die Leiter, die Wand und der Boden bilden ein rechtwinkliges Dreieck, in dem die Leiter die Hypotenuse mit einer Länge von 13 Fuß ist und eine Seite 4 Fuß beträgt. Die Höhe sei \(x\). Verwende den Satz des Pythagoras:
\[ x^2 + 4^2 = 13^2. \]Die Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt 40 cm. Einer seiner Winkel beträgt \(45^\circ\). Wie lauten die genauen Längen der anderen beiden Seiten des Dreiecks?
Lösung
In einem rechtwinkligen Dreieck mit einem Winkel von \(45^\circ\) beträgt der andere nicht-rechte Winkel ebenfalls \(45^\circ\). Somit ist das Dreieck gleichschenklig mit den beiden gleichen Katheten. Die Länge jeder Kathete sei \(x\).
Mit dem Satz des Pythagoras:
\[ x^2 + x^2 = 40^2, \] \[ 2x^2 = 1600, \] \[ x^2 = 800 = 2 \times 400, \] \[ x = \sqrt{2 \times 400} = 20 \sqrt{2}. \]Daher betragen die Längen der anderen beiden Seiten jeweils \(20 \sqrt{2} \, \text{cm}\).
Das Dreieck ABC ist ein gleichschenkliges Dreieck. Die Länge der Basis beträgt 20 Meter und die zugehörige Höhe beträgt 24 Meter. Finde den Umfang von ABC. (Runde deine Antwort auf das nächste Zehntel eines Meters).
Lösung
Das gleichschenklige Dreieck ABC ist unten abgebildet. Die Höhe AM wird eingezeichnet. Die Dreiecke AMB und AMC sind kongruent, da sie zwei kongruente Seiten AB und AC haben und AM gemeinsam ist. Außerdem sind die Winkel B und C gleich groß und die rechten Winkel bei M sind gleich. Daher sind die Längen von BM und CM gleich, und folglich beträgt die Länge von MC 10 Meter.
Wir verwenden nun den Satz des Pythagoras, um die Länge \(x\) der Seite AB zu finden:
\[ x^2 = 24^2 + 10^2 = 576 + 100 = 676 \] \[ x = \sqrt{676} = 26 \text{ Meter}. \]Der Umfang des Dreiecks beträgt:
\[ \text{Umfang} = AB + AC + BC = 26 + 26 + 20 = 72 \text{ Meter}. \]Ein Dreieck hat einen Flächeninhalt von 90 Quadratzentimetern. Finde die Länge der Basis, wenn die Basis 3 cm mehr als die Höhe beträgt.
Lösung
Sei \(b\) die Länge der Basis und \(h\) die Höhe. Der Flächeninhalt \(A\) des Dreiecks ist:
\[ A = \frac{1}{2} \times b \times h = 90. \]Gegeben:
\[ b = h + 3. \]Setze \(b = h + 3\) in die Flächenformel ein:
\[ \frac{1}{2} (h + 3) h = 90. \]Multipliziere beide Seiten mit 2:
\[ (h + 3) h = 180. \]Der Umfang eines Dreiecks beträgt 74 Zoll. Die Länge der ersten Seite ist doppelt so lang wie die Länge der zweiten Seite. Die dritte Seite ist 4 Zoll länger als die erste Seite. Finde die Länge jeder Seite.
Lösung
Sei \(x\) die Länge der zweiten Seite. Dann gilt:
\[ \text{Erste Seite} = 2x, \] \[ \text{Dritte Seite} = 2x + 4. \]Der Umfang ist:
\[ 2x + x + (2x + 4) = 5x + 4 = 74. \]Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks, das von den Linien \(y = -4\), \(x = 1\) und \(y = -2x + 8\) eingeschlossen wird.
Lösung
Das Dreieck hat Eckpunkte an den Schnittpunkten der Linien. Um seinen Flächeninhalt zu finden, bestimme die Längen von Basis und Höhe, indem du die Punkte A, B und C lokalisierst.
Finde Punkt \(A\) durch den Schnittpunkt von \(x=1\) und \(y=-2x + 8\):
\[ x=1 \implies y = -2(1) + 8 = 6. \] \[ A = (1, 6). \]Finde Punkt \(B\) durch den Schnittpunkt von \(y = -4\) und \(y = -2x + 8\):
\[ -4 = -2x + 8 \implies -2x = -12 \implies x = 6. \] \[ B = (6, -4). \]Die Höhe \(AB\) ist der vertikale Abstand:
\[ AB = |6 - (-4)| = 10. \]Die Basis \(BC\) ist der horizontale Abstand zwischen \(B\) und \(C\), wobei \(C\) auf \(x=1\) und \(y=-4\) liegt:
\[ C = (1, -4), \] \[ BC = |6 - 1| = 5. \]Der Flächeninhalt \(A\) ist:
\[ A = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 10 \times 5 = 25 \text{ Quadrateinheiten}. \]Zeige, dass das Dreieck mit den Eckpunkten \(A(-1,6)\), \(B(2,6)\) und \(C(2,2)\) ein rechtwinkliges Dreieck ist, und finde seinen Flächeninhalt.
Lösung
Berechne die quadrierten Seitenlängen:
\[ AB^2 = (2 - (-1))^2 + (6 - 6)^2 = 3^2 + 0^2 = 9, \] \[ BC^2 = (2 - 2)^2 + (2 - 6)^2 = 0^2 + (-4)^2 = 16, \] \[ CA^2 = (-1 - 2)^2 + (6 - 2)^2 = (-3)^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25. \]Da die Gleichung gilt, ist das Dreieck ABC rechtwinklig mit der Hypotenuse \(CA\).
Der Flächeninhalt \(A\) ist:
\[ A = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \text{ Quadrateinheiten}. \]