Polynome addieren und subtrahieren - Klasse 9

Diese Seite wurde entwickelt, um Schülern der 9. Klasse dabei zu helfen, das Addieren und Subtrahieren von Polynomen zu meistern. Wir stellen klare Regeln, geführte Beispiele und Übungsfragen mit Schritt-für-Schritt-Lösungen bereit. Erweitern Sie die versteckten Lösungen, um genau zu sehen, wie man Terme gruppiert und mit schwierigen negativen Vorzeichen umgeht.

Zu den wichtigsten Fähigkeiten, die auf dieser Seite behandelt werden, gehören:

Grundlagen: Definitionen und Regeln

Was ist ein Polynom?

Ein Polynom ist ein algebraischer Ausdruck, der aus Variablen und Koeffizienten besteht und durch Addieren oder Subtrahieren mehrerer Monome gebildet wird. Beispiele sind:

Regel 1: Vorzeichen verteilen, um Klammern zu entfernen

Um Polynome zu addieren oder zu subtrahieren, müssen Sie zuerst die Klammern mithilfe des Distributivgesetzes entfernen: \( a(b+c) = ab + ac \).

Regel 2: Gleichartige Terme addieren und subtrahieren

Sie können nur Terme zusammenfassen, die exakt dieselben Variablen mit exakt denselben Potenzen haben. Die Reihenfolge spielt dabei keine Rolle (z. B. ist \( x^2y^2 \) identisch mit \( y^2x^2 \)).

Beispiele:

Übungsfragen

Teil A: Gleichartige Terme zusammenfassen

  1. Vereinfache den Ausdruck: \( 2x - 2x + 9x \)
    Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
    • \( 2x - 2x + 9x \)
    • \( = (2 - 2 + 9)x \) (Variable ausklammern und Koeffizienten gruppieren)
    • \( = 9x \) (Zahlen vereinfachen)
  2. Vereinfache den Ausdruck: \( -x^2 + 3x^2 + x^2 \)
    Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
    • \( -x^2 + 3x^2 + x^2 \)
    • \( = (-1 + 3 + 1)x^2 \) (Denke daran, dass \( -x^2 \) für \( -1x^2 \) und \( x^2 \) für \( 1x^2 \) steht)
    • \( = 3x^2 \)
  3. Vereinfache den Ausdruck: \( -xy + \dfrac{2}{3}xy + \dfrac{1}{2}xy \)
    Tipp: Finde einen gemeinsamen Nenner, um die Brüche zu addieren.
    Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
    • \( \left(-1 + \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2}\right)xy \) (\( xy \) ausklammern)
    • \( = \left(-\dfrac{6}{6} + \dfrac{4}{6} + \dfrac{3}{6}\right)xy \) (Gemeinsamen Nenner 6 finden)
    • \( = \left(\dfrac{-6 + 4 + 3}{6}\right)xy \)
    • \( = \dfrac{1}{6}xy \)
  4. Vereinfache den Ausdruck: \( 0,2x^3 + 2x^3 - 0,5x^3 \)
    Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
    • \( (0,2 + 2 - 0,5)x^3 \) (Variable ausklammern)
    • \( = (2,2 - 0,5)x^3 \)
    • \( = 1,7x^3 \) (Oder als Bruch: \( \dfrac{17}{10}x^3 \))
  5. Vereinfache den Ausdruck: \( x - 0,3x - \dfrac{1}{5}x \)
    Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
    • \( \left(1 - 0,3 - \dfrac{1}{5}\right)x \) (Variable ausklammern)
    • \( = \left(\dfrac{10}{10} - \dfrac{3}{10} - \dfrac{2}{10}\right)x \) (Alles in Brüche mit Nenner 10 umwandeln)
    • \( = \left(\dfrac{10 - 3 - 2}{10}\right)x \)
    • \( = \dfrac{5}{10}x = \dfrac{1}{2}x \) (Oder als Dezimalzahl: \( 0,5x \))

Teil B: Polynome addieren und subtrahieren

  1. Addiere die Polynome: \( (2x^2 - 2x + 1) + (x + 5) \)
    Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
    • \( +1(2x^2 - 2x + 1) + 1(x + 5) \) (Vorzeichen vor den Klammern identifizieren)
    • \( = 2x^2 - 2x + 1 + x + 5 \) (Positive Vorzeichen verteilen, um Klammern zu entfernen)
    • \( = 2x^2 + (-2x + x) + (1 + 5) \) (Gleichartige Terme gruppieren)
    • \( = 2x^2 - x + 6 \) (Koeffizienten kombinieren)
  2. Subtrahiere die Polynome: \( (-4x^3 - 2x + 1) - (-x^3 - 5x) \)
    Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
    • \( +1(-4x^3 - 2x + 1) - 1(-x^3 - 5x) \) (Vorzeichen vor den Klammern identifizieren)
    • \( = -4x^3 - 2x + 1 + x^3 + 5x \) (Die -1 verteilen, dabei die Vorzeichen in der zweiten Klammer umkehren)
    • \( = (-4x^3 + x^3) + (-2x + 5x) + 1 \) (Gleichartige Terme gruppieren)
    • \( = -3x^3 + 3x + 1 \) (Vereinfachen)
  3. Addiere und subtrahiere die Polynome: \( -(2x^3 - 2x^2 + 1) + (-x^3 - 5x^2) \)
    Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
    • \( -1(2x^3 - 2x^2 + 1) + 1(-x^3 - 5x^2) \)
    • \( = -2x^3 + 2x^2 - 1 - x^3 - 5x^2 \) (Vorzeichen verteilen, um Klammern zu entfernen)
    • \( = (-2x^3 - x^3) + (2x^2 - 5x^2) - 1 \) (Gleichartige Terme gruppieren)
    • \( = -3x^3 - 3x^2 - 1 \) (Vereinfachen)
  4. Vereinfache: \( -(-x^4y - 2x^2 - 9) - (-yx^4 - 5x^2 + 1) \)
    Tipp: \( x^4y \) ist exakt der gleiche Term wie \( yx^4 \).
    Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
    • \( -1(-x^4y - 2x^2 - 9) - 1(-yx^4 - 5x^2 + 1) \)
    • \( = x^4y + 2x^2 + 9 + yx^4 + 5x^2 - 1 \) (-1 auf beide Klammern verteilen, dabei alle Vorzeichen umkehren)
    • \( = (x^4y + yx^4) + (2x^2 + 5x^2) + (9 - 1) \) (Gleichartige Terme gruppieren)
    • \( = 2x^4y + 7x^2 + 8 \) (Koeffizienten vereinfachen)
  5. Vereinfache den Ausdruck: \( (-x^2 - 2x) - (-x^2 - 5x + 3) + (x^2 - 4) \)
    Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
    • \( +1(-x^2 - 2x) - 1(-x^2 - 5x + 3) + 1(x^2 - 4) \)
    • \( = -x^2 - 2x + x^2 + 5x - 3 + x^2 - 4 \) (Vorzeichen verteilen, um Klammern zu entfernen)
    • \( = (-x^2 + x^2 + x^2) + (-2x + 5x) + (-3 - 4) \) (Gleichartige Terme gruppieren)
    • \( = x^2 + 3x - 7 \) (Koeffizienten kombinieren)
  6. Subtrahiere die Polynome: \( (x^3 - 2x^2 + 3) - \left(\dfrac{1}{4}x^3 + \dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{3}\right) \)
    Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
    • \( +1(x^3 - 2x^2 + 3) - 1\left(\dfrac{1}{4}x^3 + \dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{3}\right) \)
    • \( = x^3 - 2x^2 + 3 - \dfrac{1}{4}x^3 - \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{3} \) (Vorzeichen verteilen, um Klammern zu entfernen)
    • \( = \left(1 - \dfrac{1}{4}\right)x^3 + \left(-2 - \dfrac{1}{2}\right)x^2 + \left(3 + \dfrac{1}{3}\right) \) (Variablen ausklammern, um die Addition der Brüche zu erleichtern)
    • \( = \left(\dfrac{4}{4} - \dfrac{1}{4}\right)x^3 + \left(-\dfrac{4}{2} - \dfrac{1}{2}\right)x^2 + \left(\dfrac{9}{3} + \dfrac{1}{3}\right) \) (Gemeinsame Nenner finden)
    • \( = \dfrac{3}{4}x^3 - \dfrac{5}{2}x^2 + \dfrac{10}{3} \)

Links und Referenzen