Algebrafragen mit Lösungen für Klasse 9

A. Gruppieren Sie gleichartige Terme und vereinfachen Sie: \[ -6x + 5 + 12x - 6 = (-6x + 12x) + (5 - 6) = 6x - 1 \]

B. Klammern ausmultiplizieren: \[ 2(x - 9) + 6(-x + 2) + 4x = 2x - 18 - 6x + 12 + 4x \] Gruppieren Sie gleichartige Terme und vereinfachen Sie: \[ (2x - 6x + 4x) + (-18 + 12) = -6 \]

C. Gruppieren Sie gleichartige Terme und vereinfachen Sie: \[ 3x^2 + 12 + 9x - 20 + 6x^2 - x \] \[ = (3x^2 + 6x^2) + (9x - x) + (12 - 20) = 9x^2 + 8x - 8 \]

D. Klammern ausmultiplizieren: \[ (x + 2)(x + 4) + (x + 5)(-x - 1) = x^2 + 4x + 2x + 8 - x^2 - x - 5x - 5 \] Gruppieren Sie gleichartige Terme: \[ (x^2 - x^2) + (4x + 2x - x - 5x) + (8 - 5) = 3 \]

E. Ausmultiplizieren und gruppieren: \[ 1.2(x - 9) - 2.3(x + 4) = 1.2x - 10.8 - 2.3x - 9.2 = -1.1x - 20 \]

F. Umschreiben mit Exponentialregeln: \[ (x^2y)(xy^2) = (x^2 \cdot x)(y \cdot y^2) = x^3y^3 \]

G. Ausdruck mit Exponentialregeln umschreiben: \[ (-x^2y^2)(xy^2) = -(x^2 \cdot x)(y^2 \cdot y^2) = -x^3y^4 \]

A. \( \dfrac{(a b^2)(a^3 b)}{a^2 b^3} \)

Vereinfachen Sie zuerst den Zähler: \[ \dfrac{a^4 b^3}{a^2 b^3} \] Umschreiben als: \[ \dfrac{a^4}{a^2} \cdot \dfrac{b^3}{b^3} \] Vereinfachen Sie mit der Quotientenregel für Exponenten: \[ a^2 \] B. \( \dfrac{21 x^5}{3 x^4} \)

Umschreiben als: \[ \dfrac{21}{3} \cdot \dfrac{x^5}{x^4} \] Vereinfachen: \[ 7x \] C. \( \dfrac{(6 x^4)(4 y^2)}{(3 x^2)(16 y)} \)

Multiplizieren Sie die Terme im Zähler und Nenner: \[ \dfrac{24 x^4 y^2}{48 x^2 y} \] Umschreiben als: \[ \dfrac{24}{48} \cdot \dfrac{x^4}{x^2} \cdot \dfrac{y^2}{y} \] Vereinfachen: \[ \dfrac{1}{2} x^2 y \] D. \( \quad \dfrac{4x - 12}{4} \)

Faktorisieren Sie 4 aus dem Zähler: \[ \dfrac{4(x - 3)}{4} \] Vereinfachen: \[ x - 3 \] E. \( \dfrac{-5x - 10}{x + 2} \)

Faktorisieren Sie -5 aus dem Zähler: \[ \dfrac{-5(x + 2)}{x + 2} \] Vereinfachen: \[ -5 \]

F. \( \dfrac{x^2 - 4x - 12}{x^2 - 2x - 24} \)

Faktorisieren Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner: \[ \dfrac{(x - 6)(x + 2)}{(x - 6)(x + 4)} \] Vereinfachen: \[ \dfrac{x + 2}{x + 4} \quad \text{(für alle } x \neq 6 \text{)} \]

A. Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch 2 und vereinfachen Sie. \[ \frac{2x}{2} = \frac{6}{2} \] \[ x = 3 \] B. Addieren Sie 8 zu beiden Seiten und gruppieren Sie gleichartige Terme. \[ 6x - 8 + 8 = 4x + 4 + 8 \] Gruppieren Sie gleichartige Terme \[ 6x = 4x + 12 \] Addieren Sie \( -4 x \) zu beiden Seiten \[ 6x - 4x = 4x + 12 - 4x \] Gruppieren Sie gleichartige Terme \[ 2x = 12 \] Teilen Sie beide Seiten durch 2 und vereinfachen Sie. \[ x = 6 \] C. Klammern in \( 4(x - 2) = 2(x + 3) + 7 \) ausmultiplizieren. \[ 4x - 8 = 2x + 6 + 7 \] Addieren Sie \(8\) zu beiden Seiten und gruppieren Sie gleichartige Terme. \[ 4x - 8 + 8 = 2x + 6 + 7 + 8 \] Gruppieren Sie gleichartige Terme \[ 4x = 2x + 21 \] Addieren Sie \( -2x \) zu beiden Seiten und gruppieren Sie gleichartige Terme. \[ 4x - 2x = 2x + 21 - 2x \] Gruppieren Sie gleichartige Terme \[ 2x = 21 \] Teilen Sie beide Seiten durch 2. \[ x = \frac{21}{2} \] D. Addieren Sie 1.6 zu beiden Seiten und vereinfachen Sie. \[ 0.1x - 1.6 + 1.6 = 0.2x + 2.3 + 1.6 \] Gruppieren Sie gleichartige Terme \[ 0.1x = 0.2x + 3.9 \] Addieren Sie \( -0.2x \) zu beiden Seiten und vereinfachen Sie. \[ 0.1x - 0.2x = 0.2x + 3.9 - 0.2x \] Gruppieren Sie gleichartige Terme \[ -0.1 x = 3.9 \] Teilen Sie beide Seiten durch \( -0.1 \) und vereinfachen Sie. \[ x = -39 \] E. Multiplizieren Sie beide Seiten mit \( -5 \) und vereinfachen Sie. \[ -5 \left(\frac{-x}{5} \right) = -5(2) \] \[ x = -10 \]

F. Multiplizieren Sie beide Seiten mit \( -6 \) und vereinfachen Sie. \[ \frac{(-6)(x - 4)}{-6} = (-6)3 \] \[ x - 4 = -18 \] Addieren Sie \( 4 \) zu beiden Seiten. \[ x - 4 + 4 = -18 + 4 \] Gruppieren Sie gleichartige Terme \[ x = -14 \]

G. Multiplizieren Sie beide Seiten mit \( (x - 2) \). \[ \frac{(x - 2)(-3x + 1)}{x - 2} = -3(x - 2) \] Vereinfachen Sie die linke Seite \[ -3x + 1 = -3(x - 2) \] Rechte Seite ausmultiplizieren. \[ -3 x + 1 = -3 x + 6 \] Addieren Sie \( 3x \) zu beiden Seiten. \[ -3x + 1 + 3x = -3x + 6 + 3x \] Gruppieren Sie gleichartige Terme und vereinfachen Sie \[ 1 = 6 \] Die letzte Aussage ist falsch und die Gleichung hat keine Lösungen

H. Multiplizieren Sie alle Terme mit dem kgV von \( 5 \) und \( 3 \), das ist \( 15\). \[ 15 \left(\frac{x}{5} \right) + 15 \left(\frac{x - 1}{3} \right) = 15 \left(\frac{1}{5} \right) \] Vereinfachen, um die Nenner zu eliminieren \[ 3 x + 5(x - 1) = 3 \times 1 \] Ausmultiplizieren. \[ 3x + 5x - 5 = 3 \] Gruppieren Sie gleichartige Terme und lösen Sie. \[ 8 x = 3 + 5 \] \[ 8x = 8 \] \[ x = 1 \]

A. Teilen Sie alle Terme durch 2. \[ \frac{2x^2}{2} - \frac{8}{2} = \frac{0}{2} \] Vereinfachen \[ \quad x^2 - 4 = 0 \] Faktorisieren Sie die linke Seite: \[ (x - 2)(x + 2) = 0 \] Lösen Sie nach \( x \): \[ x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \] \[ x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2 \] Lösungsmenge ist: \[ \{-2, 2\} \] B. Die gegebene Gleichung \( x^2 = -5 \) hat keine reelle Lösung, da das Quadrat reeller Zahlen niemals negativ ist.

C. Faktorisieren Sie die linke Seite wie folgt: \[ 2x^2 + 5x - 7 = 0 \] Faktorisieren Sie die linke Seite. \[ (2x + 7)(x - 1) = 0 \] Lösen Sie nach \( x \), indem Sie jeden der Faktoren gleich Null setzen: \[ 2x + 7 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{7}{2} \] \[ x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \] Lösungsmenge: \[ \left\{-\frac{7}{2}, 1\right\} \] D. Die Gleichung liegt in faktorisierter Form vor und wird gelöst, indem jeder der Faktoren gleich Null gesetzt wird. \[ x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \] \[ x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -3 \] Lösungsmenge: \[ \{-3, 2\} \] E. Multiplizieren Sie die linke Seite aus: \[ x^2 + 6x - 7 = 9 \] Schreiben Sie die Gleichung so um, dass die rechte Seite gleich 0 ist: \[ x^2 + 6x - 16 = 0 \] Faktorisieren Sie die linke Seite: \[ (x + 8)(x - 2) = 0 \] Lösen Sie nach \( x \), indem Sie jeden der Faktoren gleich Null setzen: \[ x + 8 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -8 \] \[ x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \] Lösungsmenge: \[ \{ -8, 2 \} \]

F. Multiplizieren Sie die linke Seite aus und schreiben Sie sie mit der rechten Seite gleich Null: \[ x^2 - 6x + 9 = 0 \] Faktorisieren Sie die linke Seite: \[ (x - 3)^2 = 0 \] Daraus ergibt sich \[ x - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \] Lösungsmenge: \[ \{3 \} \]

A. Schreiben Sie die Gleichung um als: \[ x^3 = 1728 \] Ziehen Sie die Kubikwurzel auf beiden Seiten: \[ \sqrt[3]{x^3} = \sqrt[3] {1728} \] Vereinfachen: \[ x = \sqrt[3] {1728} = 12 \] B. Ziehen Sie die Kubikwurzel auf beiden Seiten: \[ \sqrt[3] {x^3} = \sqrt[3]{-64)} \] Vereinfachen: \[ x = -4 \] C. Die Gleichung \( \sqrt{x} = -1 \) hat keine reelle Lösung, da die Quadratwurzel einer reellen Zahl größer oder gleich Null ist.

D. Quadrieren Sie beide Seiten: \[ (\sqrt{x})^2 = 5^2 \] Vereinfachen: \[ x = 25 \] E. Quadrieren Sie beide Seiten: \[ \left(\sqrt{\frac{x}{100}}\right)^2 = 4^2 \] Vereinfachen: \[ \frac{x}{100} = 16 \] Multiplizieren Sie beide Seiten mit 100 und vereinfachen Sie: \[ x = 1600 \]

F. Quadrieren Sie beide Seiten: \[ \left(\sqrt{\frac{200}{x}}\right)^2 = 2^2 \] Vereinfachen: \[ \frac{200}{x} = 4 \] Multiplizieren Sie beide Seiten mit \( x \) und vereinfachen Sie: \[ x \cdot \frac{200}{x} = 4x \] \[ 200 = 4x \] Lösen Sie nach \( x \) auf: \[ x = 50 \]

A. Setzen Sie \( a \) und \( b \) durch ihre Werte ein und werten Sie aus. Für \( a = 2 \) und \( b = 2 \): \[ a^2 + b^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8 \] B. Setzen Sie \( a = -3 \) und \( b = 5 \) in den gegebenen Ausdruck ein und werten Sie aus. \[ | 2a - 3b | = | 2(-3) - 3(5) | = | -6 - 15 | = | -21 | = 21 \] C. Setzen Sie \( a = -1 \) und \( b = -2 \) in den gegebenen Ausdruck ein und werten Sie aus. \[ 3a^3 - 4b^4 = 3(-1)^3 - 4(-2)^4 = 3(-1) - 4(16) = -3 - 64 = -67 \]

A. Addieren Sie \( -3 \) zu beiden Seiten der Ungleichung und vereinfachen Sie. \[ x + 3 - 3 \lt 0 - 3 \] Gruppieren Sie gleichartige Terme, um die Lösungsmenge zu erhalten: \[ x \lt -3 \] B. Addieren Sie \( x \) zu beiden Seiten der Ungleichung \[ x + 1 + x \gt -x + 5 + x \] Gruppieren Sie gleichartige Terme \[ 2x + 1 \gt 5 \] Addieren Sie \( -1 \) zu beiden Seiten der Ungleichung und vereinfachen Sie. \[ 2x + 1 - 1 \gt 5 - 1 \] Gruppieren Sie gleichartige Terme \[ 2x \gt 4 \] Teilen Sie beide Seiten durch \( 2 \), um die Lösungsmenge zu erhalten: \[ x \gt 2 \] C. Klammern ausmultiplizieren und gleichartige Terme gruppieren. \[ 2x - 4 \lt -x - 7 \] Addieren Sie \( 4 \) zu beiden Seiten. \[ 2x - 4 + 4 \lt -x - 7 + 4 \] Gruppieren Sie gleichartige Terme \[ 2x \lt -x - 3 \] Addieren Sie \( x \) zu beiden Seiten. \[ 2x + x \lt -x - 3 + x \] Gruppieren Sie gleichartige Terme \[ 3x \lt -3 \] Teilen Sie beide Seiten durch \( 3 \) und vereinfachen Sie, um die Lösungsmenge zu erhalten \[ x \lt -1 \]

Wir schreiben zuerst die gegebene Gleichung mit der rechten Seite gleich Null: \[ x^2 + 2x + 2k = 0 \] Als nächstes berechnen wir die Diskriminante \( D \) der quadratischen Gleichung: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(2k) = 4 - 8k \] Damit die Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen hat, muss die Diskriminante positiv sein: \[ 4 - 8k > 0 \] Lösen der Ungleichung: \[ k \lt \frac{1}{2} \]

Lösen Sie nach \( y \) auf und identifizieren Sie die Steigung: \[ b y = -2 x + 2 \] \[ y = \frac{-2}{b} x + \frac{2}{b} \] \[ \text{Steigung} = \frac{-2}{b} = 2 \] Lösen Sie die Gleichung \( \frac{-2}{b} = 2 \) nach \( b \) auf: \[ \frac{-2}{b} = 2 \] \[ -2 = 2b \] \[ b = -1 \]

Setzen Sie \( x = 0 \) in die Gleichung ein und lösen Sie nach \( y \) auf. \[ -4(0) + 6y = -12 \] \[ 6y = -12 \] \[ y = -2 \] y-Achsenabschnitt: \( (0, -2) \)

Setzen Sie y = 0 in die Gleichung ein und lösen Sie nach x auf.
- 3 x + 0 = 3
x = -1
x-Achsenabschnitt: (-1 , 0)

Ein Schnittpunkt zweier Geraden ist die Lösung der Gleichungen beider Geraden. Um den Schnittpunkt der beiden Geraden zu finden, müssen wir das Gleichungssystem lösen \[ x - y = 3 \] und \[ -5x - 2y = -22 \] Lösen Sie zuerst die Gleichung \(x - y = 3\) nach \(x\) auf: \[ x = 3 + y \] Setzen Sie als nächstes \(x = 3 + y\) in die Gleichung \(-5x - 2y = -22\) ein und lösen Sie nach \(y\) auf: \[ -5(3 + y) - 2y = -22 \] Vereinfachen Sie die Gleichung: \[ -15 - 5y - 2y = -22 \] Fassen Sie gleichartige Terme zusammen: \[ -7y = -22 + 15 \] Vereinfachen Sie weiter: \[ -7y = -7 \] Lösen Sie nach \(y\) auf: \[ y = 1 \] Setzen Sie nun \(y = 1\) in \(x = 3 + y\) ein, um \(x\) zu finden: \[ x = 3 + 1 = 4 \] Somit ist der Schnittpunkt \[ (4, 1) \]

Damit die Gerade durch den Punkt \( (2,-3) \) verläuft, muss das geordnete Paar \( (2,-3) \) eine Lösung der Geradengleichung sein. Wir setzen \( x \) durch \( 2 \) und \( y \) durch \( -3 \) in die Gleichung ein. \[ -4(2) + k(-3) = 2 \] Lösen Sie nach \( k \) auf, um zu erhalten \[ k = \frac{-10}{3} \]

Schreiben Sie die gegebene Gleichung in der Steigungsachsenform \( y = mx + b \) und identifizieren Sie die Steigung \( m \). \[ y = 14 \] Es ist eine horizontale Linie, und daher ist die Steigung gleich Null.

Teilen Sie alle Terme der gegebenen Gleichung durch 2 \[ \dfrac{2 x}{2} = \dfrac{- 8}{2} \] Vereinfachen \[ x = -4 \] Es ist eine vertikale Linie und daher ist die Steigung nicht definiert.

\( x = - 3\) ist eine vertikale Linie mit nur einem \( x \)-Achsenabschnitt, gegeben durch \[ (-3 , 0) \] Eine vertikale Linie hat keinen y-Achsenabschnitt.

Die gegebene Gleichung kann geschrieben werden als \[ 3 y = 9 \] Teilen Sie alle Terme durch \( 3 \), um zu erhalten \[ y = 3 \] Das Obige ist eine horizontale Linie mit nur einem \( y \)-Achsenabschnitt, gegeben durch \[ (0 , 3) \] Eine horizontale Linie hat keinen \( x \)-Achsenabschnitt.

Eine Gerade parallel zur \(x\)-Achse ist eine horizontale Linie und ihre Steigung ist gleich Null.

Eine Gerade senkrecht zur \( x \)-Achse ist eine vertikale Linie und ihre Steigung ist nicht definiert.