Mathe Klasse 9: Textaufgaben - Übungsfragen und Schritt-für-Schritt-Lösungen

Bei einem Konzert wurden 120 Eintrittskarten verkauft. Schülertickets kosten 8 $, Erwachsenentickets 12 $. Die Gesamteinnahmen betrugen 1.160 $. Wie viele Tickets von jeder Art wurden verkauft?

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Sei $ x $ die Anzahl der Schülertickets und $ y $ die Anzahl der Erwachsenentickets. Verwenden Sie die gegebenen Informationen, um die Gleichungen aufzustellen:

\[ x + y = 120 \quad \text{(1)} \] \[ 8x + 12y = 1160 \quad \text{(2)} \]

Isolieren Sie $ y $ in Gleichung (1):

\[ y = 120 - x \]

Setzen Sie diesen Ausdruck in Gleichung (2) ein:

\[ \begin{aligned} 8x + 12(120 - x) &= 1160 \\ 8x + 1440 - 12x &= 1160 \\ -4x &= -280 \\ x &= 70 \end{aligned} \]

Berechnen Sie nun $ y $:

\[ y = 120 - 70 = 50 \]

Antwort: Es wurden 70 Schülertickets und 50 Erwachsenentickets verkauft.

In einem Dreieck ist ein Winkel dreimal so groß wie der kleinste Winkel. Der dritte Winkel ist um $ 20^\circ $ größer als der kleinste. Bestimmen Sie alle Winkel.

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Sei $ x $ der kleinste Winkel. Der zweite Winkel ist $ 3x $, und der dritte Winkel ist $ x + 20 $.

Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt immer $ 180^\circ $:

\[ x + 3x + (x + 20) = 180 \]

Fassen Sie gleichartige Terme zusammen und lösen Sie nach $ x $ auf:

\[ \begin{aligned} 5x + 20 &= 180 \\ 5x &= 160 \\ x &= 32 \end{aligned} \]

Berechnen Sie nun jeden Winkel:

Kleinster Winkel: $ x = 32^\circ $
Zweiter Winkel: $ 3x = 96^\circ $
Dritter Winkel: $ x + 20 = 52^\circ $

Gegeben sei die Funktion $ f(x) = 2x^2 - 3x + 1 $. Berechnen Sie $ f(2) $ und $ f(-1) $.

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Um $ f(2) $ zu finden, setzen Sie $ x = 2 $ in die Funktion ein:

\[ \begin{aligned} f(2) &= 2(2)^2 - 3(2) + 1 \\ &= 2(4) - 6 + 1 \\ &= 8 - 6 + 1 \\ &= 3 \end{aligned} \]

Um $ f(-1) $ zu finden, setzen Sie $ x = -1 $ in die Funktion ein:

\[ \begin{aligned} f(-1) &= 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 \\ &= 2(1) + 3 + 1 \\ &= 6 \end{aligned} \]

Ein zylindrischer Wassertank hat einen Radius von 3 Metern und eine Höhe von 5 Metern. Wie viel Wasser fasst er (in Kubikmetern)? Verwenden Sie $ \pi \approx 3,14 $.

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Die Formel für das Volumen eines Zylinders lautet $ V = \pi r^2 h $.

\[ \begin{aligned} V &= 3,14 \times (3)^2 \times 5 \\ &= 3,14 \times 9 \times 5 \\ &= 3,14 \times 45 \\ &= 141,3 \; \text{m}^3 \end{aligned} \]

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mit zwei sechsseitigen Würfeln eine Summe von 9 zu würfeln?

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Es gibt $ 6 \times 6 = 36 $ mögliche Gesamtergebnisse beim Würfeln mit zwei Würfeln.

Die Kombinationen, die eine Summe von 9 ergeben, sind:

$ (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) $

Da es 4 erfolgreiche Ergebnisse von 36 möglichen gibt, beträgt die Wahrscheinlichkeit:

\[ \text{Wahrscheinlichkeit} = \dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9} \]

Lösen Sie nach $ x $ auf: $ 2^{x+1} = 32 $

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Schreiben Sie zuerst 32 als Zweierpotenz:

\[ 32 = 2^5 \]

Schreiben Sie die Gleichung neu:

\[ 2^{x+1} = 2^5 \]

Da die Basen gleich sind, können wir die Exponenten gleichsetzen:

\[ \begin{aligned} x + 1 &= 5 \\ x &= 4 \end{aligned} \]

Eine 13 Meter lange Leiter lehnt an einer Wand. Der Fußpunkt ist 5 Meter von der Wand entfernt. Wie hoch reicht die Leiter an der Wand?

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Die Leiter, der Boden und die Wand bilden ein rechtwinkliges Dreieck, wobei die Leiter die Hypotenuse ist. Sei die Höhe $ h $. Wenden Sie den Satz des Pythagoras an ($ a^2 + b^2 = c^2 $):

\[ \begin{aligned} h^2 + 5^2 &= 13^2 \\ h^2 + 25 &= 169 \\ h^2 &= 144 \\ h &= \sqrt{144} = 12 \end{aligned} \]

Antwort: Die Leiter reicht 12 Meter hoch an die Wand.

Ein Warenautomat enthält nur 0,25-$- und 1-$-Münzen. Es gibt insgesamt 50 Münzen im Wert von 35 $. Wie viele Münzen gibt es von jeder Sorte?

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Sei $ x $ die Anzahl der 0,25-$-Münzen und $ y $ die Anzahl der 1-$-Münzen. Stellen Sie das Gleichungssystem auf:

\[ x + y = 50 \quad \text{(1)} \] \[ 0,25x + 1y = 35 \quad \text{(2)} \]

Aus Gleichung (1) erhalten wir $ y = 50 - x $. Setzen Sie dies in Gleichung (2) ein:

\[ \begin{aligned} 0,25x + (50 - x) &= 35 \\ -0,75x + 50 &= 35 \\ -0,75x &= -15 \\ x &= \dfrac{-15}{-0,75} = 20 \end{aligned} \]

Berechnen Sie nun $ y $:

\[ y = 50 - 20 = 30 \]

Antwort: Es gibt 20 0,25-$-Münzen und 30 1-$-Münzen.

Die Summe dreier aufeinanderfolgender ungerader Ganzzahlen ist 123. Was sind diese Zahlen?

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Die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen beträgt 2. Sei die erste Zahl $ x $. Die zweite ist $ x + 2 $ und die dritte $ x + 4 $. Ihre Summe beträgt 123:

\[ \begin{aligned} x + (x + 2) + (x + 4) &= 123 \\ 3x + 6 &= 123 \\ 3x &= 117 \\ x &= 39 \end{aligned} \]

Die Zahlen sind $ x = 39 $, $ x + 2 = 41 $ und $ x + 4 = 43 $.

Antwort: Die Zahlen sind 39, 41 und 43.

Ein rechteckiger Garten hat eine Länge, die 4 Meter länger ist als seine Breite. Der Flächeninhalt beträgt 96 m². Bestimmen Sie die Abmessungen des Gartens.

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Sei $ x $ die Breite in Metern. Dann ist die Länge $ x + 4 $ Meter. Der Flächeninhalt ist Länge × Breite:

\[ x(x + 4) = 96 \]

Schreiben Sie die quadratische Gleichung in die Standardform:

\[ \begin{aligned} x^2 + 4x - 96 &= 0 \\ (x - 8)(x + 12) &= 0 \end{aligned} \]

Dies ergibt die Lösungen $ x = 8 $ oder $ x = -12 $. Da eine Breite nicht negativ sein kann, verwerfen wir -12.

Antwort: Die Breite beträgt 8 m, die Länge beträgt $ 8 + 4 = 12 $ m.

Welche Zahl(en) ist (sind) gleich ihrem Quadrat?

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Sei $ x $ die Zahl. Wenn sie gleich ihrem Quadrat ist, lautet die Gleichung:

\[ x = x^2 \]

Bringen Sie sie in Standardform und faktorisieren Sie:

\[ \begin{aligned} x - x^2 &= 0 \\ x(1 - x) &= 0 \end{aligned} \]

Antwort: Die Lösungen sind $ x = 0 $ und $ x = 1 $.

Welche Zahl(en) ist (sind) gleich der Hälfte ihres Quadrats?

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Sei $ x $ die Zahl. Sie ist gleich der Hälfte ihres Quadrats:

\[ x = \dfrac{1}{2}x^2 \]

Gleich Null setzen und faktorisieren:

\[ \begin{aligned} x - \dfrac{1}{2}x^2 &= 0 \\ x\left(1 - \dfrac{1}{2}x\right) &= 0 \end{aligned} \]

Antwort: Die Lösungen sind $ x = 0 $ und $ x = 2 $.

Ein Auto fährt von A nach B mit einer Geschwindigkeit von 40 mph und kehrt auf dem gleichen Weg von B nach A mit einer Geschwindigkeit von 60 mph zurück. Was ist die Durchschnittsgeschwindigkeit für die Hin- und Rückreise?

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Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist die Gesamtstrecke geteilt durch die Gesamtzeit. Sei $ x $ die einfache Entfernung von A nach B. Die gesamte Hin- und Rückstrecke ist $ 2x $.

Die Zeit für den Hinweg ist $ \dfrac{x}{40} $ und für den Rückweg $ \dfrac{x}{60} $. Die Gesamtzeit $ T $ ist:

\[ T = \dfrac{x}{40} + \dfrac{x}{60} = \dfrac{3x + 2x}{120} = \dfrac{5x}{120} = \dfrac{x}{24} \]

Berechnen Sie nun die Durchschnittsgeschwindigkeit:

\[ \text{Durchschnittsgeschwindigkeit} = \dfrac{2x}{\left(\dfrac{x}{24}\right)} = 2x \cdot \dfrac{24}{x} = 48 \; \text{mph} \]

Tom fährt mit 60 Meilen pro Stunde in eine Nachbarstadt und kehrt mit 50 Meilen pro Stunde auf demselben Weg zurück. Er war insgesamt 5 Stunden hin und zurück unterwegs. Wie weit ist die Entfernung von Toms Haus bis zur besuchten Stadt? (Runden Sie Ihr Ergebnis auf die nächste Meile).

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Sei $ x $ die Entfernung zur Stadt. Die Zeit für den Hinweg ist $ \dfrac{x}{60} $ und für den Rückweg $ \dfrac{x}{50} $. Die Gesamtzeit beträgt 5 Stunden:

\[ \dfrac{x}{60} + \dfrac{x}{50} = 5 \]

Multiplizieren Sie die gesamte Gleichung mit dem gemeinsamen Nenner (300):

\[ \begin{aligned} 300 \left(\dfrac{x}{60}\right) + 300 \left(\dfrac{x}{50}\right) &= 300(5) \\ 5x + 6x &= 1500 \\ 11x &= 1500 \\ x &= \dfrac{1500}{11} \approx 136 \; \text{Meilen} \end{aligned} \]

Um 11:00 Uhr beginnt John mit einer konstanten Geschwindigkeit von 50 mph auf einer Autobahn zu fahren. Eine Viertelstunde später beginnt Jimmy auf derselben Autobahn in die gleiche Richtung wie John mit einer konstanten Geschwindigkeit von 65 mph zu fahren. Um wie viel Uhr wird Jimmy John einholen?

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Sei $ t $ die Zeit (in Stunden), die John seit 11:00 Uhr gefahren ist. Jimmy startet eine Viertelstunde (0,25 Stunden) später, also ist seine Fahrzeit $ t - 0,25 $.

Wenn Jimmy John einholt, sind ihre Entfernungen gleich:

\[ 50t = 65(t - 0,25) \]

Lösen Sie nach $ t $ auf:

\[ \begin{aligned} 50t &= 65t - 16,25 \\ -15t &= -16,25 \\ t &= \dfrac{16,25}{15} = \dfrac{65}{60} \; \text{Stunden} \end{aligned} \]

$ \dfrac{65}{60} $ Stunden entspricht genau 1 Stunde und 5 Minuten. Wenn wir dies zur Startzeit (11:00 Uhr) addieren:

Antwort: Jimmy holt John um 12:05 Uhr ein.

Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden, die durch den Punkt $ (-4, 5) $ verläuft und senkrecht zu der Geraden $ 5x - 3y = 4 $ steht.

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Bestimmen Sie zuerst die Steigung der gegebenen Geraden, indem Sie sie in die Steigungsform ($ y = mx + b $) umwandeln:

\[ \begin{aligned} -3y &= -5x + 4 \\ y &= \dfrac{5}{3}x - \dfrac{4}{3} \end{aligned} \]

Die Steigung dieser Geraden ist $ \dfrac{5}{3} $. Senkrechte Geraden haben negative Kehrwert-Steigungen, also ist die Steigung unserer neuen Geraden $ m = -\dfrac{3}{5} $.

Verwenden Sie die Punkt-Steigungs-Formel mit dem Punkt $ (-4, 5) $:

\[ \begin{aligned} y - 5 &= -\dfrac{3}{5}(x - (-4)) \\ y &= -\dfrac{3}{5}(x + 4) + 5 \\ y &= -\dfrac{3}{5}x - \dfrac{12}{5} + \dfrac{25}{5} \\ y &= -\dfrac{3}{5}x + \dfrac{13}{5} \end{aligned} \]

Multiplizieren Sie mit 5, um zur Normalform zu gelangen:

\[ 5y = -3x + 13 \quad \Rightarrow \quad 3x + 5y = 13 \]

Ein rechteckiges Feld hat einen Flächeninhalt von 300 Quadratmetern und einen Umfang von 80 Metern. Wie lang und wie breit ist das Feld?

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Seien $ L $ und $ B $ Länge und Breite. Gleichungen für Flächeninhalt und Umfang:

\[ L \cdot B = 300 \] \[ 2(L + B) = 80 \quad \Rightarrow \quad L + B = 40 \]

Aus der Umfangs-Gleichung folgt $ B = 40 - L $. Setzen Sie dies in die Flächengleichung ein:

\[ \begin{aligned} L(40 - L) &= 300 \\ 40L - L^2 &= 300 \\ L^2 - 40L + 300 &= 0 \\ (L - 30)(L - 10) &= 0 \end{aligned} \]

Die Lösungen sind $ L = 30 $ oder $ L = 10 $. Unter der Annahme, dass die Länge die längere Seite ist, gilt $ L = 30 $ m und $ B = 10 $ m.

Ein rechteckiger Garten hat eine Länge von 100 Metern und eine Breite von 50 Metern. Ein quadratisches Schwimmbecken soll innerhalb des Gartens gebaut werden. Bestimmen Sie die Seitenlänge des Schwimmbeckens, wenn die verbleibende Gartenfläche (nicht vom Becken eingenommen) genau die Hälfte der Gesamtfläche des rechteckigen Gartens beträgt.

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Sei $ x $ die Seite des Schwimmbeckens. Der Flächeninhalt des Beckens ist $ x^2 $.

Wenn die verbleibende Fläche die Hälfte der Gesamtfläche ist, muss das Becken selbst die andere Hälfte der Gesamtfläche einnehmen. Der Gesamtflächeninhalt des Gartens beträgt $ 100 \times 50 = 5000 $.

\[ \begin{aligned} x^2 &= \dfrac{1}{2}(5000) \\ x^2 &= 2500 \\ x &= \sqrt{2500} = 50 \end{aligned} \]

Antwort: Die Seite des Schwimmbeckens beträgt 50 Meter.

ABC ist ein gleichseitiges Dreieck mit einer Seitenlänge von 50 cm. BH steht senkrecht auf AC. MN ist parallel zu AC. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks BMN, wenn die Länge von MN 12 cm beträgt.

$Dreieck BMN einbeschrieben in gleichseitiges Dreieck ABC$

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Da $ \triangle ABC $ gleichseitig ist und $ BH \perp AC $, ist $ H $ der Mittelpunkt von $ AC $, also $ HC = \dfrac{50}{2} = 25 $ cm.

Da $ MN \parallel HC $, sind die Dreiecke $ \triangle BMN $ und $ \triangle BHC $ ähnlich. Das Verhältnis der entsprechenden Seiten ist:

\[ \dfrac{MN}{HC} = \dfrac{12}{25} \]

Das Verhältnis der Flächeninhalte ähnlicher Dreiecke ist das Quadrat des Seitenverhältnisses:

\[ \dfrac{\text{Fläche } BMN}{\text{Fläche } BHC} = \left(\dfrac{12}{25}\right)^2 \]

Berechnen Sie nun die Höhe $ BH $ mittels Pythagoras in $ \triangle BHC $:

\[ BH = \sqrt{50^2 - 25^2} = \sqrt{2500 - 625} = \sqrt{1875} = 25\sqrt{3} \]

Der Flächeninhalt von $ \triangle BHC $ ist:

\[ \text{Fläche } BHC = \dfrac{1}{2} \cdot HC \cdot BH = \dfrac{1}{2}(25)(25\sqrt{3}) = \dfrac{625\sqrt{3}}{2} \]

Berechnen Sie schließlich die Fläche von $ \triangle BMN $:

\[ \text{Fläche } BMN = \left(\dfrac{144}{625}\right) \cdot \left(\dfrac{625\sqrt{3}}{2}\right) = 72\sqrt{3} \; \text{cm}^2 \]

Der Wasserstand in einem zylindrischen Behälter mit einem Radius von $ r = 5 $ cm ist 10 cm hoch. Peter muss das Volumen eines Steins mit komplexer Form messen, also legt er den Stein in den Behälter. Der Wasserstand steigt auf 13,2 cm. Welches Volumen hat der Stein in Kubikzentimetern?

$Zylinder mit Wasserverdrängung$

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Bestimmen Sie das ursprüngliche Wasservolumen ($ V_1 $):

\[ V_1 = \pi r^2 h_1 = \pi (5^2)(10) = 250\pi \; \text{cm}^3 \]

Bestimmen Sie das neue Volumen, nachdem der Stein eingetaucht wurde ($ V_2 $):

\[ V_2 = \pi r^2 h_2 = \pi (5^2)(13,2) = 330\pi \; \text{cm}^3 \]

Das Volumen des Steins ist die Differenz:

\[ V_{\text{Stein}} = 330\pi - 250\pi = 80\pi \; \text{cm}^3 \]

Mit $ \pi \approx 3,14159 $ beträgt das Volumen ca. $ 251,3 \; \text{cm}^3 $.

In der Abbildung unten hat das Quadrat alle seine Eckpunkte auf dem Kreis. Der Flächeninhalt des Quadrats beträgt 400 cm². Wie groß ist der Flächeninhalt der Kreisfläche?

$Quadrat in Kreis einbeschrieben$

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Die Seitenlänge $ x $ des Quadrats ergibt sich aus seinem Flächeninhalt:

\[ x^2 = 400 \quad \Rightarrow \quad x = 20 \; \text{cm} \]

Die Diagonale $ D $ des Quadrats entspricht dem Durchmesser des Kreises. Verwenden Sie den Satz des Pythagoras, um $ D $ zu finden:

\[ D^2 = x^2 + x^2 = 400 + 400 = 800 \]

Der Flächeninhalt des Kreises ist $ A = \pi r^2 $. Da $ r = \dfrac{D}{2} $, gilt $ r^2 = \dfrac{D^2}{4} $:

\[ A = \pi \left(\dfrac{D^2}{4}\right) = \pi \left(\dfrac{800}{4}\right) = 200\pi \; \text{cm}^2 \]

Mit $ \pi \approx 3,14 $ beträgt der Flächeninhalt ca. $ 628 \; \text{cm}^2 $.

Die Zahlen 2, 3, 5 und $ x $ haben einen Durchschnitt von 4. Bestimmen Sie $ x $.

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Der Durchschnitt ist die Summe der Zahlen geteilt durch ihre Anzahl. Stellen Sie die Gleichung auf:

\[ \dfrac{2 + 3 + 5 + x}{4} = 4 \]

Lösen Sie nach $ x $ auf:

\[ \begin{aligned} 10 + x &= 16 \\ x &= 6 \end{aligned} \]

Die Zahlen $ x, y, z $ und $ w $ haben einen Durchschnitt von 25. Der Durchschnitt von $ x, y $ und $ z $ ist 27. Bestimmen Sie $ w $.

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Der Durchschnitt der 4 Zahlen ergibt deren Gesamtsumme:

\[ \dfrac{x + y + z + w}{4} = 25 \quad \Rightarrow \quad x + y + z + w = 100 \]

Der Durchschnitt der 3 Zahlen ergibt deren Teilsumme:

\[ \dfrac{x + y + z}{3} = 27 \quad \Rightarrow \quad x + y + z = 81 \]

Setzen Sie diese Teilsumme in die erste Gleichung ein:

\[ \begin{aligned} 81 + w &= 100 \\ w &= 19 \end{aligned} \]

Bestimmen Sie $ x, y, z $, sodass die Zahlen 41, 46, $ x, y, z $ ein arithmetisches Mittel von 50 und einen Modus von 45 haben.

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Das arithmetische Mittel der fünf Zahlen ist 50:

\[ \dfrac{41 + 46 + x + y + z}{5} = 50 \] \[ 87 + x + y + z = 250 \quad \Rightarrow \quad x + y + z = 163 \]

Der Modus ist der am häufigsten vorkommende Wert. Da noch keine Zahlen doppelt vorkommen, müssen mindestens zwei der unbekannten Variablen 45 sein. Wir können nicht $ x = y = z = 45 $ haben, da $ 45 \times 3 = 135 $, was nicht 163 ergibt.

Daher müssen zwei der Variablen 45 sein (sei $ x = y = 45 $):

\[ 45 + 45 + z = 163 \quad \Rightarrow \quad 90 + z = 163 \quad \Rightarrow \quad z = 73 \]

Antwort: Die Werte sind 45, 45 und 73.

$ A $ ist eine Konstante. Bestimmen Sie $ A $, sodass die Gleichung $ 2x + 1 = 2A + 3(x + A) $ eine Lösung bei $ x = 2 $ hat.

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Setzen Sie $ x = 2 $ in die gegebene Gleichung ein:

\[ \begin{aligned} 2(2) + 1 &= 2A + 3(2 + A) \\ 4 + 1 &= 2A + 6 + 3A \\ 5 &= 5A + 6 \\ 5A &= -1 \\ A &= -\dfrac{1}{5} \end{aligned} \]

Ein Liter entspricht einem Kubikdezimeter ($ \text{dm}^3 $) und 1 Liter Wasser wiegt 1 Kilogramm. Wie schwer ist das Wasser in einem zylindrischen Behälter mit einem Radius von 50 Zentimetern und einer Höhe von 1 Meter?

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Rechnen Sie zuerst alle Einheiten in Dezimeter (dm) um, um einfach Liter zu berechnen, da 10 cm = 1 dm:

Radius $ r = 50 $ cm = 5 dm
Höhe $ h = 1 $ m = 100 cm = 10 dm

Berechnen Sie das Volumen des Zylinders:

\[ V = \pi r^2 h = 3,14 \times (5)^2 \times 10 = 3,14 \times 250 = 785 \; \text{dm}^3 \]

Da 1 $ \text{dm}^3 $ 1 kg wiegt, beträgt das Gesamtgewicht 785 kg.

In der Abbildung unten ist das Dreieck ABC ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck. AM steht senkrecht auf BC und MN steht senkrecht auf AC. Bestimmen Sie das Verhältnis des Flächeninhalts des Dreiecks MNC zum Flächeninhalt des Dreiecks ABC.

$Gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck ABC mit Höhen AM und MN$

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Da $ \triangle ABC $ ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck ist, teilt die auf die Hypotenuse gezeichnete Höhe $ AM $ das Dreieck in zwei kleinere, kongruente gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke: $ \triangle ABM $ und $ \triangle ACM $.

Daher ist der Flächeninhalt von $ \triangle ACM $ genau die Hälfte des Flächeninhalts von $ \triangle ABC $.

Analog dazu teilt die Höhe $ MN $ das gleichschenklige rechtwinklige Dreieck $ \triangle ACM $ in zwei kongruente gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke: $ \triangle AMN $ und $ \triangle CMN $.

Somit ist der Flächeninhalt von $ \triangle MNC $ genau die Hälfte des Flächeninhalts von $ \triangle ACM $.

Zusammengefasst ist der Flächeninhalt von $ \triangle MNC $ $ \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} $ des Flächeninhalts von $ \triangle ABC $.

Antwort: Das Verhältnis beträgt 1:4.

Pumpe A kann einen Wassertank in 4 Stunden füllen. Pumpe B kann denselben Tank in 6 Stunden füllen. Beide Pumpen werden um 8:00 Uhr morgens gestartet, um denselben leeren Tank zu füllen. Eine Stunde später fällt Pumpe B aus und benötigt eine Stunde Reparaturzeit, bevor sie wieder gestartet wird. Wann ist der Tank voll? (Runden Sie Ihre Antwort auf die nächste Minute).

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Die Füllrate von Pumpe A beträgt $ \dfrac{1}{4} $ Tanks pro Stunde. Die Rate von Pumpe B beträgt $ \dfrac{1}{6} $ Tanks pro Stunde.

Sei $ t $ die Gesamtzeit (in Stunden), in der Pumpe A läuft. Da Pumpe B genau 1 Stunde ausgefallen war, läuft sie $ t - 1 $ Stunden.

Zusammen füllen sie 1 ganzen Tank:

\[ \dfrac{t}{4} + \dfrac{t - 1}{6} = 1 \]

Multiplizieren Sie die Gleichung mit 12, um die Brüche zu eliminieren:

\[ \begin{aligned} 3t + 2(t - 1) &= 12 \\ 3t + 2t - 2 &= 12 \\ 5t &= 14 \\ t &= 2,8 \; \text{Stunden} \end{aligned} \]

Rechnen Sie 2,8 Stunden in Stunden und Minuten um:

\[ 0,8 \times 60 = 48 \; \text{Minuten} \]

Die Gesamtzeit beträgt 2 Stunden und 48 Minuten. Da der Start um 8:00 Uhr war, ist der Tank um 10:48 Uhr voll.

Sind die Geraden mit den Gleichungen $ 2x + y = 2 $ und $ x - 2y = 0 $ parallel, senkrecht oder keines von beidem?

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Wandeln Sie jede Gleichung in die Steigungsform ($ y = mx + b $) um:

\[ 2x + y = 2 \quad \Rightarrow \quad y = -2x + 2 \quad (\text{Steigung } m_1 = -2) \] \[ x - 2y = 0 \quad \Rightarrow \quad y = \dfrac{1}{2}x \quad (\text{Steigung } m_2 = \dfrac{1}{2}) \]

Die Steigungen sind negative Kehrwerte zueinander, da ihr Produkt $ -1 $ ergibt:

\[ m_1 \times m_2 = -2 \times \dfrac{1}{2} = -1 \]

Antwort: Die Geraden sind senkrecht zueinander.

Ein Halbkreis mit einem Flächeninhalt von $ 50\pi $ cm² ist einem Rechteck einbeschrieben. Der Durchmesser des Halbkreises fällt mit der Länge des Rechtecks zusammen. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Rechtecks.

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Sei $ R $ der Radius des Halbkreises. Der Flächeninhalt des Halbkreises ist die Hälfte eines vollen Kreises:

\[ \begin{aligned} \dfrac{1}{2}\pi R^2 &= 50\pi \\ R^2 &= 100 \\ R &= 10 \; \text{cm} \end{aligned} \]

Da der Durchmesser des Halbkreises mit der Länge des Rechtecks zusammenfällt, ist die Länge $ L = 2R = 20 $ cm.

Da der Halbkreis einbeschrieben ist, berührt sein Radius die obere Breite des Rechtecks, also ist die Breite $ B = R = 10 $ cm.

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Rechtecks:

\[ \text{Fläche} = L \times B = 20 \times 10 = 200 \; \text{cm}^2 \]

Ein Dreieck hat einen Flächeninhalt von 200 cm². Zwei Seiten dieses Dreiecks messen 26 cm bzw. 40 cm. Bestimmen Sie den exakten Wert der dritten Seite.

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Seien $ a = 26 $, $ b = 40 $ und $ \alpha $ der Winkel dazwischen. Die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks lautet:

\[ A = \dfrac{1}{2} a b \sin(\alpha) \]

Setzen Sie die bekannten Werte ein, um $ \sin(\alpha) $ zu bestimmen:

\[ \begin{aligned} 200 &= \dfrac{1}{2}(26)(40)\sin(\alpha) \\ 200 &= 520\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) &= \dfrac{200}{520} = \dfrac{5}{13} \end{aligned} \]

Verwenden Sie die Identität $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $, um $ \cos(\alpha) $ zu finden. Da ein Winkel in einem Dreieck spitz oder stumpf sein kann, gibt es zwei mögliche Werte für $ \cos(\alpha) $:

\[ \cos(\alpha) = \pm\sqrt{1 - \left(\dfrac{5}{13}\right)^2} = \pm\sqrt{\dfrac{144}{169}} = \pm\dfrac{12}{13} \]

Wenden Sie nun den Kosinussatz an, um die dritte Seite $ c $ zu bestimmen:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\alpha) \] \[ c^2 = 26^2 + 40^2 - 2(26)(40)\left(\pm\dfrac{12}{13}\right) \] \[ c^2 = 676 + 1600 \mp 2080\left(\dfrac{12}{13}\right) \] \[ c^2 = 2276 \mp 1920 \]

Berechnen Sie die beiden Möglichkeiten für $ c^2 $:

\[ \begin{aligned} c_1^2 &= 2276 - 1920 = 356 \\ c_2^2 &= 2276 + 1920 = 4196 \end{aligned} \]

Antwort: Die zwei exakten möglichen Werte für die dritte Seite sind $ 2\sqrt{89} $ cm und $ 2\sqrt{1049} $ cm.

Mathe-Textaufgaben Klasse 9: Fragen und Schritt-für-Schritt-Lösungen

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