Polynome multiplizieren: Fragen und Schritt-für-Schritt-Lösungen

Diese Seite soll Schülern der 9. Klasse helfen, das Multiplizieren von Polynomen zu meistern. Das Multiplizieren von Polynomen erfordert ein solides Verständnis des Distributivgesetzes (oft als FOIL-Methode für Binome bekannt) und der Potenzgesetze.

Unten finden Sie Übungsaufgaben, die von der einfachen Monom-Multiplikation bis hin zur Erweiterung komplexer Binome und Trinome reichen. Versuchen Sie, jedes Problem selbst zu lösen, und öffnen Sie dann die Schritt-für-Schritt-Lösungen, um Ihre Arbeit zu überprüfen und die Begründung für jeden algebraischen Schritt zu verstehen.

Übungsaufgaben

  1. 1. Multiplizieren Sie die folgenden Polynome

    1. \( (-2)(-2x) \)
    2. \( (x)(x + 1) \)
    3. \( -x^2(-x + 1) \)
    4. \( (-4x^3 - x)(2x - 1) \)
    5. \( (-4x^3 - y)(2x - y) \)
    6. \( (-7x^2 - 2x + 3)(2x^2 - x + 2) \)
    7. \( \left(-\dfrac{1}{3}x^2 + 4\right)\left(-\dfrac{1}{2}x + 9\right) \)
    Schritt-für-Schritt-Lösungen anzeigen

    1. Multiplizieren Sie die Konstanten und hängen Sie die Variable an:

      \[ (-2)(-2x) = 4x \]

    2. Verteilen Sie \(x\) auf beide Terme in der Klammer:

      \[ \begin{aligned} (x)(x + 1) &= x(x) + x(1) \\ &= x^2 + x \end{aligned} \]

    3. Verteilen Sie \(-x^2\):

      \[ \begin{aligned} -x^2(-x + 1) &= -x^2(-x) - x^2(1) \\ &= x^3 - x^2 \end{aligned} \]

    4. Verwenden Sie das Distributivgesetz (FOIL-Methode) für die beiden Binome:

      \[ \begin{aligned} (-4x^3 - x)(2x - 1) &= -4x^3(2x - 1) - x(2x - 1) \\ &= -4x^3(2x) - 4x^3(-1) - x(2x) - x(-1) \\ &= -8x^4 + 4x^3 - 2x^2 + x \end{aligned} \]

    5. Verteilen Sie jeden Term des ersten Binoms auf das zweite:

      \[ \begin{aligned} (-4x^3 - y)(2x - y) &= -4x^3(2x - y) - y(2x - y) \\ &= -4x^3(2x) - 4x^3(-y) - y(2x) - y(-y) \\ &= -8x^4 + 4x^3y - 2xy + y^2 \end{aligned} \]

    6. Verteilen Sie jeden der drei Terme des ersten Trinoms auf das zweite Trinom und fassen Sie dann gleichartige Terme zusammen:

      \[ \begin{aligned} &(-7x^2 - 2x + 3)(2x^2 - x + 2) \\ &= -7x^2(2x^2 - x + 2) - 2x(2x^2 - x + 2) + 3(2x^2 - x + 2) \\ &= (-14x^4 + 7x^3 - 14x^2) + (-4x^3 + 2x^2 - 4x) + (6x^2 - 3x + 6) \\ &= -14x^4 + (7x^3 - 4x^3) + (-14x^2 + 2x^2 + 6x^2) + (-4x - 3x) + 6 \\ &= -14x^4 + 3x^3 - 6x^2 - 7x + 6 \end{aligned} \]

    7. Verteilen Sie die Brüche sorgfältig:

      \[ \begin{aligned} &\left(-\dfrac{1}{3}x^2 + 4\right)\left(-\dfrac{1}{2}x + 9\right) \\ &= -\dfrac{1}{3}x^2\left(-\dfrac{1}{2}x\right) - \dfrac{1}{3}x^2(9) + 4\left(-\dfrac{1}{2}x\right) + 4(9) \\ &= \dfrac{1}{6}x^3 - 3x^2 - 2x + 36 \end{aligned} \]

  2. 2. Multiplizieren und Addieren/Subtrahieren, um als ein einziges Polynom zu schreiben

    Denken Sie daran, die Vorrangregeln zu beachten: Multiplizieren Sie zuerst die Polynome, dann addieren oder subtrahieren Sie gleichartige Terme.

    1. \( (2x - 1)(3x - 2) + 3x - 9 \)
    2. \( -(2x + 2) - (2x - 1)(x - 3) \)
    3. \( (-3x - 2)(y - 3) + (x - 5)(y - 6) \)
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    1. Erweitern Sie zuerst die Binome und fassen Sie dann die verbleibenden Terme zusammen:

      \[ \begin{aligned} (2x - 1)(3x - 2) + 3x - 9 &= [2x(3x - 2) - 1(3x - 2)] + 3x - 9 \\ &= [6x^2 - 4x - 3x + 2] + 3x - 9 \\ &= 6x^2 - 7x + 2 + 3x - 9 \\ &= 6x^2 - 4x - 7 \end{aligned} \]

    2. Verteilen Sie die negativen Vorzeichen und multiplizieren Sie die Binome. Verwenden Sie Klammern, um Vorzeichenfehler zu vermeiden:

      \[ \begin{aligned} -(2x + 2) - (2x - 1)(x - 3) &= -2x - 2 - [2x(x - 3) - 1(x - 3)] \\ &= -2x - 2 - [2x^2 - 6x - x + 3] \\ &= -2x - 2 - [2x^2 - 7x + 3] \\ &= -2x - 2 - 2x^2 + 7x - 3 \\ &= -2x^2 + 5x - 5 \end{aligned} \]

    3. Erweitern Sie beide Sätze von Binomen separat und fassen Sie dann gleichartige Terme zusammen:

      \[ \begin{aligned} &(-3x - 2)(y - 3) + (x - 5)(y - 6) \\ &= [-3x(y - 3) - 2(y - 3)] + [x(y - 6) - 5(y - 6)] \\ &= [-3xy + 9x - 2y + 6] + [xy - 6x - 5y + 30] \\ &= (-3xy + xy) + (9x - 6x) + (-2y - 5y) + (6 + 30) \\ &= -2xy + 3x - 7y + 36 \end{aligned} \]

  3. 3. Verwenden Sie die Multiplikation von Polynomen, um Folgendes zu erweitern

    1. \( (x + 3y)^2 \)
    2. \( (2x - y)^2 \)
    3. \( (x - y)(x + y) \)
    4. \( (x - 3)^3 \)
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    1. Schreiben Sie das Quadrat als Multiplikation von zwei identischen Binomen (oder verwenden Sie die binomische Formel):

      \[ \begin{aligned} (x + 3y)^2 &= (x + 3y)(x + 3y) \\ &= x(x + 3y) + 3y(x + 3y) \\ &= x^2 + 3xy + 3xy + 9y^2 \\ &= x^2 + 6xy + 9y^2 \end{aligned} \]

    2. Erweitern Sie den binomischen Term:

      \[ \begin{aligned} (2x - y)^2 &= (2x - y)(2x - y) \\ &= 2x(2x - y) - y(2x - y) \\ &= 4x^2 - 2xy - 2yx + y^2 \\ &= 4x^2 - 4xy + y^2 \end{aligned} \]

    3. Dies ist eine Differenz von Quadraten:

      \[ \begin{aligned} (x - y)(x + y) &= x(x + y) - y(x + y) \\ &= x^2 + xy - yx - y^2 \\ &= x^2 - y^2 \end{aligned} \]

    4. Für eine dritte Potenz multiplizieren Sie dreimal. Gruppieren Sie zuerst zwei davon:

      \[ \begin{aligned} (x - 3)^3 &= (x - 3)(x - 3)(x - 3) \\ &= (x - 3)[x(x - 3) - 3(x - 3)] \\ &= (x - 3)[x^2 - 3x - 3x + 9] \\ &= (x - 3)(x^2 - 6x + 9) \end{aligned} \]

      Multiplizieren Sie nun das Binom mit dem resultierenden Trinom:

      \[ \begin{aligned} (x - 3)(x^2 - 6x + 9) &= x(x^2 - 6x + 9) - 3(x^2 - 6x + 9) \\ &= (x^3 - 6x^2 + 9x) + (-3x^2 + 18x - 27) \\ &= x^3 - 9x^2 + 27x - 27 \end{aligned} \]

Weitere Referenzen und Links

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