Übungsfragen
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Vereinfache die Ausdrücke:
a) \( 2\sqrt{8} - 4\sqrt{2} \qquad \) b) \( \dfrac{2 + \sqrt{12}}{2} \qquad\) c) \( 2\sqrt{3} + \dfrac{6}{\sqrt{3}} \qquad \) d) \( 3\sqrt{5} - \dfrac{1}{\sqrt{5} - 2} \)Video-Lösung ansehen
Diese Aufgabe beinhaltet das Vereinfachen von Ausdrücken mit Quadratwurzeln und Radikalen.
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Erweitere und vereinfache die folgenden Polynome:
a) \( -(-2x - 2)(-x + 3) - (3x^2 + x - 2) \qquad \) b) \( 3(-x - 5)^2 - 4x(-x - 7) \)Video-Lösung ansehen
Diese Aufgabe erfordert die Anwendung des Distributivgesetzes und das Zusammenfassen gleichartiger Terme.
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Vereinfache die folgenden Ausdrücke:
a) \( (2x^2)^2 (3x)^2 \qquad \) b) \( (10x^4)^0 (3x^4)^3 \qquad \) c) \( \dfrac{(-4x^4y^2)^2}{(2xy)^3} \)Video-Lösung ansehen
Wende die Potenzgesetze (Produktregel, Quotientenregel und Potenzregel) zur Vereinfachung an.
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Vereinfache die rationalen Ausdrücke:
a) \( \dfrac{-3x + 2}{x - 1} \cdot \dfrac{2x - 2}{3x - 2} \qquad \) b) \( \dfrac{(2n + 3)(3n + 15)}{(n - 5)(6n + 9)} \qquad \) c) \( \dfrac{2x^2 + x}{x(2x + 1)} \qquad \) d) \( \dfrac{x^2 + 2x - 3}{(x + 3)(2x - 2)} \)Video-Lösung ansehen
Faktoriere die Zähler und Nenner, um gemeinsame Terme zu finden, die gekürzt werden können.
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Werte die Ausdrücke für die gegebenen Variablenwerte aus und vereinfache sie:
a) \( \sqrt{x + 6} \), für \( x = -2 \qquad \) b) \( |x + y - 10| \), für \( x = -4 \) und \( y = 3 \qquad \) c) \( \dfrac{-x^3 + 1}{5} + \dfrac{x^2 - 2}{2} \), für \( x = -2 \)Video-Lösung ansehen
Setze die gegebenen Werte in die algebraischen Ausdrücke ein und vereinfache mithilfe der Vorrangregeln.
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Faktoriere die algebraischen Ausdrücke:
a) \( 4x - 16 \qquad \) b) \( 6x^2 + 2x \qquad \) c) \( x^2 - 9\qquad \) d) \( 9x^2 - 16y^2 \qquad \) e) \( x^2 - 4x - 5 \qquad \) f) \( \dfrac{1}{2}x^2 + x + \dfrac{1}{2} \)Video-Lösung ansehen
Finde den größten gemeinsamen Faktor (GGT) oder verwende Methoden wie Gruppieren oder die Differenz von Quadraten.
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Löse die folgenden Gleichungen:
a) \( -2(x + 2) - x = 3(x + 2) + 2 \qquad \) b) \( \dfrac{x - 2}{3} = \dfrac{2x + 1}{2} \qquad \) c) \( \dfrac{3x + 1}{4} - 2 = \dfrac{-x + 3}{2} \)Video-Lösung ansehen
Isoliere die Variable durch Anwendung der Umkehroperationen auf beiden Seiten der Gleichung.
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Löse die folgenden quadratischen Gleichungen:
a) \( (x-1)(x+8) = 0 \)
b) \( x(x-1) = 1 \)
c) \( 2x^2 + 6x = 8 \)Video-Lösung ansehen
Bei Standard-Quadratgleichungen gleich Null setzen und faktorisieren oder die Mitternachtsformel/Quadratische Lösungsformel anwenden.
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Löse die folgenden Gleichungen:
a) \( \sqrt{x} = 2 \)
b) \( \sqrt{x - 2} = 4 \)
c) \( \sqrt{\dfrac{x}{10}} = 2 \)Video-Lösung ansehen
Isoliere den Wurzelausdruck und quadriere dann beide Seiten, um die Quadratwurzel zu eliminieren.
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Löse die folgenden Ungleichungen und stelle die Lösungsmenge als Intervall, graphisch auf einem Zahlenstrahl und mit Ungleichungszeichen dar:
a) \( 3(x - 2) + 2x < -(x+2) \)
b) \( \dfrac{x + 5}{3} \ge \dfrac{-x+2}{2} \)
c) \( -(2x - 2) \le 3x + 12 \)Video-Lösung ansehen
Denke daran, das Ungleichheitszeichen umzudrehen, wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst oder dividierst.
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Für welchen Wert des Parameters \( a \) liegt der Punkt mit den Koordinaten \( (a, 3) \) auf der Geraden, deren Gleichung \( 2x - 3y = 4 \) lautet?
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Setze die Koordinaten in die Gleichung ein und löse nach dem unbekannten Parameter auf.
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Wie lautet der Schnittpunkt der Geraden mit den Gleichungen \( 2x + y = 5 \) und \( 3x - 2y = 4\)?
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Verwende das Einsetzungs- oder Additionsverfahren, um das lineare Gleichungssystem zu lösen.
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Wie lautet die Steigung jeder der Geraden mit den folgenden Gleichungen?
a) \( 4x = -2y + 4 \)
b) \( 3y = -9 \)
c) \( -5x = 10 \)Video-Lösung ansehen
Stelle jede Gleichung in die Normalform (\(y = mx + b\)) um, um die Steigung (\(m\)) zu identifizieren.
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Bestimme, falls möglich, die x- und y-Achsenabschnitte der Geraden mit den Gleichungen:
a) \( -3x = 2y + 6 \)
b) \( 2y = 8 \)
c) \( -3x = 6 \)Video-Lösung ansehen
Setze \( x = 0 \), um den y-Achsenabschnitt zu finden, und setze \( y = 0 \), um den x-Achsenabschnitt zu finden.
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a) Bestimme den Wert des Parameters \( s \), sodass die Steigung der Geraden durch die Punkte \( (-2 , s) \) und \( (-4, 5) \) gleich \( -1 \) ist.
b) Bestimme die Gleichung der Geraden.Video-Lösung ansehen
Verwende die Steigungsformel: \( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \).
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Bestimme die Gleichung der Geraden durch den Punkt \( (-2, 4) \), die senkrecht zu der Geraden mit der Gleichung \( -2y + 4x = -2 \) steht.
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Denke daran, dass senkrechte Geraden negative Kehrwert-Steigungen haben.
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Bestimme die Gleichung der unten dargestellten Geraden, wenn die Länge des Segments AB 3,1 beträgt, die Länge von BC 6,2 ist und Punkt \( D \) auf der Geraden liegt.
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Verwende die gegebenen Längen, um die Steigung (Anstieg durch Laufweite) zu berechnen, und leite daraus die Gleichung ab.
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Welche der folgenden Geraden mit den unten angegebenen Gleichungen hat eine negative Steigung?
a) \( 2x - 2y = 0 \)
b) \( 3x + 6y = 9 \)
c) \( -y = 9 \)
d) \( -y = -x + 3 \)Video-Lösung ansehen
Wandle jede Gleichung in das Format \( y = mx + b \) um, um das Vorzeichen von \( m \) zu prüfen.
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In der Abbildung unten hat ein Gebäude die Oberkante des ersten Stocks am Punkt C und die Oberkante des zweiten Stocks am Punkt D. Die Höhenwinkel von Punkt A, in einer Entfernung von 40 Metern am Boden, zu den Punkten C und D betragen \( 14^\circ \) bzw. \( 21^\circ \), und Punkt B befindet sich an der Basis des Gebäudes. Bestimme die Höhe \( DC \) vom ersten zum zweiten Stock.
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Verwende Tangens-Verhältnisse in den beiden rechtwinkligen Dreiecken, um die vertikalen Höhen zu finden, und subtrahiere sie dann.
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Die Bevölkerung einer kleinen Stadt nahm in einem Jahr um 600 zu. Dies entspricht einer Zunahme von 5% gegenüber dem Vorjahr. Wie hoch war die Bevölkerung der Stadt im Jahr vor dem Anstieg?
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Stelle eine Prozentgleichung auf: \( 0,05 \times \text{Original} = 600 \).
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Bestimme den Flächeninhalt der schraffierten Form, gegeben dass AE parallel zu CD verläuft, wobei CD der Durchmesser des Halbkreises ist. BC ist parallel zu ED, was senkrecht auf AE steht. Alle Längen in mm.
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Zerlege die komplexe Form in einfachere geometrische Figuren (Rechtecke, Dreiecke, Halbkreise), um den Gesamtflächeninhalt zu berechnen.
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Bestimme den Flächeninhalt eines regelmäßigen Sechsecks, dessen Umfang 18 cm beträgt.
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Ein regelmäßiges Sechseck besteht aus 6 gleichseitigen Dreiecken. Verwende den Umfang, um die Seitenlänge zu finden.
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Bestimme die schraffierte Fläche, die von einem Viertelkreis und einem Quadrat mit einer Diagonale von 10 mm eingeschlossen wird.
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Verwende die Diagonale, um die Seitenlänge des Quadrats zu finden, und interpretiere die Geometrie, um die Flächen subtrahieren zu können.
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Das Volumen des geraden Prismas beträgt \( 1500 \text{ cm}^3 \).
a) Bestimme die Länge \( L \) des Prismas.
b) Bestimme die Gesamtoberfläche (Mantelfläche und Grundflächen) des Prismas.
c) Welche Kosten entstehen bei der Herstellung des Prismas mit einem Material, das 200 $ pro Quadratmeter kostet?Video-Lösung ansehen
Berechne zuerst die Grundfläche, teile das Volumen durch die Grundfläche, um die Länge \( L \) zu erhalten, und berechne dann die Gesamtoberfläche und die Kosten.
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Unter 100 Schülern studieren 70 Mathematik (wobei einige auch Physik studieren) und 50 studieren Physik (wobei einige auch Mathematik studieren). Angenommen, jeder Student studiert mindestens eines der beiden Fächer:
a) Wie viele Studenten sind sowohl in Mathematik als auch in Physik eingeschrieben?
b) Wie viele sind nur für Mathematik eingeschrieben?
c) Wie viele sind nur für Physik eingeschrieben?Schritt-für-Schritt-Lösung ansehen
Sei \( M \) die Menge der Studenten, die Mathematik studieren, und \( P \) die Menge der Studenten, die Physik studieren.
- Gesamtzahl der Studenten: \( n(M \cup P) = 100 \)
- Studenten, die Mathematik studieren: \( n(M) = 70 \)
- Studenten, die Physik studieren: \( n(P) = 50 \)
a) Studenten in beiden (\( M \cap P \)):
Verwende die Formel der Mengenlehre:
\( n(M \cup P) = n(M) + n(P) - n(M \cap P) \)
\( 100 = 70 + 50 - n(M \cap P) \)
\( 100 = 120 - n(M \cap P) \)
\( n(M \cap P) = 20 \)b) Studenten nur in Mathematik:
Subtrahiere die Studenten, die beides studieren, von der Gesamtzahl der Mathematikstudenten:
\( 70 - 20 = 50 \)c) Studenten nur in Physik:
Subtrahiere die Studenten, die beides studieren, von der Gesamtzahl der Physikstudenten:
\( 50 - 20 = 30 \) -
In der Abbildung unten ist BC parallel zu DE. Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks ADE, wenn der Flächeninhalt des Dreiecks ABC \( 30 \text{ cm}^2 \) beträgt.
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Da die Linie \( BC \) parallel zur Linie \( DE \) verläuft, sind das Dreieck \( ABC \) und das Dreieck \( ADE \) ähnliche Dreiecke.
Wenn zwei Dreiecke ähnlich sind, ist das Verhältnis ihrer Flächeninhalte gleich dem Quadrat des Verhältnisses ihrer entsprechenden Seitenlängen. Sei das Verhältnis ihrer entsprechenden Seiten \( k = \dfrac{AD}{AB} = 9/3 = 3\).
Die Flächenformel, die die beiden Dreiecke in Beziehung setzt, lautet:
\( \text{Fläche}(ADE) = \text{Fläche}(ABC) \times \left( \dfrac{AD}{AB} \right)^2 \)\( \text{Fläche}(ADE) = 30 \times 3^2 = 270 { cm}^2 \)
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Ein Liter Wasser wiegt 1 Kilogramm und ein Kubikdezimeter (\( \text{dm}^3 \)) entspricht 1 Liter. Welches Gewicht hat das Wasser in einem rechtwinkligen Prisma-Behälter mit den Abmessungen 10 cm, 20 cm und 200 cm?
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Schritt 1: Berechne das Volumen in Kubikzentimetern (\( \text{cm}^3 \)).
Volumen \( = \text{Länge} \times \text{Breite} \times \text{Höhe} \)
\( V = 10 \text{ cm} \times 20 \text{ cm} \times 200 \text{ cm} = 40.000 \text{ cm}^3 \)Schritt 2: Wandle Kubikzentimeter in Kubikdezimeter (Liter) um.
Wir wissen, dass \( 1 \text{ dm} = 10 \text{ cm} \), also \( 1 \text{ dm}^3 = (10 \text{ cm})^3 = 1.000 \text{ cm}^3 \).
\( \text{Volumen in Litern} = \dfrac{40.000 \text{ cm}^3}{1.000 \text{ cm}^3/\text{L}} = 40 \text{ Liter} \)Schritt 3: Berechne das Gewicht.
Da 1 Liter 1 kg wiegt, beträgt das Gewicht des Wassers:
\( 40 \text{ Liter} \times 1 \text{ kg/L} = 40 \text{ kg} \) -
Linda fuhr auf dem Hinweg in eine Stadt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 65 Meilen pro Stunde und auf dem Rückweg über dieselbe Strecke mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 50 Meilen pro Stunde. Sie fuhr insgesamt 6 Stunden hin und zurück. Wie weit ist die Entfernung von Lindas Haus bis zu der besuchten Stadt? (Runden Sie Ihr Ergebnis auf die nächste Meile).
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Sei \( D \) die einfache Entfernung in die Stadt.
Unter Verwendung der Formel \( \text{Zeit} = \dfrac{\text{Entfernung}}{\text{Geschwindigkeit}} \):
Zeit hin = \( \dfrac{D}{65} \)
Zeit zurück = \( \dfrac{D}{50} \)Die gesamte Fahrtzeit beträgt 6 Stunden, daher stellen wir die Gleichung auf:
\( \dfrac{D}{65} + \dfrac{D}{50} = 6 \)Finde einen gemeinsamen Nenner für 65 und 50. (Das kleinste gemeinsame Vielfache ist 650).
Multipliziere Zähler und Nenner des ersten Bruchs mit 10 und den zweiten mit 13:
\( \dfrac{10D}{650} + \dfrac{13D}{650} = 6 \)\( \dfrac{23D}{650} = 6 \)
Multipliziere beide Seiten mit 650:
\( 23D = 3900 \)Teile durch 23:
\( D = \dfrac{3900}{23} \approx 169,565 \text{ Meilen} \)Auf die nächste Meile gerundet beträgt die Entfernung 170 Meilen.
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Welche reelle Zahl hat das Quadrat gleich der Summe ihrer Hälfte und ihres Drittels?
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Sei die unbekannte reelle Zahl \( x \).
Übersetze die Textaufgabe in eine algebraische Gleichung:
\( x^2 = \dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} \)Finde einen gemeinsamen Nenner, um die Brüche auf der rechten Seite zu addieren:
\( x^2 = \dfrac{3x}{6} + \dfrac{2x}{6} \)
\( x^2 = \dfrac{5x}{6} \)Bringe alle Terme auf eine Seite, um die quadratische Gleichung gleich Null zu setzen:
\( x^2 - \dfrac{5x}{6} = 0 \)Klammere \( x \) aus:
\( x\left(x - \dfrac{5}{6}\right) = 0 \)Dies ergibt zwei mögliche Lösungen:
\( x = 0 \) oder \( x = \dfrac{5}{6} \)
Sowohl 0 als auch 5/6 sind reelle Zahlen, die die Bedingung erfüllen. -
Das Verhältnis von Jungen zu Mädchen an einer Schule beträgt 6:5. Wie hoch ist das Verhältnis von Jungen zur Gesamtzahl der Schüler?
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Das Verhältnis von Jungen zu Mädchen ist 6:5. Das bedeutet, dass auf 6 Jungen 5 Mädchen kommen.
Die Gesamtzahl der "Teile" im Verhältnis ist die Summe der Jungen-Teile und der Mädchen-Teile:
Gesamtzahl der Teile = \( 6 + 5 = 11 \)Das Verhältnis der Jungen zur Gesamtzahl der Schüler ist einfach die Anzahl der Jungen-Teile geteilt durch die Gesamtzahl der Teile:
Verhältnis = 6:11 -
Es sind 200 Bälle in einem Behälter. Die Bälle haben eine von drei Farben: Rot, Blau und Grün. Das Verhältnis von blauen zu roten Bällen beträgt 3:10, und das Verhältnis von grünen zu blauen Bällen beträgt 7:3. Wie viele Bälle gibt es von jeder Farbe?
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Betrachten wir die gegebenen Verhältnisse:
- Blau : Rot = 3 : 10
- Grün : Blau = 7 : 3
Da der "blaue" Anteil in beiden Verhältnissen durch die Zahl 3 dargestellt wird, können wir sie leicht zu einem einzigen durchgehenden Verhältnis für Grün : Blau : Rot kombinieren:
Grün : Blau : Rot = 7 : 3 : 10
Addiere die Gesamtzahl der Teile in diesem kombinierten Verhältnis:
Gesamtzahl der Teile = \( 7 + 3 + 10 = 20 \)Teile die Gesamtzahl der Bälle (200) durch die Gesamtzahl der Teile, um den Wert eines Teils zu erhalten:
Wert von 1 Teil = \( 200 / 20 = 10 \text{ Bälle} \)Multipliziere die Zahlen des Verhältnisses mit dem Wert eines Teils, um die Anzahl jeder Farbe zu erhalten:
- Grün: \( 7 \times 10 = 70 \text{ Bälle} \)
- Blau: \( 3 \times 10 = 30 \text{ Bälle} \)
- Rot: \( 10 \times 10 = 100 \text{ Bälle} \)