Matheaufgaben mit Lösungen für die 9. Klasse

Sei \( x \) die Anzahl der Schülertickets und \( y \) die Anzahl der Erwachsenentickets. Verwende die gegebenen Informationen, um die Gleichungen aufzustellen:

\[ x + y = 120 \quad \text{(1)} \quad \text{und} \quad 8x + 12y = 1160 \quad \text{(2)} \]

Aus (1): \[ y = 120 - x \]

Setze in (2) ein:

\[ 8x + 12(120 - x) = 1160 \]

\[ 8x + 1440 - 12x = 1160 \]

\[ -4x = -280 \]

Löse nach \( x \) auf:

\[ x = 70 \]

Dann \( y = 120 - 70 = 50 \).

Es wurden \( 70 \) Schülertickets und \( 50 \) Erwachsenentickets verkauft.

Sei der kleinste Winkel \( x \), dann ist der zweite Winkel \( 3x \) und der dritte Winkel \( x + 20 \).

Die Winkelsumme im Dreieck beträgt \( 180^\circ \):

\[ x + 3x + (x + 20) = 180 \]

Fasse gleiche Terme zusammen:

\[ 5x + 20 = 180 \]

Löse nach \( x \) auf:

\[ 5x = 160 \]

\[ x = 32 \]

Winkel:
Kleinster Winkel: \( x = 32^\circ \)
Zweiter Winkel: \( 3x = 96^\circ \)
Dritter Winkel: \( x + 20 = 52^\circ \)

Um \( f(2) \) zu finden, ersetze \( x \) durch \(2\) in \( f(x) \):

\[ f(2) = 2(2)^2 - 3(2) + 1 = 2(4) - 6 + 1 = 8 - 6 + 1 = 3 \]

Um \( f(-1) \) zu finden, ersetze \( x \) durch \(-1\) in \( f(x) \):

\[ f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 2(1) + 3 + 1 = 6 \]

Volumen des Zylinders:

\[ V = \pi r^2 h = 3,14 \times 3^2 \times 5 = 3,14 \times 9 \times 5 \]

\[ = 3,14 \times 45 = 141,3 \; \text{m}^3 \]

Es gibt \( 6 \times 6 = 36 \) mögliche Ergebnisse mit zwei Würfeln:

(1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6)

(2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6)

(3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6)

(4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6)

(5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6)

(6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6)

Die Liste aller Kombinationen, die eine Summe von 9 ergeben, ist:

(3,6) , (4,5) , (5,4) , (6,3)

\[ \text{Wahrscheinlichkeit} =\dfrac{\text{Anzahl der Kombinationen mit Summe 9}}{\text{Gesamtzahl der Kombinationen}} \]

Anzahl der Kombinationen mit Summe 9 = 4

Gesamtzahl der Kombinationen = 36

Daher

\[ \text{Wahrscheinlichkeit} = \dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9} \]

Wir schreiben 32 als Potenz von 2:

\[ 32 = 2^5 \]

Schreibe die Gleichung um als

\[ 2^{x+1} = 2^5 \]

Wir leiten die algebraische Gleichung ab

\[ x + 1 = 5 \]

Löse nach \( x \) auf:

\[ x = 4 \]

Die Leiter, der Boden und die Wand bilden ein rechtwinkliges Dreieck, wobei die Leiter die Hypotenuse bildet. Sei die Höhe \( h \) und wende den Satz des Pythagoras an:

\[ h^2 + 5^2 = 13^2 \]

Vereinfache und schreibe um:

\[ h^2 = 144 \]

Löse nach \( h \) auf:

\[ h = \sqrt{144} = 12 \]

Die Leiter erreicht die Wand in 12 Metern Höhe.

Sei \( x \) die Anzahl der 0,25-$-Münzen und \( y \) die Anzahl der 1-$-Münzen, und verwende die gegebenen Informationen, um die Gleichungen aufzustellen:

\[ x + y = 50 \quad \text{(1)} \quad \text{und} \quad 0,25 x + 1 y = 35 \quad \text{(2)} \]

Multipliziere Gleichung (2) mit 100, um Dezimalstellen zu entfernen:

\[ 25 x + 100 y = 3500 \quad \text{(3)} \]

und aus Gleichung (1) folgt:

\[ y = 50 - x \]

Setze \( y = 50 - x \) in Gleichung (3) ein:

\[ 25x + 100(50 - x) = 3500 \]

Multipliziere aus und fasse gleiche Terme zusammen:

\[ - 75 x = - 1500 \]

Löse nach \( x \) auf:

\[ x = 20 \]

\[ y = 50 - 20 = 30 \]

Es gibt 20 Münzen zu 0,25 $ und 30 Münzen zu 1 $.

Die Differenz zwischen zwei ungeraden Zahlen ist \( 2 \). Wenn die erste Zahl \( x \) ist, dann ist die zweite \( x + 2 \) und die dritte Zahl \( x + 4 \), und ihre Summe ist \( 123 \), daher die Gleichung:

\[ x + (x + 2) + (x + 4) = 123 \]

Fasse gleiche Terme zusammen:

\[ 3x + 6 = 123 \]

Löse nach \( x \) auf:

\[ x = 39 \]

Also sind die Zahlen: \[ x = 39 \; , \; x+ 2 = 39+2 = 41 \; , \; x+4 = 39+4 = 43 \]

\[ \{39,41,43\} \]

Sei die Breite \( x \) Meter. Dann ist die Länge \( x + 4 \) Meter.

\[ \text{Fläche} = \text{Länge} \times \text{Breite} = x(x + 4) = 96 \]

\[ x^2 + 4x - 96 = 0 \]

Löse mit der quadratischen Formel:

\[ x = \dfrac{-4 \pm \sqrt{4^2 + 4 \cdot 96}}{2} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{16 + 384}}{2} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{400}}{2} \]

\[ x = \dfrac{-4 \pm 20}{2} \Rightarrow x = 8 \text{ oder } -12 \]

Wir verwerfen den negativen Wert.

Breite: \( x = 8 \) m

Länge: \( x + 4 = 12 \) m.

Wenn \( x \) die gesuchte Zahl ist, ist ihr Quadrat \( x^2 \) und da sie gleich sind, stellen wir die Gleichung auf:

\[ x = x^2 \]

Schreibe die Gleichung in Standardform:

\[ x - x^2 = 0 \]

Faktorisiere

\[ x(1 - x) = 0 \]

\[ x = 0 \quad \text{oder} \quad x = 1 \]

Überprüfe die Antworten.

1) Wenn \( x = 0 \), ist ihr Quadrat \( 0^2 = 0 \). Daher sind \( x \) und ihr Quadrat gleich.

2) Wenn \( x = 1 \), ist ihr Quadrat \( 1^2 = 1 \). Daher sind \( x \) und ihr Quadrat gleich.

\( x \) ist gleich der Hälfte seines Quadrats. Daher:

\[ x = \dfrac{1}{2}x^2 \]

Schreibe in Standardform:

\[ x - \dfrac{1}{2}x^2 = 0 \]

Faktorisiere:

\[ x\left(1 - \dfrac{1}{2}x\right) = 0 \]

Lösungen:

\[ x = 0 \quad \text{und} \quad x = 2 \]

Überprüfe die Antworten.

1) Für \( x = 0 \):

\[ \dfrac{1}{2}(0)^2 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}x^2 \text{ ist erfüllt} \]

2) Für \( x = 2 \):

\[ \dfrac{1}{2}(2)^2 = \dfrac{1}{2}(4) = 2 \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}x^2 \text{ ist erfüllt} \]

Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist gegeben durch:

\[ \text{Durchschnittsgeschwindigkeit} = \dfrac{\text{Gesamtstrecke}}{\text{Gesamtzeit}} \]

Wenn \( x \) die Entfernung von A nach B ist, dann ist die Gesamtstrecke \( 2x \) (hin und zurück).

Die Gesamtzeit \( T \) ist die Summe der Zeit von A nach B, gegeben durch \( \dfrac{x}{40} \), und der Zeit von B nach A, gegeben durch \( \dfrac{x}{60} \), also:

\[ T = \dfrac{x}{40} + \dfrac{x}{60} \]

Auf den gemeinsamen Nenner \( 120 \) bringen und addieren:

\[ T = \dfrac{3x + 2x}{120} = \dfrac{5x}{120} = \dfrac{x}{24} \]

Die Durchschnittsgeschwindigkeit für die gesamte Fahrt beträgt:

\[ \text{Durchschnittsgeschwindigkeit} = \dfrac{2x}{T} = \dfrac{2x}{\dfrac{x}{24}} = 2x \cdot \dfrac{24}{x} = 48 \text{ mph} \]

Sei \( x \) die Entfernung in die Stadt. Dann ist die Zeit \( T_1 \), die für die Hinfahrt benötigt wird, gegeben durch:

\[ T_1 = \dfrac{\text{Entfernung}}{\text{Geschwindigkeit}} = \dfrac{x}{60} \]

Die Zeit \( T_2 \) für die Rückfahrt ist gegeben durch:

\[ T_2 = \dfrac{x}{50} \]

Die Gesamtzeit für Hin- und Rückfahrt beträgt 5 Stunden. Daher:

\[ \dfrac{x}{60} + \dfrac{x}{50} = 5 \]

Multipliziere alle Terme mit dem gemeinsamen Nenner \( 300 \):

\[ 300 \dfrac{x}{60} + 300 \dfrac{x}{50} = 300 \cdot 5 \]

Vereinfache:

\[ 50 x + 60 x = 1500 \]

Löse nach \( x \) auf:

\[ x = \dfrac{1500}{11} \approx 136 \text{ Meilen} \]

Sei \( t \) die Zeit in Stunden ab 11:00 Uhr, zu der Jimmy John einholt.

Jimmy startet eine Viertelstunde später, also ist die Zeit, die er fährt: \[ t - \dfrac{1}{4} \].

Da sie die gleiche Strecke zurückgelegt haben, wenn Jimmy John einholt, stellen wir die Gleichung auf:

\[ 50t = 65\left(t - \dfrac{1}{4}\right) \]

Bringe alle Terme mit \( t \) auf eine Seite:

\[ \dfrac{65}{4} = 15t \]

Multipliziere alle Terme der obigen Gleichung mit \( 4 \) und vereinfache:

\[ 65 = 60 t \]

Daher

\[ t = \dfrac{65}{60} = \dfrac{13}{12} \]

Umrechnung in Minuten:

\[ \dfrac{13}{12} \text{ Stunden} = \dfrac{13}{12} \times 60 = 65 \text{ Minuten} \]

Jimmy wird John einholen um:

\[ 11:00 \, \text{Uhr} + 1 \, \text{Stunde} \, 5 \, \text{Minuten} = 12:05 \, \text{Uhr} \]

Finde die Steigung der Geraden

\[ 5x - 3y = 4 \]

Umformen in die Hauptform (Steigung-Achsenabschnitt-Form):

\[ -3y = -5x + 4 \]

\[ y = \dfrac{5}{3}x - \dfrac{4}{3} \]

Die Steigung der Geraden ist also:

\[ \text{Steigung} = \dfrac{5}{3} \]

Das Produkt der Steigungen zweier senkrechter Geraden ist gleich \( -1 \). Sei \( m \) die Steigung der Geraden, die senkrecht auf der Geraden \( 5x - 3y = 4 \) steht. Dann gilt:

\[ m \cdot \dfrac{5}{3} = -1 \]

Löse nach \( m \) auf.

\[ m = -\dfrac{3}{5} \]

Die Gleichung der Geraden, die durch den Punkt \( (-4, 5) \) verläuft und senkrecht zu \( 5x - 3y = 4 \) ist, lautet:

\[ y - 5 = -\dfrac{3}{5}(x - (-4)) = -\dfrac{3}{5}(x + 4) \]

\[ y = -\dfrac{3}{5}x - \dfrac{12}{5} + 5 \]

\[ y = -\dfrac{3}{5}x + \dfrac{13}{5} \]

Multipliziere beide Seiten mit 5, um Brüche zu eliminieren:

\[ 5y = -3x + 13 \]

Endgültige Gleichung:

\[ 3x + 5y = 13 \]

Seien \( L \) und \( W \) die Länge und Breite des Rechtecks. Fläche und Umfang des Rechtecks können wie folgt geschrieben werden:

\[ L \cdot W = 300 \quad \text{(Fläche)} \]

\[ 2(L + W) = 80 \quad \text{oder} \quad L + W = 40 \quad \text{(Umfang)} \]

Löse die Gleichung \( L + W = 40 \) nach \( W \) auf:

\[ W = 40 - L \]

Setze \( W \) durch \( 40 - L \) in der Gleichung \( L \cdot W = 300 \) ein:

\[ L(40 - L) = 300 \]

Schreibe die obige Gleichung in Standardform:

\[ L^2 - 40L + 300 = 0 \]

Faktorisiere die linke Seite:

\[ (L - 30)(L - 10) = 0 \]

Löse nach \( L \) auf, um zwei Lösungen zu erhalten:

\[ L = 30 \quad , \quad L = 10 \]

Löse nach \( L \) und berechne \( W \):

Für \( L = 30 \), dann \( W = 40 - L = 10 \).

Für \( L = 10 \), dann \( W = 40 - 10 = 30 \).

Angenommen, die Länge ist größer als die Breite, hat das Rechteck eine Länge

\[ L = 30 \, \text{Meter} \quad \text{und} \quad W = 10 \, \text{Meter} \]

Sei \( x \) die Seite des Swimmingpools.

Wenn die nicht vom Swimmingpool bedeckte Fläche die Hälfte des rechteckigen Gartens ist, dann wird die andere Hälfte vom Swimmingpool bedeckt, dessen Fläche \( x^2 \) ist. Daher,

\[ x^2 = \text{Hälfte der Fläche des Rechtecks} \]

\[ = \dfrac{1}{2} ( 100 \times 50 ) = 2500 \]

Löse nach \( x \) auf:

\[ x = \sqrt{2500} = 50 \text{ Meter} \]

Seitenlänge des Swimmingpools = 50 Meter

Beachte, dass da \( \triangle ABC \) gleichseitig ist und \( BH \perp AC \), gilt:

\[ HC = \dfrac{50}{2} = 25 \, \text{cm} \]

Da \( MN \parallel HC \), sind die Dreiecke \( \triangle BMN \) und \( \triangle BHC \) ähnlich, und die Verhältnisse der entsprechenden Seiten sind gleich:

\[ \dfrac{BN}{BC} = \dfrac{BM}{BH} = \dfrac{MN}{HC} = \dfrac{12}{25} \]

Die Fläche \( A \) des Dreiecks \( \triangle BMN \) ist gegeben durch:

\[ A = \dfrac{1}{2} \cdot BM \cdot MN \]

Die Fläche \( B \) des Dreiecks \( \triangle BHC \) ist:

\[ B = \dfrac{1}{2} \cdot BH \cdot HC \]

Betrachten wir nun das Verhältnis der Flächen:

\[ \dfrac{A}{B} = \dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot BM \cdot MN}{\dfrac{1}{2} \cdot BH \cdot HC} = \dfrac{BM}{BH} \cdot \dfrac{MN}{HC} = \left( \dfrac{12}{25} \right)^2 \]

Daraus folgt:

\[ A = \left( \dfrac{12}{25} \right)^2 B \]

Berechnen wir nun \( BH \) mit dem Satz des Pythagoras:

\[ BH = \sqrt{50^2 - 25^2} = \sqrt{2500 - 625} = \sqrt{1875} = 25\sqrt{3} \]

Dann ist die Fläche \( B \) des Dreiecks \( \triangle BHC \):

\[ B = \dfrac{1}{2} \cdot BH \cdot HC = \dfrac{1}{2} \cdot 25\sqrt{3} \cdot 25 = \dfrac{1}{2} \cdot 25^2 \cdot \sqrt{3} \]

Verwende nun die oben gefundene Beziehung \( A = \left( \dfrac{12}{25} \right)^2 B \), um die Fläche \( A \) des Dreiecks \( \triangle BMN \) zu finden:

\[ A = \left( \dfrac{12}{25} \right)^2 \cdot B = \left( \dfrac{12}{25} \right)^2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 25^2 \cdot \sqrt{3} \]

\[ A = \dfrac{144}{625} \cdot \dfrac{625}{2} \cdot \sqrt{3} = 72\sqrt{3} \, \text{cm}^2 \]

Wir berechnen zuerst das Wasservolumen ohne Stein:

\[ V_1 = 10 \times (\pi \times 5^2) = 250\pi \; \text{cm}^3 \]

Das Volumen von Wasser und Stein zusammen ist gegeben durch:

\[ V_2 = 13,2 \times (\pi \times 5^2) = 330\pi \; \text{cm}^3 \]

Das Volumen des Steins ergibt sich aus der Differenz:

\[ V_2 - V_1 = 330\pi - 250\pi = 80\pi \]

\[ \approx 251,1 \, \text{cm}^3 \]

Mit \( \pi \approx 3,14 \).

Beachte, dass die Länge der Diagonale des Quadrats gleich dem Durchmesser des Kreises ist. Die Seite \( x \) des Quadrats erfüllt:

\[ x^2 = 400, \quad \text{daher} \quad x = 20 \, \text{cm} \]

Die Diagonale \( D \) des Quadrats wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet:

\[ D^2 = x^2 + x^2 = 800 \]

Die Fläche \( A \) des Kreises ist gegeben durch

\[ A = \pi \left( \dfrac{D}{2} \right)^2 = \dfrac{\pi D^2}{4} = 200\pi \, \text{cm}^2 \]

\[ A \approx 628 \, \text{cm}^2 \]

Der Durchschnitt von 2, 3, 5 und \( x \) ist gegeben durch

\[ \dfrac{2 + 3 + 5 + x}{4} \]

und es ist bekannt, dass dieser gleich 4 ist. Daher,

\[ \dfrac{2 + 3 + 5 + x}{4} = 4 \]

Löse die obige Gleichung nach \( x \) auf, um zu erhalten

\[ x = 6 \]

Der Durchschnitt von \( x \), \( y \), \( z \) und \( w \) ist gleich 25. Daher,

\[ \dfrac{x + y + z + w}{4} = 25 \]

Der Durchschnitt von \( x \), \( y \) und \( z \) ist gleich 27. Daher,

\[ \dfrac{x + y + z}{3} = 27 \]

Daraus folgt

\[ x + y + z = 3 \times 27 = 81 \]

Setze \( x + y + z = 81 \) in die Gleichung \( \dfrac{x + y + z + w}{4} = 25 \) ein, um die Gleichung zu erhalten:

\[ \dfrac{81 + w}{4} = 25 \]

Löse die obige Gleichung nach \( w \) auf:

\[ 81 + w = 25 \times 4 = 100 \]

\[ w = 100 - 81 = 19 \]

Daher ist \( w = 19 \).

Der arithmetische Mittelwert von \(41\), \(46\), \(x\), \(y\) und \(z\) ist gleich 50. Daher,

\[ \dfrac{41 + 46 + x + y + z}{5} = 50 \]

Stelle die Gleichung um, um zu erhalten:

\[ x + y + z = 163 \]

Der Modalwert ist der wiederholte Wert. Wir können nicht \(x = y = z = 45\) haben, weil ihre Summe dann nicht 163 wäre. Die einzige Möglichkeit ist, dass \(x = y = 45\). Daher kann die obige Gleichung geschrieben werden als:

\[ 45 + 45 + z = 163 \]

Löse die obige Gleichung nach \(z\) auf:

\[ z = 73 \]

Setze \( x = 2 \) in die gegebene Gleichung ein:

\[ 2(2) + 1 = 2A + 3(2 + A) \]

Löse nach \( A \) auf:

\[ A = \dfrac{-1}{5} \]

Das Symbol \( \text{dm} \) steht für Dezimeter, was 10 cm entspricht. Wir rechnen alle gegebenen Einheiten in \( \text{dm} \) um.

Radius: \( r = 50 \, \text{cm} = 5 \, \text{dm} \)

Höhe: \( h = 1 \, \text{m} = 10 \, \text{dm} \)

Das Wasservolumen im zylindrischen Behälter ist gegeben durch:

\[ V = \pi r^2 h = 3,14 \times (5 \, \text{dm})^2 \times 10 \, \text{dm} = 785 \, \text{dm}^3 \]

Da 1 dm³ Wasser 1 kg wiegt, beträgt das Gesamtgewicht des Wassers im Behälter:

\[ 785 \, \text{dm}^3 \times \dfrac{1 \, \text{kg}}{\text{dm}^3} = 785 \, \text{kg} \]

ABC ist gleichschenklig; daher gilt

\[ AB = AC \]

Die Dreiecke \( ABM \) und \( ACM \) haben gleiche Seiten, eine gemeinsame Seite und gleiche Winkel. Daher sind sie kongruente Dreiecke. Folglich ist die Fläche des Dreiecks \( AMC \) halb so groß wie die Fläche des Dreiecks \( ABC \).

Im Dreieck \( MAC \) sind die Winkel \( \angle MAC \) und \( \angle MCA \) beide gleich \( 45^\circ \). Daher ist das Dreieck \( MAC \) ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck. Folglich sind die Dreiecke \( MAN \) und \( MCN \) kongruent (ähnlicher Beweis wie oben). Somit ist die Fläche des Dreiecks \( MNC \) halb so groß wie die Fläche des Dreiecks \( AMC \).

Daher ist das Verhältnis der Fläche des Dreiecks \( MNC \) zur Fläche des Dreiecks \( ABC \) gleich

\[ \dfrac{1}{4}. \]

Pumpe A kann 1 Tank in 4 Stunden füllen; daher ist die Förderrate von Pumpe A

\[ \dfrac{1}{4} \quad \text{(Tank/Stunde)}. \]

Pumpe B kann 1 Tank in 6 Stunden füllen; daher ist die Förderrate von Pumpe B

\[ \dfrac{1}{6} \quad \text{(Tank/Stunde)}. \]

Sei \( t \) die Zeit in Stunden, die Pumpe A benötigt, um den Tank zu füllen. Während der \( t \) Stunden füllt Pumpe A also

\[ t \times \dfrac{1}{4} \quad \text{des Tanks}. \]

Pumpe B war eine Stunde lang ausgefallen und wird daher für \( t - 1 \) Stunden Wasser in den Tank pumpen; während \( t - 1 \) Stunden füllt Pumpe B also

\[ (t - 1) \times \dfrac{1}{6} \quad \text{des Tanks}. \]

Die beiden Pumpen arbeiten zusammen, um 1 Tank zu füllen; daher gilt

\[ t \times \dfrac{1}{4} + (t - 1) \times \dfrac{1}{6} = 1. \]

Multipliziere alle Terme in der obigen Gleichung mit 24 und vereinfache:

\[ 24 \times t \times \dfrac{1}{4} + 24 \times (t - 1) \times \dfrac{1}{6} = 24 \times 1. \]

\[ 6t + 4(t - 1) = 24. \]

Vereinfache:

\[ 10t = 28 \quad \]

Löse nach \( t \) auf:

\[ t = \dfrac{28}{10} = 2,8 \, \text{Stunden} \]

\[ = 2 \, \text{Stunden} + 0,8 \times 60 \, \text{Minuten} \]

\[ = 2 \, \text{Stunden} \, 48 \, \text{Minuten}. \]

Der Tank ist voll um

\[ 8:00 \, \text{Uhr} + 2 \, \text{Stunden} \, 48 \, \text{Minuten} = 10:48 \, \text{Uhr}. \]

Schreibe jede der gegebenen Gleichungen in der Form \( y = mx + b \) und bestimme die Steigung \( m \).

\[ 2x + y = 2 \quad \text{ergibt} \quad y = -2x + 2, \quad \text{Steigung} \, m_1 = -2 \]

\[ x - 2y = 0 \quad \text{ergibt} \quad y = \dfrac{x}{2}, \quad \text{Steigung} \, m_2 = \dfrac{1}{2} \]

\( m_1 \) und \( m_2 \) sind nicht gleich, daher sind die Geraden nicht parallel. Das Produkt der beiden Steigungen ist jedoch:

\[ m_1 \times m_2 = -2 \times \dfrac{1}{2} = -1 \]

Die beiden Geraden sind senkrecht zueinander.

Wenn \( R \) der Radius eines Halbkreises ist, wird seine Fläche durch die Formel angegeben:

\[ \dfrac{1}{2} \pi R^2 = 50 \pi \]

Löse die obige Gleichung nach \( R \) auf:

\[ R^2 = 100 \quad \Rightarrow \quad R = 10 \]

Die Länge \( L \) des Rechtecks ist gleich dem Durchmesser, daher:

\[ L = 2R = 20 \, \text{cm} \]

Der Halbkreis ist in das Rechteck einbeschrieben, daher ist sein Radius gleich der Breite \( W \) des Rechtecks. Daher:

\[ W = R = 10 \, \text{cm} \]

Die Fläche des Rechtecks ist:

\[ L \times W = 20 \times 10 = 200 \, \text{cm}^2 \]

Die Fläche \( A \) eines Dreiecks, gegeben durch seine beiden Seiten \( a \) und \( b \), die einen Winkel \( \alpha \) einschließen, ist gegeben durch

\[ A = \dfrac{1}{2} ab \sin(\alpha) \]

Verwende den Kosinussatz, um \( \cos(\alpha) \) zu finden:

\[ \cos(\alpha) = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \]

wobei \( c \) die dritte Seite des Dreiecks ist.

Verwende die Formel

\[ \sin(\alpha) = \sqrt{1 - \cos^2(\alpha)} \]

um die Formel für die Fläche umzuschreiben als

\[ A = \dfrac{1}{2} ab \sin(\alpha) = \dfrac{1}{2} ab \sqrt{1 - \left( \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \right)^2} \]

Vereinfache, um zu erhalten

\[ A = \dfrac{1}{4} \sqrt{4a^2b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2} \]

Löse nach \( c \) auf, um zwei Lösungen zu erhalten:

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2 \pm \sqrt{4a^2b^2 - 16A^2}} \]

In dieser Aufgabe sind \( a = 26 \), \( b = 40 \) und \( A = 200 \). Setze ein und löse, um zwei Lösungen zu finden:

\[ c_1 = \sqrt{356} = 2\sqrt{89}, \quad c_2 = \sqrt{4196} = 2\sqrt{1049} \]