Diese Seite wurde entwickelt, um Schülern, Eltern und Lehrern dabei zu helfen, die Eigenschaften von Potenzen durch sorgfältig ausgewählte Fragen und detaillierte Schritt-für-Schritt-Lösungen zu beherrschen, die direkt unter jedem Aufgabenblock zu finden sind.
Die Potenzschreibweise ist eine bequeme Art, lange, wiederholte Multiplikationen derselben Zahl mit sich selbst zu schreiben:
\[ \underbrace{ a \cdot a \cdot a \dots a}_{ n \text{ mal} } = a^n \]
Hierbei ist \( a \) die Basis (eine reelle Zahl) und \( n \) der Exponent (eine ganze Zahl). Der Ausdruck \( a^n \) wird gelesen als "\(a\) hoch \(n\)". Das Verständnis dieser Regeln ist ein entscheidender Grundstein für fortgeschrittene Algebra und Analysis.
Gehen Sie diese grundlegenden Eigenschaften durch, bevor Sie die unten stehenden Fragen bearbeiten:
| # | Regel | Definition | Beispiele |
|---|---|---|---|
| 1 | Potenzform | \( \underbrace{ a \cdot a \cdot a \dots a}_{ n \text{ mal} } = a^n \) | \( 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5 \) \( 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \) |
| 2 | Negativer Exponent | \( a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \) oder \( a^{n} = \dfrac{1}{a^{-n}} \) | \( 3^{-4} = \dfrac{1}{3^4} \) \( 5^{-2} = \dfrac{1}{5^2} \) |
| 3 | Produktregel (Gleiche Basis) | \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) | \( 2^4 \cdot 2^6 = 2^{4+6} = 2^{10} \) \( 3^{2+6} = 3^2 \cdot 3^6 \) |
| 4 | Produktregel (Gleicher Exponent) | \( a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m \) | \( 2^5 \cdot 3^5 = (2 \cdot 3)^5 = 6^5 \) \( (4 \cdot 3)^2 = 4^2 \cdot 3^2 \) |
| 5 | Quotientenregel (Gleiche Basis) | \( \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m - n} \) | \( \dfrac{2^6}{2^4} = 2^{6-4} = 2^{2} \) \( 3^{5-2} = \dfrac{3^5}{3^2} \) |
| 6 | Quotientenregel (Gleicher Exponent) | \( \left( \dfrac{a}{b} \right)^m = \dfrac{a^m}{b^m} \) | \( \left( \dfrac{3}{5} \right)^4 = \dfrac{3^4}{5^4} \) \( \dfrac{4^2}{5^2} = \left( \dfrac{4}{5} \right)^2 \) |
| 7 | Quotientenregel (Negativer Exponent) | \( \left( \dfrac{a}{b} \right)^{-m} = \dfrac{b^m}{a^m} \) | \( \left( \dfrac{3}{5} \right)^{-2} = \dfrac{5^2}{3^2} \) |
| 8 | Potenzregel | \( (a^n)^m = a^{n \cdot m} \) | \( (2^3)^4 = 2^{3\cdot4} = 2^{12} \) \( 3^{4 \cdot 5} = (3^4)^5 = (3^5)^4 \) |
| 9 | Null-Exponent-Regel | \( a^0 = 1 \) (für \(a \neq 0\)) | \( 10000000^0 = 1 \) Hinweis: \( \color{red}{0^0 \text{ ist undefiniert}} \) |
| 10 | Exponent-Eins-Regel | \( a^1 = a \) | \( 45^1 = 45 \) \( 100 = 100^1 \) |
| 11 | Basis-Eins-Regel | \( 1^n = 1 \) | \( 1^{230} = 1 \) \( 1^{-100} = 1 \) |
| 12 | Basis-Minus-Eins-Regel | \( (-1)^n = \begin{cases} 1, & \text{wenn } n \text{ gerade ist} \\ -1, & \text{wenn } n \text{ ungerade ist} \end{cases} \) | \( (-1)^{19} = -1 \) \( (-1)^{18} = 1 \) |
Anleitung: Versuchen Sie, alle folgenden Fragen ohne Taschenrechner zu lösen, bevor Sie den Lösungsblock öffnen.