Fragen zu Exponenten mit Antworten für die 9. Klasse

Fragen der 9. Klasse zu Exponenten werden zusammen mit Lösungen und ausführlichen Erklärungen präsentiert.

Regeln und Eigenschaften von Exponenten

Die Exponentialschreibweise ist eine bequeme Möglichkeit, lange, wiederholte Multiplikationen derselben Zahl darzustellen. \[ \underbrace{ a \cdot a \cdot a ... a}_{ n \; \; \text{Mal} } = a^n\] \( a \) wird als Basis bezeichnet und ist eine reelle Zahl, und \( n \) wird als Exponent bezeichnet und ist eine ganze Zahl. \( a^n \) wird gelesen als " \( a \) hoch \(n\)"

Definitionen und Bezeichnungen der Regeln Regel Beispiele
1 Exponentenschreibweise \( \underbrace{ a \cdot a \cdot a ... a}_{ n \; \; \text{Mal} } = a^n\) \( 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5 \)
\( 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \)
2 Negativer Exponent \( a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \) oder   \( a^{n} = \dfrac{1}{a^{-n}} \) \( 3^{-4} = \dfrac{1}{3^4}\)
\( 5^{-2} = \dfrac{1}{5^2} \)
3 Produktregel mit gleicher Basis \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) \( 2^4 \cdot 2^6 = 2^{4+6} = 2^{10} \)
\( 3^{2 + 6 } = 3^2 \cdot 3^6 \)
4 Produktregel mit gleichem Exponenten \( a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m \) \( 2^5 \cdot 3^5 = (2 \cdot 3)^5 = 6^5 \)
\( (4 \cdot 3)^2 = 4^2 \cdot 3^2 \)
5 Quotientenregel mit gleicher Basis \( \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m - n} \) \( \dfrac{2^6}{2^4} = 2^{6-4} = 2^{2} \)
\( 3^{5 - 2 } = \dfrac{3^5}{3^2} \)
6 Quotientenregel mit gleichem Exponenten \( \left( \dfrac{a}{b} \right)^m = \dfrac{a^m}{b^m} \) \( \left( \dfrac{3}{5} \right)^4 = \dfrac{3^4}{5^4} \)
\( \dfrac{4^2}{5^2} = \left( \dfrac{4}{5} \right)^2\)
7 Quotientenregel mit negativem Exponenten \( \left( \dfrac{a}{b} \right)^{-m} = \dfrac{b^m}{a^m} \) \( \left( \dfrac{3}{5} \right)^{-2} = \dfrac{5^2}{3^2} \)
8 Potenzregel \( (a^n)^m = a^{n \cdot m} \) \( (2^3)^4 = 2^{3\cdot4} = 2^{12}\)
\( 3^{4 \cdot 5} = (3^4)^5 = (3^5)^4 \)
9 Exponent-Null-Regel \( a^0 = 1 , \text{für } a \ne 0 \) \( 10000000^0 = 1\)
\( 1 = 2^0 = 8^0 = 12090^0 \)
HINWEIS
\( \color{red}{{ 0^0 = \text{nicht definiert}}} \)
10 Exponent-Eins-Regel \( a^1 = a \) \( 45^1 = 45\)
\( 100 = 100^1 \)
\( 7 = 7^1 \)
11 Basis-Eins-Regel \( 1^n = 1 \) \( 1^{230} = 1\)
\( 1^{-100} = 1 \)
12 Regel für Basis minus Eins \( (-1)^n =\begin{cases} 1 , \text{wenn n gerade} \\ -1 , \text{wenn n ungerade} \end{cases} \) \( (-1)^{19} = -1\)
\( (-1)^{18} = 1 \)

Fragen

    VERWENDE KEINEN TASCHENRECHNER.

  1. Berechne die folgenden Ausdrücke.
    1. ) \( 1^1 \)
    2. ) \( 2^3 \)
    3. ) \( (-2)^2 \)
    4. ) \( (-2)^3 \)
    5. ) \( 3^4 \)
    6. ) \( 4^2\)
    7. ) \( 2^5 \)
    8. ) \( 5^2 \)
    9. ) \( (-1)^6\)
    10. ) \( 7^2 \)
    11. ) \( (-9)^2 \)
    12. ) \( 3^3\)
    13. ) \( 10^2\)
    14. ) \( 10^3\)
    15. ) \( 0.1^3\)

  2. Schreibe die folgenden Zahlen in Exponentialform mit einem Exponenten ungleich \( 1 \). Es könnte mehr als eine Antwort geben.
    1. ) \( 0 \)
    2. ) \( 1 \)
    3. ) \( 4 \)
    4. ) \( 8 \)
    5. ) \( 9 \)
    6. ) \( 16 \)
    7. ) \( 25 \)
    8. ) \( 32 \)
    9. ) \( 49 \)
    10. ) \( 64 \)
    11. ) \( 81 \)
    12. ) \( 100 \)
    13. ) \( -27 \)
    14. ) \( -8 \)
    15. ) \( -64 \)

  3. Verwende die obigen Regeln, um die folgenden Ausdrücke zu berechnen.
    1. ) \( 120^0 \)
    2. ) \( 2^{-3} \)
    3. ) \( 2^{-3} \cdot 2^6\)
    4. ) \( 2^{3} \cdot 3^3\)
    5. ) \( \dfrac{3^{10}}{3^8} \)
    6. ) \( 4^{-1} \)
    7. ) \( \dfrac{8^3}{4^3} \)
    8. ) \( \dfrac{100^3}{10^3}\)
    9. ) \( (2^{2})^2 \)
    10. ) \( (1^{3})^{25} \)
    11. ) \( ((-1)^{2})^{20} \)
    12. ) \( - 2^{-2} \)
    13. ) \( ((-1)^{-1})^{-1} \)
    14. ) \( \left (\dfrac{100}{10} \right)^{-2}\)
    15. ) \( \left (\dfrac{10}{1000} \right)^{-2}\)

  4. Vereinfache und schreibe die folgenden Ausdrücke möglichst mit einem einzigen positiven Exponenten.

    1. ) \( 3^2 \cdot 3^8 \)
    2. ) \( \dfrac{2^5}{2^2} \)
    3. ) \( \left( {3^5} \right)^2 \)
    4. ) \( 6^4 \cdot \dfrac{6^5}{6^2} \)
    5. ) \( (-7)^2 \cdot (-7)^3 \)
    6. ) \( \left( {5^2} \right)^2 \cdot \left( {5^3} \right)^3 \cdot 5\)
    7. ) \( x^{-1} x^3\)
    8. ) \( \dfrac{a^5}{a^2} \)
    9. ) \( \dfrac{a^2}{a^7} \)
    10. ) \( 2^{x} \cdot 4^3 \cdot 2^y \)
    11. ) \( (3^{-1})^x \)
    12. ) \( 3^{x} \cdot 9^{x} \)
    13. ) \( \dfrac{a^x}{a^4} a^6 \)

  5. Vereinfache die folgenden Ausdrücke.
    1. ) \( a^2 \cdot \dfrac{a^5}{a^2} \)
    2. ) \( \left (\dfrac{3x}{x} \right)^3\)
    3. ) \( (2^{2})^2 \)
    4. ) \( \dfrac{1}{4} \cdot \left (\dfrac{2x}{x} \right)^2\)
    5. ) \( \dfrac{y^4 x^3}{x^2y^2} \)
    6. ) \( \dfrac{x^2}{4y^2} \cdot \left (\dfrac{8y}{x} \right)^2\)
    7. ) \( 6 a^2 \cdot (a^2 + 1)^0 \)
Lösungen und ausführliche Erklärungen zu den obigen Fragen.

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