Multiplikation von Polynomen Klasse 9

Beispiele zur Multiplikation von Polynomen für die 9. Klasse werden zusammen mit ihren detaillierten Lösungen präsentiert. Weitere Fragen und deren Lösungen sind ebenfalls enthalten.

Multiplikation von Monomen mit Polynomen mit Beispielen

2) Monomene multipliziert werden,
3) und gleichartige Terme eines Polynoms addiert werden,
Beispiel 1
Multiplizieren Sie die folgenden Monome und Polynome
a)   \( 2 (6 x + 2) \quad \) b) \( \quad - 3 x (2 x^2 - x) \quad \)
c) \( \quad -\dfrac{1}{2} x^2 ( 4 x^2 - 2x + 6 x y) \)
Lösung zu Beispiel 1
a)
Gegeben \( \qquad 2 (6 x + 2) \)
Wenden Sie das Verteilungsgesetz \( \color{red}{a} \color{blue}{(b+c)} = \color{red}a \color{blue}b + \color{red}a \color{blue}c \) an, um das gegebene Produkt als Summe von Produkten von Monomen zu schreiben.
\( \qquad \qquad \color{red}{2} \color{blue}{(6 x + 2)} = \color{red}{2}\color{blue}{(6x)} + \color{red}{2} \color{blue}{(2)} \)
Multiplizieren Sie Konstanten miteinander und Variablen miteinander.
\( \qquad \qquad = 2(6)(x) + 2(2) \)
Vereinfachen
\( \qquad \qquad = 12 x + 4 \)
b)
Gegeben \( \qquad - 3 x (2 x^2 - x) \)
Wenden Sie das Verteilungsgesetz \( \color{red}{a} \color{blue}{(b+c)} = \color{red}a \color{blue}b + \color{red}a \color{blue}c \) an, um das gegebene Produkt als Summe von Produkten von Monomen zu schreiben.
\( \qquad \qquad \color{red}{- 3 x } \color{blue}{(2 x^2 - x)} = \color{red}{-3x}\color{blue}{(2x^2)} \color{red}{-3x} \color{blue}{(-x)} \)
Multiplizieren Sie Konstanten miteinander und Variablen miteinander.
\( \qquad \qquad = -3(2)(x x^2) -3(-1)(x x) \)
Vereinfachen
\( \qquad \qquad = -6x^3 + 3x^2 \)
c)
Gegeben \( \qquad -\dfrac{1}{2} x^2 ( 4 x^2 - 2x + 6 x y) \)
Wenden Sie das Verteilungsgesetz \( \color{red}{a} \color{blue}{(b+c)} = \color{red}a \color{blue}b + \color{red}a \color{blue}c \) an, um das gegebene Produkt als Summe von Produkten von Monomen zu schreiben.
\( \qquad \qquad \color{red}{-\dfrac{1}{2} x^2} \color{blue}{(4 x^2 - 2x + 6 x y)} = \color{red}{-\dfrac{1}{2} x^2}\color{blue}{(4 x^2)} \color{red}{-\dfrac{1}{2} x^2}\color{blue}{(-2x)} \color{red}{-\dfrac{1}{2} x^2}\color{blue}{(6xy)} \)
Multiplizieren Sie Konstanten miteinander und Variablen miteinander.
\( \qquad \qquad = -\dfrac{1}{2} (4) (x^2 x^2) -\dfrac{1}{2} (-2)(x^2 x) -\dfrac{1}{2} (6) (x^2 x y) \)
Vereinfachen
\( \qquad \qquad = - 2x^4 + x^3 - 3x^3 y \)

Multiplikation von Polynomen mit Beispielen

Um Polynome zu multiplizieren, verwenden wir die Verteilung, um die Multiplikation als eine Summe von Multiplikationen von Monomen mit Polynomen zu schreiben, was wir oben bereits geübt haben.
Beispiel 2
Multiplizieren Sie die folgenden Polynome.
a)   \( (x - 1) (x + 2) \)   b) \( (- 3 x^2 - x) (x^2 - 2x - 1) \)  
c) \( (2 x - y) ( - x - y) \)
Lösung zu Beispiel 2
a)
Gegeben \( \qquad (x - 1) (x + 2) \)
Verwenden Sie die Verteilung der Form: \( \color{red}{(a + b)} \color{blue}{ c } = \color{red}{a} \color{blue}{c} + \color{red}{b} \color{blue}{c} \), um das Obige umzuschreiben als
\( \qquad \qquad \color{red}{(x - 1)} \color{blue}{(x + 2)} = \color{red}{x} \color{blue}{(x+2)} \color{red}{-1} \color{blue}{(x+2)} \)
Wenden Sie das Verteilungsgesetz \( \color{red}{a} \color{blue}{(b+c)} = \color{red}a \color{blue}b + \color{red}a \color{blue}c \) an, um die rechte Seite oben als Summe von Produkten von Monomen zu schreiben.
\( \qquad \qquad = \color{red}{x} \color{blue}{(x)} + \color{red}{x} \color{blue}{(2)} \color{red}{-1} \color{blue}{(x)} \color{red}{-1} \color{blue}{(2)} \)
Multiplizieren
\( \qquad \qquad = x^2 + 2x - x - 2 \)
Fassen Sie gleichartige Terme zusammen und vereinfachen Sie.
\( \qquad \qquad = x^2 + x - 2 \)
b)
Gegeben \( \qquad (- 3 x^2 - x) (x^2 - 2x - 1) \)
Verwenden Sie die Verteilung der Form: \( \color{red}{(a + b)} \color{blue}{ c } = \color{red}{a} \color{blue}{c} + \color{red}{b} \color{blue}{c} \), um das Obige umzuschreiben als
\( \qquad \qquad \color{red}{(- 3 x^2 - x)} \color{blue}{(x^2 - 2x - 1)} = \color{red}{-3x^2} \color{blue}{(x^2 - 2x - 1)} \color{red}{-x} \color{blue}{(x^2 - 2x - 1)} \)
Wenden Sie das Verteilungsgesetz \( \color{red}{a} \color{blue}{(b+c+d)} = \color{red}a \color{blue}b + \color{red}a \color{blue}c + \color{red}a \color{blue}d \) an, um die rechte Seite oben als Summe von Produkten von Monomen zu schreiben.
\( \qquad \qquad = \color{red}{- 3 x^2 } \color{blue}{(x^2)} \color{red}{- 3 x^2} \color{blue}{(-2x)} \color{red}{- 3 x^2 } \color{blue}{(-1)} \color{red}{-x} \color{blue}{(x^2)} \color{red}{-x} \color{blue}{(-2x)} \color{red}{-x} \color{blue}{(-1)} \)
Multiplizieren
\( \qquad \qquad = -3x^4 + 6x^3 + 3x^2 - x^3 + 2x^2 + x \)
Fassen Sie gleichartige Terme zusammen und vereinfachen Sie.
\( \qquad \qquad = -3x^4 + 5x^3 + 5x^2 + x \)
c)
Gegeben \( \qquad (2 x - y) ( - x - y) \)
Verwenden Sie die Verteilung der Form: \( \color{red}{(a + b)} \color{blue}{ c } = \color{red}{a} \color{blue}{c} + \color{red}{b} \color{blue}{c} \), um das Obige umzuschreiben als
\( \qquad \qquad \color{red}{(2 x - y)} \color{blue}{(- x - y)} = \color{red}{2x} \color{blue}{(-x-y)} \color{red}{-y} \color{blue}{(-x-y)} \)
Wenden Sie das Verteilungsgesetz \( a(b+c) = ab + ac \) an, um die rechte Seite oben als Summe von Produkten von Monomen zu schreiben.
\( \qquad \qquad = \color{red}{2x} \color{blue}{(-x)} + \color{red}{2x}\color{blue}{(-y)} \color{red}{-y} \color{blue}{(-x)} \color{red}{-y} \color{blue}{(-y)} \)
Multiplizieren
\( \qquad \qquad = -2x^2 - 2x y + y x + y^2 \)
Fassen Sie gleichartige Terme zusammen und vereinfachen Sie (HINWEIS: \( x y = y x \) ).
\( \qquad \qquad = -2x^2 - x y + y^2 \)

Potenzieren von Polynomen mit Beispielen

Beispiel 3
Entwickeln Sie die folgenden Ausdrücke und schreiben Sie sie als Polynome.
a)   \( (x - 1) ^2 \)   b) \( (x + 3)^3 \)
Lösung zu Beispiel 3
a)
Gegeben \( \qquad \qquad (x - 1) ^2 \)
Schreiben Sie das Obige als ein Produkt von Polynomen.
\( \qquad \qquad = \color{red}{(x -1)} \color{blue}{(x - 1)} \)
Verteilen Sie als \( (a + b) c = a c + b c \).
\( \qquad \qquad = \color{red}x \color{blue}{(x - 1)} \color{red}{- 1} \color{blue}{(x - 1)} \)
Wenden Sie das Verteilungsgesetz \( a(b+c) = ab + ac \) an, um das Obige als Summe von Produkten von Monomen zu schreiben.
\( \qquad \qquad = x(x) + x (-1) - 1 (x) -1(-1) \)
Multiplizieren
\( \qquad \qquad = x^2 - x - x + 1 \)
Fassen Sie gleichartige Terme zusammen und vereinfachen Sie.
\( \qquad \qquad = x^2 - 2x + 1 \)
b)
Gegeben \( \qquad \qquad (x + 3)^3 \)
Schreiben Sie das Obige als ein Produkt von Polynomen.
\( \qquad \qquad = (x + 3)\color{red}{(x + 3)} \color{blue}{(x + 3)} \)
Verwenden Sie die Verteilung, um den zweiten und dritten Term zu multiplizieren.
\( \qquad \qquad = (x+3) (\color{red} x \color{blue}{(x + 3)} \color{red} {+3} \color{blue}{(x + 3)}) \)
Verwenden Sie die Verteilung, um \( \color{red} x \color{blue}{(x + 3)} \color{red} {+3} \color{blue}{(x + 3)} \) zu entwickeln.
\( \qquad \qquad = (x+3) (x^2 + 3x + 3x + 9) \)
Fassen Sie gleichartige Terme zusammen und vereinfachen Sie \( (x^2 + 3x + 3x + 9) \).
\( \qquad \qquad = \color{red}{(x+3)} (x^2 + 6x + 9) \)
Verteilen Sie \( (x^2 + 6x + 9) \).
\( \qquad \qquad = \color{red}x(x^2 + 6x + 9)+\color{red}3(x^2 + 6x + 9) \)
Verteilen Sie \( x \) und \( 3 \).
\( \qquad \qquad = x^3 + 6x^2 + 9x + 3x^2 + 18x + 27 \)
Fassen Sie gleichartige Terme zusammen und vereinfachen Sie.
\( \qquad \qquad = x^3 + 9x^2 + 27x + 27 \)

Fragen

1. Multiplizieren Sie die folgenden Polynome.
   1. ) \( ( - 2) (- 2 x) \)
   2. ) \( (x) (x + 1) \)
   3. ) \( - x^2 (- x + 1) \)
   4. ) \( (- 4 x^3 - x) (2x - 1) \)
   5. ) \( (- 4 x^3 - y) (2x - y) \)
   6. ) \( (- 7 x^2 - 2x + 3) (2x^2 - x + 2) \)
   7. ) \( (- \dfrac{1}{3} x^2 + 4) (- \dfrac{1}{2} x + 9) \)
   
   
2. Verwenden Sie die Multiplikation und Addition von Polynomen, um als ein einzelnes Polynom zu schreiben.
   1. ) \( (2x-1)(3x-2) + 3x - 9 \)
   2. ) \( -(2x + 2) - (2x - 1)(x - 3) \)
   3. ) \( (x^2 - 1)(x - 2) - (x - 3)(2x^2 - 4)) \)
   4. ) \( (-3x - 2)(y - 3) + (x - 5)(y - 6) \)
   
   
3. Verwenden Sie die Multiplikation von Polynomen, um die folgenden Ausdrücke zu entwickeln.
   1. ) \( (x + 3 y)^2 \)
   2. ) \( (2 x - y)^2 \)
   3. ) \( (x - y)(x +y) \)
   4. ) \( (x - 3)^3 \)

Weitere Referenzen und Links