Muster algebraischer Ausdrücke: Fragen und Lösungen - Klasse 9

Diese Seite soll Schülern, Eltern und Lehrern helfen, das Thema Muster in algebraischen Ausdrücken durch sorgfältig ausgewählte Fragen zu Zahlenfolgen und Schritt-für-Schritt-Lösungen zu beherrschen. Das Verständnis für das Funktionieren von Mustern ist eine grundlegende Fähigkeit in der Algebra, da es das logische Denken stärkt und die Schüler auf komplexere Funktionen vorbereitet.

Die Fragen auf dieser Seite fordern Sie dazu heraus:

Operative Regeln zu identifizieren, die eine Folge von algebraischen Termen bestimmen (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division).
Verschiebungen von Exponenten und Koeffizienten über aufeinanderfolgende Terme hinweg zu analysieren.
Algebraische Muster präzise fortzuführen, um den nächsten logischen Term in der Folge zu bestimmen.

Fragen

Identifiziere das Muster und schreibe den nächsten Term auf: \( 1, x^2 , x^4 , x^6 , x^8 , --- \)
Setze das Muster fort und schreibe den nächsten Term auf: \( x^{10} , x^8 , x^6 , x^4 , x^2 , --- \)
Setze das Muster fort: \( x + y , 2 x + y , 3 x + y , 4 x + y , --- \)
Identifiziere das Muster und schreibe den nächsten Term auf: \(2x , 4x + 1, 6x + 2, 8x + 3, --- \)
Identifiziere das Muster und finde den nächsten Term: \( x + y + 1, 2 x + 3 y + 1 , 3 x + 5 y + 1 , 4 x + 7 y + 1 , --- \)
Identifiziere das Muster und schreibe den nächsten Term auf: \( x^3 + 10 x, x^3 + 9 x , x^3 + 8 x , x^3 + 7 x , --- \)
Setze das Muster fort und schreibe den nächsten Term auf: \(3a + 2 , 6a + 5 , 12 a + 11 , 24 a + 23 , --- \)
Identifiziere das Muster und schreibe den nächsten Term auf: \( 1 , 2 x^2, 4 x^4, 8 x^6, 16 x^8 , --- \)
Setze das Muster fort und schreibe den nächsten Term auf: \( x + y , x^2 y + y^2 x , x^3 y^2 + y^3 x^2 , x^4 y^3 + y^4 x^3 , --- \)
Setze das Muster fort und schreibe den nächsten Term auf: \( x^{10} \; y^{10}, x^{11} \; y^{9} , x^{12} \; y^{8} , x^{13} \; y^{7}, --- \)

Schritt-für-Schritt-Lösungen mit Erklärungen

Lösung zu Frage 1
Das Muster ergibt sich durch Multiplikation der Terme mit \( x^2 \), um den nächsten Term zu erhalten.
- \( 1 \) : erster Term
- \( 1 \times \color{red}{x^2} = x^2 \)
- \( x^2 \times \color{red}{x^2} = x^{2+2} = x^4 \)
- \( x^4 \times \color{red}{x^2} = x^{4+2} = x^6 \)
- \( x^6 \times \color{red}{x^2} = x^{6+2} = x^8 \)
Der nächste Term ist: \[ x^8 \times \color{red}{x^2} = x^{8+2} = x^{10} \]
Lösung zu Frage 2
Das Muster ergibt sich durch Division durch \( x^2 \), um den nächsten Term zu erhalten.
- \( x^{10} \) : erster Term
- \( \dfrac{x^{10}}{\color{red}{x^2}} = x^{10-2} = x^8 \)
- \( \dfrac{x^{8}}{\color{red}{x^2}} = x^{8-2} = x^6 \)
- \( \dfrac{x^{6}}{\color{red}{x^2}} = x^{6-2} = x^4 \)
- \( \dfrac{x^{4}}{\color{red}{x^2}} = x^{4-2} = x^2 \)
Der nächste Term ist: \[ \dfrac{x^{2}}{\color{red}{x^2}} = 1 \]
Lösung zu Frage 3
Das Muster ergibt sich durch Addition von \( x \), um den nächsten Term zu erhalten.
- \( x + y \) : erster Term
- \( x + y + \color{red}{x} = 2 x + y \)
- \( 2 x + y + \color{red}{x} = 3 x + y \)
- \( 3 x + y + \color{red}{x} = 4 x + y \)
Der nächste Term ist: \[ 4 x + y + \color{red}{x} = 5x + y \]
Lösung zu Frage 4
Das Muster ergibt sich durch Addition von \( 2x + 1 \), um den nächsten Term zu erhalten.
- \( 2 x \) : erster Term
- \( 2x + \color{red}{2 x + 1} = 4x + 1 \)
- \( 4x + 1 + \color{red}{2 x + 1} = 6x + 2 \)
- \( 6x + 2 + \color{red}{2 x + 1} = 8 x + 3 \)
Der nächste Term ist: \[ 8 x + 3 + \color{red}{2 x + 1} = 10 x + 4 \]
Lösung zu Frage 5
Das Muster ergibt sich durch Addition von \( x + 2y \), um den nächsten Term zu erhalten.
- \( x + y + 1 \) : erster Term
- \( x + y + 1 + \color{red}{x + 2y} = 2x + 3y + 1 \)
- \( 2x + 3y + 1 + \color{red}{x + 2y} = 3x + 5y + 1 \)
- \( 3x + 5y + 1 + \color{red}{x + 2y} = 4x + 7y + 1 \)
Der nächste Term ist: \[ 4x + 7y + 1 + \color{red}{x + 2y} = 5x + 9y + 1 \]
Lösung zu Frage 6
Das Muster ergibt sich durch Subtraktion von \( x \), um den nächsten Term zu erhalten.
- \( x^3 + 10 x \) : erster Term
- \( x^3 + 10 x \color{red}{- x} = x^3 + 9x \)
- \( x^3 + 9x \color{red}{- x} = x^3 + 8 x \)
- \( x^3 + 8x \color{red}{- x} = x^3 + 7 x \)
Der nächste Term ist: \[ x^3 + 7 x \color{red}{- x} = x^3 + 6x \]
Lösung zu Frage 7
Das Muster ergibt sich durch Verdoppelung des Ausdrucks und Addition von \( 1 \), um den nächsten Term zu erhalten.
- \( 3a + 2 \) : erster Term
- \( \color{red}{2}(3a + 2) \color{red}{+ 1} = 6a + 4 + 1 = 6a + 5 \)
- \( \color{red}{2}(6a + 5) \color{red}{+ 1} = 12a + 10 + 1 = 12a + 11 \)
- \( \color{red}{2}(12a + 11) \color{red}{+ 1} = 24a + 22 + 1 = 24a + 23 \)
Der nächste Term ist: \[ \color{red}{2}(24a + 23) \color{red}{+ 1} = 48a + 46 + 1 = 48a + 47 \]
Lösung zu Frage 8
Das Muster ergibt sich durch Multiplikation mit \( 2 x^2 \), um den nächsten Term zu erhalten.
- \( 1 \) : erster Term
- \( 1 \color{red}{\times 2 x^2} = 2 x^2 \)
- \( 2 x^2 \color{red}{\times 2 x^2} = 4 x^{2+2} = 4 x^4 \)
- \( 4 x^4 \color{red}{\times 2 x^2} = 8 x^{4+2} = 8 x^6 \)
- \( 8 x^6 \color{red}{\times 2 x^2} = 16 x^{6+2} = 16 x^8 \)
Der nächste Term ist: \[ 16 x^8 \color{red}{\times 2 x^2} = 32 x^{8+2} = 32 x^{10} \]
Lösung zu Frage 9
Das Muster ergibt sich durch Multiplikation mit \( xy \), um den nächsten Term zu erhalten.
- \( x + y \) : erster Term
- \( (x + y) \color{red}{xy} = x^2y + y^2x \)
- \( (x^2 y + y^2 x) \color{red}{xy} = x^3 y^2 + y^3 x^2 \)
- \( (x^3 y^2 + y^3 x^2) \color{red}{xy} = x^4 y^3 + y^4 x^3 \)
Der nächste Term ist: \[ (x^4 y^3 + y^4 x^3) \color{red}{xy} = x^5 y^4 + y^5 x^4 \]
Lösung zu Frage 10
Das Muster ergibt sich durch Multiplikation mit \( \dfrac{x}{y} \), um den nächsten Term zu erhalten.
- \( x^{10} \; y^{10} \) : erster Term
- \( x^{10} \; y^{10} \color{red}{\times \dfrac{x}{y}} = x^{10+1} \; y^{10-1} = x^{11} \; y^{9} \)
- \( x^{11} \; y^{9} \color{red}{\times \dfrac{x}{y}} = x^{11+1} \; y^{9-1} = x^{12}\; y^{8} \)
- \( x^{12} \; y^{8} \color{red}{\times \dfrac{x}{y}} = x^{12+1} \; y^{8-1} = x^{13} \; y^{7} \)
Der nächste Term ist: \[ x^{13} \; y^{7} \color{red}{\times \dfrac{x}{y}} = x^{13+1} \; y^{7-1} = x^{14} \; y^{6} \]

Links und Referenzen

Startseite