Lösungen zu Algebrafragen für die 9. Klasse
Detaillierte Lösungen und vollständige Erklärungen zu Algebrafragen der 9. Klasse werden präsentiert.
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Vereinfachen Sie die folgenden algebraischen Ausdrücke.
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Gleiche Terme zusammenfassen und vereinfachen.
\[
-6x + 5 + 12x - 6 = (-6x + 12x) + (5 - 6) = 6x - 1
\]
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Klammern ausmultiplizieren.
\[
2(x - 9) + 6(-x + 2) + 4x = 2x - 18 - 6x + 12 + 4x
\]
Gleiche Terme zusammenfassen und vereinfachen.
\[
(2x - 6x + 4x) + (-18 + 12) = -6
\]
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Gleiche Terme zusammenfassen und vereinfachen.
\[
3x^{2} + 12 + 9x - 20 + 6x^{2} - x
\]
\[
= (3x^{2} + 6x^{2}) + (9x - x) + (12 - 20) = 9x^{2} + 8x - 8
\]
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Klammern ausmultiplizieren.
\[
(x + 2)(x + 4) + (x + 5)(-x - 1)
\]
\[
= x^{2} + 4x + 2x + 8 - x^{2} - x - 5x - 5
\]
Gleiche Terme zusammenfassen.
\[
(x^{2} - x^{2}) + (4x + 2x - x - 5x) + (8 - 5) = 3
\]
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Ausmultiplizieren und zusammenfassen.
\[
1.2(x - 9) - 2.3(x + 4) = 1.2x - 10.8 - 2.3x - 9.2
\]
\[
= -1.1x - 20
\]
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Wie folgt umschreiben.
\[
(x^{2}y)(xy^{2}) = (x^{2} \cdot x)(y \cdot y^{2})
\]
Unter Verwendung der Exponentenregeln:
\[
= x^{3} y^{3}
\]
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Ausdruck wie folgt umschreiben.
\[
(-x^{2}y^{2})(xy^{2}) = -(x^{2} \cdot x)(y^{2} \cdot y^{2})
\]
Unter Verwendung der Exponentenregeln:
\[
= -x^{3} y^{4}
\]
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Vereinfachen Sie die Ausdrücke.
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Zuerst den Zähler mit den Exponentenregeln vereinfachen:
\[
(a b^{2})(a^{3} b) / (a^{2} b^{3}) = (a^{4} b^{3}) / (a^{2} b^{3})
\]
Umschreiben als:
\[
\left(\frac{a^{4}}{a^{2}}\right) \left(\frac{b^{3}}{b^{3}}\right)
\]
Vereinfachen:
\[
a^{2}
\]
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Umschreiben als:
\[
\frac{21x^{5}}{3x^{4}} = \left(\frac{21}{3}\right)\left(\frac{x^{5}}{x^{4}}\right)
\]
Vereinfachen:
\[
7x
\]
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Multiplizieren und vereinfachen:
\[
\frac{(6x^{4})(4y^{2})}{(3x^{2})(16y)} = \frac{24x^{4}y^{2}}{48x^{2}y}
\]
Umschreiben als:
\[
\left(\frac{24}{48}\right)\left(\frac{x^{4}}{x^{2}}\right)\left(\frac{y^{2}}{y}\right)
\]
Vereinfachen:
\[
\frac{1}{2}x^{2}y
\]
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4 aus dem Zähler faktorisieren:
\[
\frac{4x - 12}{4} = \frac{4(x - 3)}{4} = x - 3
\]
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\(-5\) aus dem Zähler faktorisieren:
\[
\frac{-5x - 10}{x + 2} = \frac{-5(x + 2)}{x + 2}
\]
\(x+2\) kürzen (unter der Annahme \(x \neq -2\)):
\[
-5
\]
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Zähler und Nenner faktorisieren:
\[
\frac{x^{2} - 4x - 12}{x^{2} - 2x - 24}
\]
Zähler:
\[
x^{2} - 4x - 12 = (x - 6)(x + 2)
\]
Nenner:
\[
x^{2} - 2x - 24 = (x - 6)(x + 4)
\]
Vereinfachen:
\[
\frac{(x - 6)(x + 2)}{(x - 6)(x + 4)} = \frac{x + 2}{x + 4} \quad (\text{für } x \neq 6, -4)
\]
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Lösen Sie für \(x\) die folgenden linearen Gleichungen.
Lösung
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Beide Seiten durch 2 teilen:
\[
\frac{2x}{2} = \frac{6}{2}
\]
\[
x = 3
\]
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Addiere 8 zu beiden Seiten:
\[
6x - 8 + 8 = 4x + 4 + 8 \quad \Rightarrow \quad 6x = 4x + 12
\]
Subtrahiere \(4x\) von beiden Seiten:
\[
6x - 4x = 12 \quad \Rightarrow \quad 2x = 12
\]
Durch 2 teilen:
\[
x = 6
\]
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Klammern ausmultiplizieren:
\[
4x - 8 = 2x + 6 + 7
\]
Addiere 8 zu beiden Seiten:
\[
4x = 2x + 21
\]
Subtrahiere \(2x\):
\[
2x = 21
\]
Durch 2 teilen:
\[
x = \frac{21}{2}
\]
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Addiere 1.6 zu beiden Seiten:
\[
0.1x = 0.2x + 3.9
\]
Subtrahiere \(0.2x\):
\[
-0.1x = 3.9
\]
Durch \(-0.1\) teilen:
\[
x = -39
\]
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Beide Seiten mit \(-5\) multiplizieren:
\[
x = -10
\]
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Beide Seiten mit \(-6\) multiplizieren:
\[
x - 4 = -18
\]
Addiere 4 zu beiden Seiten:
\[
x = -14
\]
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Beide Seiten mit \(x - 2\) multiplizieren:
\[
-3x + 1 = -3(x - 2) = -3x + 6
\]
Addiere \(3x\) zu beiden Seiten:
\[
1 = 6
\]
Dies ist falsch, daher hat die Gleichung **keine Lösung**.
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Multiplizieren Sie mit dem kgV von 5 und 3, also 15:
\[
15\left(\frac{x}{5}\right) + 15\left(\frac{x - 1}{3}\right) = 15\left(\frac{1}{5}\right)
\]
Vereinfachen:
\[
3x + 5(x - 1) = 3
\]
Ausmultiplizieren:
\[
3x + 5x - 5 = 3
\]
Gleiche Terme zusammenfassen:
\[
8x - 5 = 3
\]
Addiere 5:
\[
8x = 8
\]
Durch 8 teilen:
\[
x = 1
\]
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Finden Sie alle reellen Lösungen für die folgenden quadratischen Gleichungen.
Lösung
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Alle Terme durch 2 teilen:
\[
\frac{2x^2}{2} - \frac{8}{2} = \frac{0}{2}
\]
Vereinfachen:
\[
x^2 - 4 = 0
\]
Faktorisieren:
\[
(x - 2)(x + 2) = 0
\]
Lösen:
\[
x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2
\]
\[
x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2
\]
Lösungsmenge: \(\{-2, 2\}\)
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Die Gleichung
\[
x^2 = -5
\]
hat **keine reelle Lösung**, da das Quadrat einer reellen Zahl niemals negativ ist.
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Faktorisieren:
\[
2x^2 + 5x - 7 = 0
\]
\[
(2x + 7)(x - 1) = 0
\]
Lösen:
\[
2x + 7 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{7}{2}
\]
\[
x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1
\]
Lösungsmenge: \(\left\{-\frac{7}{2}, 1\right\}\)
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\[
(x - 2)(x + 3) = 0
\]
\[
x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2
\]
\[
x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -3
\]
Lösungsmenge: \(\{-3, 2\}\)
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Ausmultiplizieren:
\[
x^2 + 6x - 7 = 9
\]
Alle Terme auf eine Seite bringen:
\[
x^2 + 6x - 16 = 0
\]
Faktorisieren:
\[
(x + 8)(x - 2) = 0
\]
Lösen:
\[
x + 8 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -8
\]
\[
x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2
\]
Lösungsmenge: \(\{-8, 2\}\)
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Ausmultiplizieren und Terme auf eine Seite bringen:
\[
x^2 - 6x + 9 = 0
\]
Faktorisieren:
\[
(x - 3)^2 = 0
\]
Lösen:
\[
x - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3
\]
Lösungsmenge: \(\{3\}\)
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Finden Sie alle reellen Lösungen für die folgenden Gleichungen.
Lösung
-
Umschreiben:
\[
x^3 = 1728
\]
Ziehen Sie die Kubikwurzel:
\[
(x^3)^{\frac{1}{3}} = (1728)^{\frac{1}{3}}
\]
Vereinfachen:
\[
x = 12
\]
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Ziehen Sie die Kubikwurzel:
\[
(x^3)^{\frac{1}{3}} = (-64)^{\frac{1}{3}}
\]
Vereinfachen:
\[
x = -4
\]
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Die Gleichung
\[
\sqrt{x} = -1
\]
hat **keine reelle Lösung**, weil die Quadratwurzel einer reellen Zahl niemals negativ ist.
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Beide Seiten quadrieren:
\[
(\sqrt{x})^2 = 5^2
\]
Vereinfachen:
\[
x = 25
\]
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Beide Seiten quadrieren:
\[
\left(\sqrt{\frac{x}{100}}\right)^2 = 4^2
\]
Vereinfachen:
\[
\frac{x}{100} = 16
\]
Mit 100 multiplizieren:
\[
x = 1600
\]
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Beide Seiten quadrieren:
\[
\left(\sqrt{\frac{200}{x}}\right)^2 = 2^2
\]
Vereinfachen:
\[
\frac{200}{x} = 4
\]
Beide Seiten mit \(x\) multiplizieren:
\[
200 = 4x
\]
Lösen:
\[
x = 50
\]
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Berechnen Sie für die gegebenen Werte von a und b.
Lösung
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Für \(a = 2\) und \(b = 2\):
\[
a^2 + b^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8
\]
Für \(a = -3\) und \(b = 5\):
\[
|2a - 3b| = |2(-3) - 3(5)| = |-6 - 15| = |-21| = 21
\]
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Für \(a = -1\) und \(b = -2\):
\[
3a^3 - 4b^4 = 3(-1)^3 - 4(-2)^4
\]
\[
= 3(-1) - 4(16) = -3 - 64 = -67
\]
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Lösen Sie die folgenden Ungleichungen.
Lösung
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\[
x + 3 \lt 0
\]
Subtrahiere 3 von beiden Seiten:
\[
x \lt -3
\]
-
\[
x + 1 > -x + 5
\]
Addiere \(x\) zu beiden Seiten:
\[
2x + 1 > 5
\]
Subtrahiere 1 von beiden Seiten:
\[
2x > 4
\]
Durch 2 teilen:
\[
x > 2
\]
-
\[
2(x - 2) \lt -(x + 7)
\]
Ausmultiplizieren:
\[
2x - 4 \lt -x - 7
\]
Addiere 4 zu beiden Seiten:
\[
2x \lt -x - 3
\]
Addiere \(x\) zu beiden Seiten:
\[
3x \lt -3
\]
Durch 3 teilen:
\[
x \lt -1
\]
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Für welchen Wert der Konstanten k hat die quadratische Gleichung \(x^2 + 2x = -2k\) zwei verschiedene reelle Lösungen?
Lösung
Schreiben Sie mit der rechten Seite gleich Null um:
\[
x^2 + 2x + 2k = 0
\]
Die Diskriminante ist:
\[
D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(2k) = 4 - 8k
\]
Für zwei verschiedene reelle Lösungen gilt \(D > 0\):
\[
4 - 8k > 0
\]
\[
k \lt \frac{1}{2}
\]
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Für welchen Wert der Konstanten b hat die lineare Gleichung \(2x + by = 2\) eine Steigung gleich 2?
Lösung
Lösen nach \(y\):
\[
by = -2x + 2
\]
\[
y = \frac{-2}{b}x + \frac{2}{b}
\]
Die Steigung ist:
\[
\frac{-2}{b} = 2
\]
Multiplizieren mit \(b\):
\[
-2 = 2b
\]
\[
b = -1
\]
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Was ist der y-Achsenabschnitt der Geraden \(-4x + 6y = -12\)?
Lösung
Setze \(x = 0\):
\[
-4(0) + 6y = -12
\]
\[
6y = -12
\]
\[
y = -2
\]
y-Achsenabschnitt: \((0, -2)\)
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Was ist der x-Achsenabschnitt der Geraden \(-3x + y = 3\)?
Lösung
Setze \(y = 0\):
\[
-3x + 0 = 3
\]
\[
-3x = 3
\]
\[
x = -1
\]
x-Achsenabschnitt: \((-1, 0)\)
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Was ist der Schnittpunkt der Geraden \(x - y = 3\) und \(-5x - 2y = -22\)?
Lösung
Aus \(x - y = 3\):
\[
x = 3 + y
\]
Einsetzen in \(-5x - 2y = -22\):
\[
-5(3 + y) - 2y = -22
\]
\[
-15 - 5y - 2y = -22
\]
\[
-7y = -22 + 15
\]
\[
-7y = -7
\]
\[
y = 1
\]
Einsetzen in \(x = 3 + y\):
\[
x = 3 + 1 = 4
\]
Schnittpunkt: \((4, 1)\)
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Für welchen Wert der Konstanten \(k\) verläuft die Gerade \(-4x + ky = 2\) durch den Punkt \((2, -3)\)?
Lösung
Setze \(x = 2\) und \(y = -3\) in die Gleichung ein:
\[
-4(2) + k(-3) = 2
\]
\[
-8 - 3k = 2
\]
\[
-3k = 10
\]
\[
k = -\frac{10}{3}
\]
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Was ist die Steigung der Geraden \(y - 4 = 10\)?
Lösung
In die Steigungsachsenform umschreiben:
\[
y = 14
\]
Dies ist eine horizontale Gerade, also:
\[
\text{Steigung} = 0
\]
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Was ist die Steigung der Geraden \(2x = -8\)?
Lösung
Umschreiben:
\[
x = -4
\]
Dies ist eine vertikale Gerade, daher ist die Steigung nicht definiert.
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Finden Sie die x- und y-Achsenabschnitte der Geraden \(x = -3\).
Lösung
Dies ist eine vertikale Gerade mit nur einem x-Achsenabschnitt:
\[
(-3, 0)
\]
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Finden Sie die x- und y-Achsenabschnitte der Geraden \(3y - 6 = 3\).
Lösung
Umschreiben:
\[
3y - 6 = 3
\]
\[
3y = 9
\]
\[
y = 3
\]
Dies ist eine horizontale Gerade mit nur einem y-Achsenabschnitt:
\[
(0, 3)
\]
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Was ist die Steigung einer Geraden parallel zur x-Achse?
Lösung
Eine Gerade parallel zur x-Achse ist horizontal:
\[
\text{Steigung} = 0
\]
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Was ist die Steigung einer Geraden senkrecht zur x-Achse?
Lösung
Eine Gerade senkrecht zur x-Achse ist vertikal, daher ist die Steigung nicht definiert.
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