Lösungen zu Exponentenaufgaben für die 9. Klasse

Detaillierte Lösungen zu Fragen über Exponenten für die 9. Klasse werden präsentiert.
Die Exponentenregeln, die zur Beantwortung der folgenden Fragen verwendet werden, sind enthalten.

Lösungen zu den Fragen

  1. Berechne das Folgende.
    1. ) \( 1^1 = 1\)
    2. ) \( 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\)
    3. ) \( (-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4\)
    4. ) \( (-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = - 8 \)
    5. ) \( 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81\)
    6. ) \( 4^2 = 4 \cdot 4 = 16 \)
    7. ) \( 2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32\)
    8. ) \( 5^2 = 5 \cdot 5 = 25 \)
    9. ) \( (-1)^6 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = 1\)
    10. ) \( 7^2 = 7 \cdot 7 = 49 \)
    11. ) \( (-9)^2 = (-9) \cdot (-9) = 81\)
    12. ) \( 3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27 \)
    13. ) \( 10^2 = 10 \cdot 10 = 100\)
    14. ) \( 10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\)
    15. ) \( 0.1^3 = 0.1 \cdot 0.1 \cdot 0.1 = 0.001\)

  2. Schreibe die folgenden Zahlen in Exponentenform mit einem Exponenten ungleich \( 1 \). Es kann mehr als eine Antwort geben.
    1. ) \( 0 = 0^1 = 0^3 = 0^5 ...\) viele mögliche Antworten (HINWEIS: \( 0^0 \) ist undefiniert).
    2. ) \( 1 = 1^0 = 1^1 = 1^2 = ... \) viele mögliche Antworten
    3. ) \( 4 = 2^2 = (-2)^2\)
    4. ) \( 8 = 2^3\)
    5. ) \( 9 = 3^2 = (-3)^2\)
    6. ) \( 16 = 2^4 = 4^2 = (-2)^4 = (-4)^2\)
    7. ) \( 25 = 5^2 = (-5)^2\)
    8. ) \( 32 = 2^5 \)
    9. ) \( 49 = 7^2 = (-7)^2\)
    10. ) \( 64 = 8^2 = 4^3 = (-8)^2 \)
    11. ) \( 81 = 9^2 = (-9)^2 \)
    12. ) \( 100 = 10^2 = (-10)^2\)
    13. ) \( -27 = (-3)^3\)
    14. ) \( -8 = (-2)^3 \)
    15. ) \( -64 = (-4)^3 \)

  3. Verwende die obigen Regeln, um die folgenden Ausdrücke zu berechnen. Einige Lösungen werden präsentiert, aber es gibt andere Wege, diese Fragen zu beantworten.
    1. ) \( 120^0 = 1\)     Regel 9
    2. ) \( 2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8} = 0.125 \)     Regel 2
    3. ) \( 2^{-3} \cdot 2^6 = 2^{-3+6} = 2^{3} = 8\)     Regel 3
    4. ) \( 2^{3} \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3 = 6^3 = 216\)     Regel 4
    5. ) \( \dfrac{3^{10}}{3^8} = 3^{10-8} = 3^2 = 9 \)     Regel 5
    6. ) \( 4^{-1} = \dfrac{1}{4^1} = \dfrac{1}{4} = 0.25\)     Regel 2
    7. ) \( \dfrac{8^3}{4^3} = \left(\dfrac{8}{4} \right)^3 = 2^3 = 8\)     Regel 6
    8. ) \( \dfrac{100^3}{10^3} = \left(\dfrac{100}{10} \right)^3 = 10^3 = 1000\)     Regel 6
    9. ) \( (2^{2})^2 = 2^{2 \cdot 2} = 2^4 = 16\)     Regel 8
    10. ) \( (1^{3})^{25} = 1^{3 \cdot 25} = 1^{75} = 1 \)     Regel 8 und 11
    11. ) \( ((-1)^{2})^{20} = (-1)^{2 \cdot 20} = (-1)^{40} = 1 \)     Regel 8 und 12
    12. ) \( - 2^{-2} = - \dfrac{1}{2^2} = - \dfrac{1}{4} = - 0.25\)     Regel 2
    13. ) \( ((-1)^{-1})^{-1} = (-1)^{(-1) \cdot (-1)} = (-1)^1 = - 1 \)     Regel 8 und 12
    14. ) \( \left (\dfrac{100}{10} \right)^{-2} = \left (\dfrac{10}{100} \right)^{2} = 0.1^2 = 0.01\)     Regel 7
    15. ) \( \left (\dfrac{10}{1000} \right)^{-2} = \left (\dfrac{1000}{10} \right)^{2} = 100^2 = 10000 \)     Regel 7

  4. Vereinfache und schreibe die folgenden Ausdrücke mit einem einzelnen positiven Exponenten, falls möglich.
    1. ) \( 3^2 \cdot 3^8 = 3^{2+8} = 3^{10} \)     Regel 3
    2. ) \( \dfrac{2^5}{2^2} = 2^{5-2} = 2^3\)     Regel 5
    3. ) \( \left( {3^5} \right)^2 = 3^{5\cdot2} = 3^{10}\)     Regel 8
    4. ) \( 6^4 \cdot \dfrac{6^5}{6^2} = 6^4 \cdot 6^{5-2} = 6^4 \cdot 6^{3} = 6^{4+3} = 6^7 \)     Regeln 5 und 3
    5. ) \( (-7)^2 \cdot (-7)^3 = (-7)^{2+3} = (-7)^5\)     Regel 3
    6. ) \( \left( {5^2} \right)^2 \cdot \left( {5^3} \right)^3 \cdot 5 = \left( {5^2} \right)^2 \cdot \left( {5^3} \right)^3 \cdot 5^1 =5^{2+3+1} = 5^6\)     Regel 3 erweitert auf 3 Terme
    7. ) \( x^{-1} x^3 = x^{-1+3} = x^2\)     Regel 3
    8. ) \( \dfrac{a^5}{a^2} = a^{5-2} = a^3\)     Regel 5
    9. ) \( \dfrac{a^2}{a^7} = a^{2-7} = a^{-5} = \dfrac{1}{a^5} \)     Regel 5 und 2
    10. ) \( 2^{x} \cdot 4^3 \cdot 2^{y} \)
      Schreibe \( 4 \) als \( 2^2 \) und forme den gegebenen Ausdruck um
      \( = 2^{x} \cdot (2^2)^3 \cdot 2^{y} \)
      Verwende Regel 8, um \( (2^2)^3 \) als \( 2^6 \) umzuschreiben
      \( = 2^{x} \cdot 2^6 \cdot 2^{y} \)
      Verwende Regel 3 erweitert auf drei Terme mit gleicher Basis
      \( = 2^{x + 6 + y} \)
    11. ) \( (3^{-1})^x \)
      Verwende Regel 8, um den gegebenen Ausdruck umzuschreiben
      \( = 3^{(-1) \cdot x} \)
      Vereinfache den Exponenten: \( (-1) \cdot x = - x \)
      \( = 3^{-x} \)
      Verwende Regel 2, um ihn umzuschreiben
      \( = \dfrac{1}{3^x} \)
    12. ) \( 3^{x} \cdot 9^{x} \)
      Verwende Regel 4
      \( = (3 \cdot 9)^x\)
      Vereinfache
      \( = 27^x \)
    13. ) \( \dfrac{a^x}{a^4} a^6 \)
      Verwende Regel 5, um \( \dfrac{a^x}{a^4} \) als \( a^{x-4} \) zu schreiben und ersetze es im gegebenen Ausdruck
      \( = a^{x-4} \cdot a^6 \)
      Verwende Regel 3
      \( = a^{x-4 + 6} \)
      Vereinfache
      \( = a^{x+2} \)

  5. Vereinfache die folgenden Ausdrücke.

    1. ) \( a^2 \cdot \dfrac{a^5}{a^2} = a^2 \cdot a^{5-2} = a^2 \cdot a^3 = a^{2+3} = a^5 \)
    2. ) \( \left (\dfrac{3 x}{x} \right)^3\)
      Vereinfache durch Kürzen von \( x \) innerhalb der Klammer
      \( = \left (\dfrac{3 }{ 1} \right)^3 = 3^3 = 27\)
    3. ) \( (2^{2})^2 \)
      Berechne \( 2^{2} \) zu \( 4 \) innerhalb der Klammer
      \( = 4^2 = 16 \)
    4. ) \( \dfrac{1}{4} \cdot \left (\dfrac{2x}{x} \right)^2\)
      Vereinfache durch Kürzen von \( x \) innerhalb der Klammer
      \( = \dfrac{1}{4} \cdot \left (\dfrac{2}{1} \right)^2\)
      \( = \dfrac{1}{4} \cdot 2^2 = \dfrac{1}{4} \cdot 4 = 1\)
    5. ) \( \dfrac{y^4 x^3}{x^2 y^2} \)
      Schreibe es als Produkt zweier Brüche um, wobei Zähler und Nenner jedes Bruchs die gleiche Variable haben
      \( = \dfrac{x^3}{x^2} \cdot \dfrac{y^4}{y^2} \)
      Wende Regel 5 auf jeden Bruch an
      \( = x^{3-2} \cdot y^{4-2} \)
      Vereinfache
      \( = x y^2 \)
    6. ) \( \dfrac{x^2}{4y^2} \cdot \left (\dfrac{8y}{x} \right)^2\)
      Wende Regel 6 auf den Term \( \left (\dfrac{8y}{x} \right)^2 \) an
      \( = \dfrac{x^2}{4y^2} \cdot \dfrac{(8y)^2}{x^2} \)
      Wende Regel 4 auf den Term \( (8y)^2 \) an
      \( = \dfrac{x^2}{4y^2} \cdot \dfrac{8^2 y^2}{x^2} \)
      Schreibe es als Produkt von drei Brüchen um
      \( = \left(\dfrac{8^2}{4}\right) \cdot \left(\dfrac{x^2}{x^2}\right) \cdot \left(\dfrac{y^2}{y^2}\right) \)
      Schreibe \( 8^2 \) als \( (2^3)^2 = 2^6 \) und \( 4 \) als \( 2^2 \)
      \( = \left(\dfrac{2^6}{2^2}\right) \cdot \left(\dfrac{x^2}{x^2}\right) \cdot \left(\dfrac{y^2}{y^2}\right) \)
      Verwende Regel 5 für den Bruch \( \dfrac{2^6}{2^2} \) und kürze gleiche Terme in den anderen beiden Brüchen
      \( = 2^{6-2} \cdot 1 \cdot 1 = 2^4 = 16 \)
    7. ) \( ( - 6 a)^2 \cdot (a^2 + 1)^0 \)
      Verwende Regel 9, um \( (a^2 + 1)^0 \) auf 1 zu vereinfachen
      \( = ( - 6 a)^2 \cdot 1 \)
      Verwende Regel 4 erweitert auf die drei Terme in \( ( - 6 a)^2 \)
      \( = (-1)^2 6^2 a^2 \)
      Vereinfache
      \( = 36 a^2 \)

Weitere Referenzen und Links