Lösung
Wenn \(x\) die gesuchte Zahl ist, ist ihr Quadrat \(x^{2}\). \(x\) ist gleich ihrem Quadrat, also: \[ x = x^{2} \] Löse die obige Gleichung durch Faktorisieren. Schreibe sie zuerst mit der rechten Seite gleich Null: \[ x - x^{2} = 0 \] \[ x(1 - x) = 0 \] Lösungen: \[ x = 0 \quad \text{und} \quad x = 1 \] Antworten überprüfen:1) \(x = 0\), ihr Quadrat ist \(0^{2} = 0\). Daher sind \(x\) und ihr Quadrat gleich.
2) \(x = 1\), ihr Quadrat ist \(1^{2} = 1\). Daher sind \(x\) und ihr Quadrat gleich.
Lösung
Sei \(x\) die gesuchte Zahl. Die Hälfte ihres Quadrats ist \[ \frac{1}{2} x^2 \] \(x\) ist gleich der Hälfte ihres Quadrats, also: \[ x = \frac{1}{2} x^2 \] Schreibe zuerst mit der rechten Seite gleich Null: \[ x - \frac{1}{2} x^2 = 0 \] Faktorisieren: \[ x \left( 1 - \frac{1}{2}x \right) = 0 \] Lösungen: \[ x = 0 \quad \text{und} \quad x = 2 \] Antworten überprüfen:1) \(x = 0\), die Hälfte ihres Quadrats ist \[ \frac{1}{2} \cdot 0^2 = 0 \] Daher sind \(x\) und die Hälfte ihres Quadrats gleich.
2) \(x = 2\), die Hälfte ihres Quadrats ist \[ \frac{1}{2} \cdot 2^2 = 2 \] Daher sind \(x\) und die Hälfte ihres Quadrats gleich.
Lösung
Wenn \(x\) die gesuchte Zahl ist, dann ist das Viertel ihres Quadrats \[ \frac{1}{4} x^2 \] \(x\) ist gleich dem Viertel ihres Quadrats, also: \[ x = \frac{1}{4} x^2 \] Schreibe die obige Gleichung zuerst mit der rechten Seite gleich Null: \[ x - \frac{1}{4} x^2 = 0 \] Faktorisiere \(x\) aus: \[ x \left( 1 - \frac{1}{4}x \right) = 0 \] Lösungen: \[ x = 0 \quad \text{und} \quad x = 4 \] Antworten überprüfen:1) \(x = 0\), das Viertel ihres Quadrats ist \[ \frac{1}{4} \cdot 0^2 = 0 \] Daher sind \(x\) und das Viertel ihres Quadrats gleich.
2) \(x = 4\), das Viertel ihres Quadrats ist \[ \frac{1}{4} \cdot 4^2 = 4 \] Daher sind \(x\) und das Viertel ihres Quadrats gleich.
Lösung
Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist gegeben durch \[ \text{Durchschnittsgeschwindigkeit} = \frac{\text{Gesamtstrecke}}{\text{Gesamtzeit}} \] Wenn \(x\) die Entfernung von A nach B ist, dann ist die Gesamtstrecke \(2x\) (Hin- und Rückfahrt). Die Gesamtzeit \(T\) ist gleich \[ t_1 = \frac{x}{40} \quad \text{(Hinfahrt)}, \quad t_2 = \frac{x}{60} \quad \text{(Rückfahrt)} \] Daher \[ T = \frac{x}{40} + \frac{x}{60} = \frac{100x}{2400} = \frac{x}{24} \] Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist daher \[ \frac{2x}{x/24} = 48 \ \text{mph} \]Lösung
Sei \(x\) die zurückgelegte Entfernung zur Stadt, dann ist die benötigte Zeit \[ \frac{x}{60} \] und die Zeit für die Rückfahrt ist \[ \frac{x}{50} \] Die Gesamtzeit beträgt 5 Stunden, also \[ \frac{x}{60} + \frac{x}{50} = 5 \] Löse nach \(x\) auf: \[ \frac{5x + 6x}{300} = 5 \] \[ \frac{11x}{300} = 5 \] \[ x = \frac{1500}{11} \approx 136 \ \text{Meilen} \]Lösung
Sei \(t\) die Anzahl der Stunden ab 11:00 Uhr, zu der Jimmy John einholt. Jimmy wird \(t - \frac14\) Stunden fahren (späterer Start). Wenn sie sich treffen, sind die Strecken gleich: \[ 50t = 65\left(t - \frac14\right) \] Lösen: \[ 50t = 65t - \frac{65}{4} \] \[ 15t = \frac{65}{4} \] \[ t = \frac{65}{60} \approx 1.083 \ \text{Stunden} \] Das ist 1 Stunde und 5 Minuten nach 11:00 Uhr, also holt Jimmy ein um \[ 12:05 \ \text{Uhr mittags} \]Lösung
Bestimmen Sie zuerst die Steigung der Geraden \(5x - 3y = 4\): \[ -3y = -5x + 4 \] \[ y = \frac{5}{3}x - \frac{4}{3} \] Die Steigung ist: \[ m_{\text{gegeben}} = \frac{5}{3} \] Sei \(m\) die Steigung der senkrechten Geraden: \[ m \cdot \frac{5}{3} = -1 \] \[ m = -\frac{3}{5} \] Die Gleichung der Geraden, die \((-4, 5)\) enthält und senkrecht zu \(5x - 3y = 4\) ist, lautet: \[ y - 5 = -\frac{3}{5}(x - (-4)) \] \[ y = -\frac{3}{5}x + \frac{13}{5} \] \[ 5y + 3x = 13 \]Lösung
Seien \(L\) und \(W\) die Länge und Breite des Rechtecks. Wir haben: \[ L \cdot W = 300 \] \[ 2(L + W) = 80 \quad \Rightarrow \quad L + W = 40 \] Aus \(L + W = 40\): \[ W = 40 - L \] Einsetzen in \(L \cdot W = 300\): \[ L(40 - L) = 300 \] Normalform: \[ L^2 - 40L + 300 = 0 \] \[ (L - 30)(L - 10) = 0 \] Somit: \[ L = 30 \quad \Rightarrow \quad W = 10 \] \[ L = 10 \quad \Rightarrow \quad W = 30 \] Angenommen \(L > W\), hat das Rechteck: \[ L = 30\ \text{m}, \quad W = 10\ \text{m} \]Lösung
Die Fläche \(A\) eines Trapezes ist: \[ A = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (b_1 + b_2) \] Hier \(b_1 = 12\ \text{cm}\), \(b_2 = 23\ \text{cm}\), aber \(h\) (Höhe) ist nicht angegeben. Daher gibt es nicht genügend Informationen, um die Fläche zu berechnen.Lösung
Sei \(x\) die Seite des Schwimmbeckens. Die Fläche des Schwimmbeckens ist \(x^2\). Da die verbleibende Fläche die Hälfte der Gartenfläche ist: \[ x^2 = \frac{1}{2} \cdot (100 \cdot 50) = 2500 \] Somit: \[ x = 50\ \text{m} \]
Lösung
Beachten Sie, dass da \(ABC\) ein gleichseitiges Dreieck ist und \(BH\) senkrecht zu \(AC\) steht, \[ HC = \frac{50}{2} = 25 \ \text{cm}. \] Da außerdem \(MN\) und \(HC\) parallel sind, sind die beiden Dreiecke \(BMN\) und \(BHC\) ähnlich und die Größen ihrer Seiten sind proportional. Daher \[ \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{HC} = \frac{BM}{BH} = \frac{12}{25}. \] Die Fläche des Dreiecks \(BMN\) ist gegeben durch \[ A = \frac12 \cdot BM \cdot MN. \] Die Fläche des Dreiecks \(BHC\) ist gegeben durch \[ B = \frac12 \cdot BH \cdot HC. \] Beachten Sie das Verhältnis der beiden Flächen: \[ \frac{A}{B} = \frac{\frac12 BM \cdot MN}{\frac12 BH \cdot HC} = \frac{BM}{BH} \cdot \frac{MN}{HC} = \frac{12}{25} \cdot \frac{12}{25} = \left( \frac{12}{25} \right)^2. \] Finden wir nun \(BH\) mit dem Satz des Pythagoras: \[ BH = \sqrt{50^2 - 25^2} = 25\sqrt{3}. \] Die Fläche \(B\) des Dreiecks \(BHC\) ist gegeben durch: \[ B = \frac12 \cdot 25\sqrt{3} \cdot 25 = \frac12 \cdot 25^2 \sqrt{3}. \] Wir verwenden nun das Verhältnis \(\frac{A}{B} = \left(\frac{12}{25}\right)^2\), um \(A\), die Fläche des Dreiecks \(BMN\), zu finden: \[ A = \left(\frac{12}{25}\right)^2 \cdot B = \left(\frac{12}{25}\right)^2 \cdot \frac12 \cdot 25^2 \sqrt{3} = 72\sqrt{3} \ \text{cm}^2. \]
Lösung
Wir finden zuerst das Wasservolumen ohne den Stein: \[ V_1 = 10 \cdot (\pi \cdot 5^2) = 250\pi \quad (\pi \approx 3.14). \] Das Volumen von Wasser und Stein ist gegeben durch: \[ V_2 = 13.2 \cdot (\pi \cdot 5^2) = 330\pi. \] Das Volumen des Steins ist: \[ V_2 - V_1 = 330\pi - 250\pi = 80\pi \approx 251.1 \ \text{cm}^3. \]
Lösung
Die Größe der Diagonale des Quadrats ist gleich dem Durchmesser des Kreises. Die Seite \(x\) des Quadrats ist so, dass \[ x^2 = 400 \quad \Rightarrow \quad x = 20 \ \text{cm}. \] Die Diagonale \(D\) des Quadrats wird mit dem Satz des Pythagoras ermittelt: \[ D^2 = x^2 + x^2 = 800 \quad \Rightarrow \quad D = \sqrt{800}. \] Die Fläche \(A\) des Kreises ist: \[ A = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 = \frac{\pi D^2}{4} = 200\pi \approx 628 \ \text{cm}^2. \]Lösung
Der Durchschnitt von \(2, 3, 5, x\) ist: \[ \frac{2 + 3 + 5 + x}{4}. \] Es ist bekannt, dass dieser gleich 4 ist, also: \[ \frac{2 + 3 + 5 + x}{4} = 4. \] Löse nach \(x\) auf: \[ 10 + x = 16 \quad \Rightarrow \quad x = 6. \]Lösung
Der Durchschnitt von \(x, y, z, w\) ist 25. Daher \[ \frac{x + y + z + w}{4} = 25 \] Der Durchschnitt von \(x, y, z\) ist 27. Daher \[ \frac{x + y + z}{3} = 27 \] Dies ergibt \[ x + y + z = 3 \times 27 = 81 \] Setze \(x + y + z = 81\) in \(\frac{x + y + z + w}{4} = 25\) ein: \[ \frac{81 + w}{4} = 25 \] Löse nach \(w\) auf: \[ w = 19 \]Lösung
Der arithmetische Mittelwert von \(41, 46, x, y, z\) ist 50. Daher \[ \frac{41 + 46 + x + y + z}{5} = 50 \] Umstellen: \[ x + y + z = 163 \] Der Modus ist der wiederholte Wert. Wir können nicht \(x = y = z = 45\) haben, weil ihre Summe nicht 163 wäre. Die einzige Möglichkeit ist \(x = y = 45\). Somit: \[ 45 + 45 + z = 163 \] Lösen: \[ z = 73 \]Lösung
Setze \(x = 2\) in die Gleichung ein: \[ 2(2) + 1 = 2A + 3(2 + A) \] Löse nach \(A\) auf: \[ A = -\frac{1}{5} \]Lösung
Da \(1\ \text{dm} = 10\ \text{cm}\), rechnen wir um: \[ r = 50\ \text{cm} = 5\ \text{dm}, \quad h = 1\ \text{m} = 10\ \text{dm} \] Das Volumen des Zylinders ist: \[ V = \pi r^2 h = 3.14 \times (5\ \text{dm})^2 \times 10\ \text{dm} = 785\ \text{dm}^3 \] Da \(1\ \text{dm}^3\) \(1\ \text{kg}\) wiegt, beträgt das Gesamtgewicht: \[ 785\ \text{dm}^3 \times \frac{1\ \text{kg}}{\text{dm}^3} = 785\ \text{kg} \]
Lösung
Da \(ABC\) gleichschenklig ist: \[ AB = AC \] Die Dreiecke \(ABM\) und \(ACM\) haben gleiche Seiten, eine gemeinsame Seite und gleiche Winkel, sind also kongruent. Daher ist die Fläche des Dreiecks \(AMC\) die Hälfte von der des Dreiecks \(ABC\). Im Dreieck \(MAC\) haben die Winkel \(\angle MAC\) und \(\angle MCA\) jeweils \(45^\circ\), also ist das Dreieck \(MAC\) gleichschenklig rechtwinklig. Somit sind die Dreiecke \(MAN\) und \(MCN\) kongruent. Die Fläche des Dreiecks \(MNC\) ist die Hälfte der Fläche des Dreiecks \(AMC\). Daher, \[ \frac{\text{Fläche } MNC}{\text{Fläche } ABC} = \frac{1}{4} \]Pumpe A kann einen Wassertank in 4 Stunden füllen. Pumpe B kann denselben Tank in 6 Stunden füllen. Beide Pumpen werden um 8:00 Uhr morgens gestartet, um denselben leeren Tank zu füllen. Eine Stunde später fällt Pumpe B aus und benötigt eine Stunde zur Reparatur und wird dann wieder gestartet. Wann wird der Tank voll sein? (Runde deine Antwort auf die nächste Minute).
Lösung
Pumpe A kann 1 Tank in 4 Stunden füllen; daher ist die Rate von Pumpe A
\[ \frac{1}{4} \ \text{(Tank/Stunde)} \]Pumpe B kann 1 Tank in 6 Stunden füllen; daher ist die Rate von Pumpe B
\[ \frac{1}{6} \ \text{(Tank/Stunde)} \]Sei \( t \) die Anzahl der Stunden, die Pumpe A benötigt, um den Tank zu füllen. In \( t \) Stunden füllt Pumpe A
\[ t \times \frac{1}{4} \]Pumpe B war für eine Stunde ausgefallen und pumpt daher für \( t - 1 \) Stunden Wasser in den Tank; also füllt Pumpe B in \( t - 1 \) Stunden
\[ (t - 1) \times \frac{1}{6} \]Die beiden Pumpen arbeiten zusammen, um 1 Tank zu füllen; also
\[ t \times \frac{1}{4} + (t - 1) \times \frac{1}{6} = 1 \]Multipliziere mit 24 und vereinfache:
\[ 6t + 4(t - 1) = 24 \] \[ 10t = 28 \] \[ t = 2.8 \ \text{Stunden} = 2 \ \text{Stunden} + 0.8 \times 60 \ \text{Minuten} = 2 \ \text{Stunden} \ 48 \ \text{Minuten} \]Der Tank ist voll um
\[ 8:00 \ \text{Uhr} + 2 \ \text{Stunden} \ 48 \ \text{Minuten} = 10:48 \ \text{Uhr} \]Sind die Geraden mit den Gleichungen \( 2x + y = 2 \) und \( x - 2y = 0 \) parallel, senkrecht oder keins von beiden?
Lösung
Schreibe jede der gegebenen Gleichungen in der Form \( y = m x + b \) und bestimme die Steigung \( m \).
Aus \( 2x + y = 2 \): \[ y = -2x + 2, \quad m_{1} = -2 \] Aus \( x - 2y = 0 \): \[ y = \frac{x}{2}, \quad m_{2} = \frac{1}{2} \]\( m_{1} \) und \( m_{2} \) sind nicht gleich, daher sind die Geraden nicht parallel. Das Produkt der beiden Steigungen ist
\[ m_{1} \times m_{2} = (-2) \times \frac{1}{2} = -1 \]Die beiden Geraden sind senkrecht zueinander.
Welche Abmessungen hat das Quadrat, dessen Umfang und Flächeninhalt zahlenmäßig gleich sind?
Lösung
Sei \( x \) die Seite des Quadrats. Der Umfang \( 4x \) und die Fläche \( x^{2} \) sind gleich; also
\[ 4x = x^{2} \]Löse die obige Gleichung:
\[ x^{2} - 4x = 0 \] \[ x(4 - x) = 0 \]Zwei Lösungen:
\[ x = 0 \quad\text{(Quadrat existiert nicht)} \] \[ x = 4 \quad\text{(Quadrat mit Seite 4 Einheiten)} \]Finde die Abmessungen des Rechtecks, das eine Länge von 3 Metern mehr als seine Breite und einen Umfang hat, der zahlenmäßig gleich seiner Fläche ist.
Lösung
Sei \( L \) die Länge und \( W \) die Breite. "Eine Länge von 3 Metern mehr als seine Breite" wird geschrieben als
\[ L = W + 3 \]Der Umfang des Rechtecks ist
\[ 2L + 2W \]Die Fläche des Rechtecks ist
\[ LW \]"Umfang zahlenmäßig gleich seiner Fläche" wird geschrieben als
\[ 2L + 2W = LW \]Setze \( L = W + 3 \) in die obige Gleichung ein:
\[ 2(W + 3) + 2W = (W + 3)W \] \[ 4W + 6 = W^{2} + 3W \] \[ W^{2} - W - 6 = 0 \]Löse die quadratische Gleichung:
\[ W = 3 \quad\text{oder}\quad W = -2 \]Die Breite ist positiv, also \( W = 3 \) und
\[ L = W + 3 = 6 \]Finde den Umfang einer kreisförmigen Scheibe, deren Fläche \(100\pi\) Quadratzentimeter beträgt.
Lösung
Die Fläche ist gegeben durch:
\[ A = \pi R^2 = 100 \pi, \quad \text{wobei } R \text{ der Radius ist.} \]Löse nach \(R\) auf:
\[ R^2 = 100 \quad\Rightarrow\quad R = 10 \ \text{cm} \]Der Umfang \(C\) ist gegeben durch:
\[ C = 2 \pi R = 20 \pi \ \text{cm} \]Der Halbkreis mit einer Fläche von \(50 \pi\) Quadratzentimetern ist einem Rechteck einbeschrieben. Der Durchmesser des Halbkreises fällt mit der Länge des Rechtecks zusammen. Finde die Fläche des Rechtecks.
Lösung
Für einen Halbkreis mit Radius \(R\) ist die Fläche:
\[ \frac{1}{2} \pi R^2 = 50 \pi \]Löse nach \(R\) auf:
\[ R^2 = 100 \quad\Rightarrow\quad R = 10 \]Die Länge \(L\) des Rechtecks entspricht dem Durchmesser des Halbkreises:
\[ L = 2R = 20 \ \text{cm} \]Die Breite \(W\) des Rechtecks entspricht dem Radius des Halbkreises:
\[ W = R = 10 \ \text{cm} \]Die Fläche des Rechtecks ist:
\[ \text{Fläche} = L \times W = 20 \times 10 = 200 \ \text{cm}^2 \]Ein Dreieck hat eine Fläche von \(200 \ \text{cm}^2\). Zwei Seiten dieses Dreiecks messen 26 bzw. 40 cm. Finde den genauen Wert der dritten Seite.
Lösung
Die Fläche \(A\) eines Dreiecks mit zwei Seiten \(a\) und \(b\) und dem eingeschlossenen Winkel \(\alpha\) ist:
\[ A = \frac{1}{2} a b \sin \alpha \]Verwende den Kosinussatz, um \(\cos \alpha\) zu finden:
\[ \cos \alpha = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}, \quad c \text{ ist die dritte Seite.} \]Mit \(\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}\) wird die Flächenformel zu:
\[ A = \frac{1}{2} a b \sqrt{1 - \left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)^2} \]Vereinfachen:
\[ A = \frac{1}{4} \sqrt{4 a^2 b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2} \]Löse nach \(c\) auf:
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2 \pm \sqrt{4 a^2 b^2 - 16 A^2}} \]Setze \(a = 26, b = 40, A = 200\) ein:
\[ c_1 = \sqrt{356} = 2\sqrt{89}, \quad c_2 = \sqrt{4196} = 2\sqrt{1049} \]