Die Winkel \(A\) und \(B\) sind komplementär, und das Maß von Winkel \(A\) ist doppelt so groß wie das Maß von Winkel \(B\). Finden Sie die Maße der Winkel \(A\) und \(B\).
Lösung
Sei \(A\) das Maß von Winkel \(A\) und \(B\) das Maß von Winkel \(B\). Somit \[ A = 2B \] Die Winkel \(A\) und \(B\) sind komplementär; daher \[ A + B = 90^\circ \] Aber \(A = 2B\); daher \[ 2B + B = 90 \] \[ 3B = 90 \] \[ B = \frac{90}{3} = 30^\circ \] \[ A = 2B = 60^\circ \]
ABCD ist ein Parallelogramm, so dass \( AB \parallel DC \) und \( DA \parallel CB \). Die Länge der Seite \( AB \) beträgt \( 20 \, \text{cm} \). E ist ein Punkt zwischen A und B, so dass die Länge von \( AE \) \( 3 \, \text{cm} \) beträgt. F ist ein Punkt zwischen den Punkten D und C. Finden Sie die Länge von \( DF \), so dass die Strecke \( EF \) das Parallelogramm in zwei Bereiche mit gleichen Flächen teilt.
Lösung
Sei \( A_1 \) die Fläche des Trapezes AEFD. Daher \[ A_1 = \frac{1}{2} h (AE + DF) = \frac{1}{2} h (3 + DF), \] wobei \( h \) die Höhe des Parallelogramms ist.
Sei nun \( A_2 \) die Fläche des Trapezes EBCF. Daher \[ A_2 = \frac{1}{2} h (EB + FC) \] Wir haben auch \[ EB = 20 - AE = 17, \quad FC = 20 - DF \] Einsetzen von \( EB \) und \( FC \) in \( A_2 \): \[ A_2 = \frac{1}{2} h (17 + 20 - DF) = \frac{1}{2} h (37 - DF) \]
Damit \( EF \) das Parallelogramm in zwei Bereiche gleicher Fläche teilt, setzen wir \( A_1 = A_2 \): \[ \frac{1}{2} h (3 + DF) = \frac{1}{2} h (37 - DF) \] Multiplizieren Sie beide Seiten mit 2 und dividieren Sie durch \( h \): \[ 3 + DF = 37 - DF \] Lösen Sie nach \( DF \) auf: \[ 2DF = 37 - 3 \] \[ 2DF = 34 \] \[ DF = 17 \ \text{cm} \]
Finden Sie das Maß von Winkel \( A \) in der Abbildung unten.
Lösung
Ein erster Innenwinkel des Dreiecks ist supplementär zu dem Winkel, dessen Maß \( 129^\circ \) beträgt, und ist gleich:
\[ 180^\circ - 129^\circ = 51^\circ \]Ein zweiter Innenwinkel des Dreiecks ist supplementär zu dem Winkel, dessen Maß \( 138^\circ \) beträgt, und ist gleich:
\[ 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ \]Die Summe aller drei Winkel des Dreiecks ist gleich \( 180^\circ \). Daher:
\[ A + 51^\circ + 42^\circ = 180^\circ \] \[ A = 180^\circ - 51^\circ - 42^\circ = 87^\circ \]
ABC ist ein rechtwinkliges Dreieck. AM ist senkrecht zu BC. Die Größe des Winkels \( \angle ABC \) beträgt \( 55^\circ \). Finden Sie die Größe des Winkels \( \angle MAC \).
Lösung
Die Summe aller Winkel im Dreieck \(ABC\) ist gleich \(180^\circ\). Daher \[ \angle ABC + \angle ACB + 90^\circ = 180^\circ \] Setzen Sie \(\angle ABC = 55^\circ\) ein und lösen Sie nach \(\angle ACB\) auf: \[ \angle ACB = 180^\circ - 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ \] Die Summe aller Winkel im Dreieck \(AMC\) ist gleich \(180^\circ\). Daher \[ \angle MAC + \angle ACB + 90^\circ = 180^\circ \] Setzen Sie \(\angle ACB = 35^\circ\) ein und lösen Sie nach \(\angle MAC\) auf: \[ \angle MAC = 180^\circ - 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ \]Finden Sie die Größe des Winkels \( MBD \) in der Abbildung unten.
Lösung
Die Summe aller Winkel im Dreieck \( AMC \) ist gleich \( 180^\circ \). Daher
\[ 56 + 78 + \angle AMC = 180 \] \[ \angle AMC = 180 - 56 - 78 = 46^\circ \]Die Winkel \( AMC \) und \( DMB \) sind Scheitelwinkel und daher gleich groß. Daher
\[ \angle DMB = 46^\circ \]Die Summe der Winkel des Dreiecks \( DMB \) ist gleich \( 180^\circ \). Daher
\[ \angle MBD + \angle DMB + 62 = 180 \]Setzen Sie \(\angle DMB = 46^\circ\) ein und lösen Sie nach \(\angle MBD\) auf:
\[ \angle MBD + 46 + 62 = 180 \] \[ \angle MBD = 180 - 46 - 62 = 72^\circ \]Die Größe des Winkels \(AOB\) beträgt \(132^\circ\) und die Größe des Winkels \(COD\) beträgt \(141^\circ\). Finden Sie die Größe des Winkels \(DOB\).
Lösung
Winkel \(AOB = 132^\circ\) und ist auch die Summe der Winkel \(AOD\) und \(DOB\). Daher \[ \angle AOD + \angle DOB = 132^\circ \quad \text{(I)} \] Winkel \(COD = 141^\circ\) und ist auch die Summe der Winkel \(COB\) und \(BOD\). Daher \[ \angle COB + \angle DOB = 141^\circ \quad \text{(II)} \] Wir addieren nun die linken Seiten miteinander und die rechten Seiten miteinander, um eine neue Gleichung zu erhalten: \[ \angle AOD + \angle DOB + \angle COB + \angle DOB = 132 + 141 \quad \text{(III)} \] Beachten Sie, dass \[ \angle AOD + \angle DOB + \angle COB = 180^\circ \] Ersetzen Sie \(\angle AOD + \angle DOB + \angle COB\) in (III) durch \(180^\circ\) und lösen Sie nach \(\angle DOB\) auf: \[ 180^\circ + \angle DOB = 132^\circ + 141^\circ \] \[ \angle DOB = 273^\circ - 180^\circ = 93^\circ \]
Finden Sie die Größe des Winkels \(x\) in der Abbildung.
Lösung
Der Innenwinkel des Vierecks auf der linken Seite, der supplementär zu \(x\) ist, ist gleich: \[ 180 - x \] Der Innenwinkel des Vierecks auf der linken Seite, der supplementär zu dem Winkel mit dem Maß \(111^\circ\) ist, ist: \[ 180 - 111 = 69^\circ \] Die Summe aller Innenwinkel des Vierecks ist gleich \(360^\circ\). Daher: \[ 41 + 94 + (180 - x) + 69 = 360 \] Lösen nach \(x\): \[ 384 - x = 360 \] \[ x = 384 - 360 = 24^\circ \]
Das untenstehende Rechteck besteht aus 12 kongruenten (gleich großen) Quadraten. Finden Sie den Umfang des Rechtecks, wenn die Fläche des Rechtecks gleich \( 432 \) Quadratzentimetern ist.
Lösung
Wenn die Gesamtfläche des Rechtecks \( 432 \ \text{cm}^2 \) beträgt, ist die Fläche eines Quadrats \[ \frac{432}{12} = 36 \ \text{cm}^2 \] Sei \( x \) die Seitenlänge eines kleinen Quadrats. Die Fläche eines kleinen Quadrats ist \[ x^2 = 36 \] Lösen nach \( x \): \[ x = 6 \ \text{cm} \] Die Länge \( L \) des Rechtecks ist \( 4x \) und die Breite \( W \) ist \( 3x \): \[ L = 4 \times 6 = 24 \ \text{cm}, \quad W = 3 \times 6 = 18 \ \text{cm} \] Der Umfang \( P \) des Rechtecks ist \[ P = 2(L + W) = 2(24 + 18) = 84 \ \text{cm} \]
ABC ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Größe des Winkels \( ACB \) gleich \( 74^\circ \). Die Längen der Seiten \( AM \), \( MQ \) und \( QP \) sind alle gleich. Finden Sie das Maß des Winkels \( QPB \).
Lösung
Winkel \( CAB \) im rechtwinkligen Dreieck \( ACB \) ist gegeben durch \[ 90^\circ - 74^\circ = 16^\circ \] Die Seiten \( AM \) und \( MQ \) sind gleich lang, und daher ist das Dreieck \( AMQ \) gleichschenklig. Daher \[ \angle AQM = \angle QAM = 16^\circ \] Die Summe aller Innenwinkel im Dreieck \( AMQ \) ist gleich \( 180^\circ \). Daher \[ 16^\circ + 16^\circ + \angle AMQ = 180^\circ \] Lösen nach \( \angle AMQ \) ergibt \[ \angle AMQ = 180^\circ - 32^\circ = 148^\circ \] Winkel \( QMP \) ist supplementär zu Winkel \( AMQ \). Daher \[ \angle QMP = 180^\circ - \angle AMQ = 180^\circ - 148^\circ = 32^\circ \] Die Längen \( QM \) und \( QP \) sind gleich; daher ist das Dreieck \( QMP \) gleichschenklig, und folglich \[ \angle QPM = \angle QMP = 32^\circ \] Winkel \( QPB \) ist supplementär zu Winkel \( QPM \). Daher \[ \angle QPB = 180^\circ - \angle QPM = 180^\circ - 32^\circ = 148^\circ \]Finden Sie die Fläche der gegebenen Form.
Lösung
Die Fläche der gegebenen Form kann ermittelt werden, indem die Fläche des rechten Dreiecks (rot) von der Fläche des großen Rechtecks subtrahiert wird (siehe Abbildung unten).
Die Seiten des rechten Dreiecks (rot) sind:
\[
15 - 10 = 5 \text{ cm}, \quad 20 - 8 = 12 \text{ cm}
\]
Die Fläche der gegebenen Form ist:
\[
\text{Fläche} = 20 \times 15 - \frac{1}{2} \times 12 \times 5 = 300 - 30 = 270 \text{ cm}^2
\]
Finden Sie die Fläche des schattierten Bereichs.
Lösung
Die Fläche der schattierten Form kann ermittelt werden, indem die Fläche des Rechtecks oben links von der Fläche des großen Rechtecks subtrahiert wird. \[ \text{Abmessungen des Rechtecks oben links:} \quad \text{Länge} = 30 - 8 = 22 \text{ cm}, \quad \text{Breite} = 15 - 4 = 11 \text{ cm} \] \[ \text{Fläche der schattierten Form} = 30 \times 15 - 22 \times 11 = 450 - 242 = 208 \text{ cm}^2 \]Die Eckpunkte des inneren (eingeschriebenen) Quadrats halbieren die Seiten des zweiten (äußeren) Quadrats. Finden Sie das Verhältnis der Fläche des äußeren Quadrats zur Fläche des inneren Quadrats.
Lösung
Sei \(2x\) die Seitenlänge des großen Quadrats (siehe Abbildung unten).
Die Fläche des großen Quadrats ist
\[
(2x) \times (2x) = 4x^2
\]
Die Fläche des inneren Quadrats ist
\[
y \times y = y^2
\]
Mit dem Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Dreieck, das durch die Hälfte des großen Quadrats gebildet wird, erhalten wir
\[
y^2 = x^2 + x^2 = 2x^2
\]
Das Verhältnis \(R\) der Fläche des äußeren Quadrats zur Fläche des inneren Quadrats ist
\[
R = \frac{4x^2}{y^2} = \frac{4x^2}{2x^2} = \frac{4}{2} = 2 : 1
\]