Mathe-Textaufgaben zu Verhältnissen: Übungsfragen und Schritt-für-Schritt-Lösungen

Übungsaufgaben

1. In einer Schule gibt es 600 Schüler. Das Verhältnis von Jungen zu Mädchen in dieser Schule beträgt 3:5. Wie viele Mädchen und wie viele Jungen sind in dieser Schule?

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   Um ein Verhältnis von Jungen zu Mädchen von 3:5 zu erhalten, bezeichnen wir die Anzahl der Jungen als \( 3x \) und die Anzahl der Mädchen als \( 5x \), wobei \( x \) ein gemeinsamer Faktor ist.

   Die Gesamtzahl der Schüler beträgt 600. Daher können wir folgende Gleichung aufstellen:

   \[ \begin{aligned} 3x + 5x &= 600 \\ 8x &= 600 \\ x &= 75 \end{aligned} \]

   Setzen Sie nun \( x \) in unsere Ausdrücke ein:

   • Anzahl der Jungen: \( 3x = 3 \times 75 = 225 \)
   • Anzahl der Mädchen: \( 5x = 5 \times 75 = 375 \)

2. In einem Beutel befinden sich \( r \) rote Murmeln, \( b \) blaue Murmeln und \( w \) weiße Murmeln. Schreiben Sie das Verhältnis der Anzahl der blauen Murmeln zur Gesamtzahl der Murmeln in Abhängigkeit von \( r \), \( b \) und \( w \).

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   Bestimmen Sie zuerst die Gesamtzahl der Murmeln im Beutel:

   \[ \text{Gesamt} = r + b + w \]

   Das Verhältnis der blauen Murmeln (\( b \)) zur Gesamtzahl der Murmeln ist:

   \[ \dfrac{b}{r + b + w} \]

3. Der Umfang eines Rechtecks beträgt 280 Meter. Das Verhältnis von Länge zu Breite beträgt 5:2. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Rechtecks.

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   Da das Verhältnis von Länge zu Breite 5:2 beträgt, setzen wir die Länge \( L = 5x \) und die Breite \( B = 2x \).

   Die Formel für den Umfang lautet \( 2(L + B) \). Setzen Sie die bekannten Werte ein:

   \[ \begin{aligned} 2(5x + 2x) &= 280 \\ 2(7x) &= 280 \\ 14x &= 280 \\ x &= \dfrac{280}{14} = 20 \end{aligned} \]

   Berechnen Sie nun den Flächeninhalt (\( A = L \times B \)):

   \[ \begin{aligned} A &= (5x) \times (2x) \\ A &= 10x^2 \\ A &= 10(20)^2 = 10(400) = 4000 \end{aligned} \]

   Antwort: Der Flächeninhalt beträgt 4000 Quadratmeter.

4. Die Winkel eines Dreiecks stehen im Verhältnis 1:3:8. Bestimmen Sie das Maß der drei Winkel dieses Dreiecks.

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   Da das Verhältnis der drei Winkel 1:3:8 beträgt, können wir deren Maße als \( x \), \( 3x \) und \( 8x \) schreiben.

   Die Summe der drei Innenwinkel eines Dreiecks beträgt immer \( 180^\circ \). Daher:

   \[ \begin{aligned} x + 3x + 8x &= 180 \\ 12x &= 180 \\ x &= 15 \end{aligned} \]

   Berechnen Sie das Maß jedes Winkels:

   • \( x = 15^\circ \)
   • \( 3x = 3 \times 15 = 45^\circ \)
   • \( 8x = 8 \times 15 = 120^\circ \)

5. Die Maße der beiden spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks stehen im Verhältnis 2:7. Wie groß sind die beiden Winkel?

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   In einem rechtwinkligen Dreieck sind die beiden spitzen Winkel komplementär, das heißt, ihre Summe beträgt \( 90^\circ \).

   Bei einem Verhältnis von 2:7 bezeichnen wir die Maße der beiden Winkel als \( 2x \) und \( 7x \).

   \[ \begin{aligned} 2x + 7x &= 90 \\ 9x &= 90 \\ x &= 10 \end{aligned} \]

   Die Maße der beiden spitzen Winkel sind:

   • \( 2x = 2 \times 10 = 20^\circ \)
   • \( 7x = 7 \times 10 = 70^\circ \)

6. Ein Glas ist mit Pennies und Nickels im Verhältnis 5 zu 3 gefüllt. Es befinden sich 30 Nickels im Glas. Wie viele Münzen sind insgesamt im Glas?

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   Ein Verhältnis von Pennies zu Nickels von 5:3 bedeutet, dass wir die Anzahl der Pennies als \( 5x \) und die Anzahl der Nickels als \( 3x \) schreiben können.

   Es ist gegeben, dass die Anzahl der Nickels 30 beträgt:

   \[ 3x = 30 \quad \Rightarrow \quad x = 10 \]

   Die Gesamtzahl der Münzen im Glas ist die Summe von Pennies und Nickels:

   \[ \text{Gesamtanzahl Münzen} = 5x + 3x = 8x = 8(10) = 80 \]

   Antwort: Es sind insgesamt 80 Münzen im Glas.

7. Ein rechteckiges Feld hat einen Flächeninhalt von 300 Quadratmetern und einen Umfang von 80 Metern. Was ist das Verhältnis der Länge zur Breite dieses Feldes?

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   Sei \( L \) die Länge und \( B \) die Breite, mit \( L > B \). Stellen Sie die Gleichungen für Flächeninhalt und Umfang auf:

   \[ L \times B = 300 \quad \text{(I)} \] \[ 2L + 2B = 80 \quad \Rightarrow \quad L + B = 40 \quad \text{(II)} \]

   Isolieren Sie \( B \) aus Gleichung (II):

   \[ B = 40 - L \]

   Setzen Sie dies in Gleichung (I) ein:

   \[ \begin{aligned} L(40 - L) &= 300 \\ 40L - L^2 &= 300 \\ L^2 - 40L + 300 &= 0 \\ (L - 10)(L - 30) &= 0 \end{aligned} \]

   Die Lösungen sind \( L = 10 \) oder \( L = 30 \). Da die Länge normalerweise die längere Seite ist (\( L > B \)), wählen wir \( L = 30 \) und \( B = 10 \).

   Das Verhältnis von Länge zu Breite ist:

   \[ \dfrac{L}{B} = \dfrac{30}{10} = \dfrac{3}{1} \]

   Antwort: Das Verhältnis ist 3:1.

8. Drücken Sie das Verhältnis \( 3 \dfrac{2}{3} : 7 \dfrac{1}{3} \) in seiner einfachsten Form aus.

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   Wandeln Sie zuerst die gemischten Zahlen in unechte Brüche um:

   \[ 3 \dfrac{2}{3} = \dfrac{(3 \times 3) + 2}{3} = \dfrac{11}{3} \] \[ 7 \dfrac{1}{3} = \dfrac{(7 \times 3) + 1}{3} = \dfrac{22}{3} \]

   Schreiben Sie das Verhältnis nun als Division und lösen Sie:

   \[ \dfrac{11}{3} \div \dfrac{22}{3} = \dfrac{11}{3} \times \dfrac{3}{22} = \dfrac{11}{22} = \dfrac{1}{2} \]

   Antwort: Das Verhältnis in einfachster Form ist 1:2.

9. Die Seitenlänge des Quadrats A ist doppelt so lang wie die Seitenlänge des Quadrats B. Was ist das Verhältnis des Flächeninhalts von Quadrat A zum Flächeninhalt von Quadrat B?

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   Sei \( y \) die Seitenlänge von Quadrat B. Da die Seite von Quadrat A doppelt so lang ist, beträgt ihre Seitenlänge \( 2y \).

   Berechnen Sie den Flächeninhalt beider Quadrate:

   \[ \begin{aligned} \text{Fläche A} &= (2y)^2 = 4y^2 \\ \text{Fläche B} &= y^2 \end{aligned} \]

   Das Verhältnis des Flächeninhalts von Quadrat A zum Flächeninhalt von Quadrat B ist:

   \[ \dfrac{\text{Fläche A}}{\text{Fläche B}} = \dfrac{4y^2}{y^2} = \dfrac{4}{1} \]

   Antwort: Das Verhältnis ist 4:1.

10. Die Seitenlänge des Quadrats A ist halb so lang wie die Seitenlänge des Quadrats B. Was ist das Verhältnis des Umfangs von Quadrat A zum Umfang von Quadrat B?

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    Sei \( x \) die Seitenlänge von Quadrat A. Da diese halb so lang ist wie die von Quadrat B, beträgt die Seitenlänge von Quadrat B \( 2x \).

    Berechnen Sie den Umfang beider Quadrate (Umfang = 4 × Seite):

    \[ \begin{aligned} \text{Umfang A} &= 4x \\ \text{Umfang B} &= 4(2x) = 8x \end{aligned} \]

    Das Verhältnis des Umfangs von Quadrat A zum Umfang von Quadrat B ist:

    \[ \dfrac{\text{Umfang A}}{\text{Umfang B}} = \dfrac{4x}{8x} = \dfrac{1}{2} \]

    Antwort: Das Verhältnis ist 1:2.

11. Zu Beginn der Woche hatte eine Buchhandlung Wissenschafts- und Kunstbücher im Verhältnis 2:5. Bis Ende der Woche wurden 20 % von jedem Buchtyp verkauft und 2240 Bücher beider Typen blieben unverkauft. Wie viele Bücher von jeder Sorte gab es zu Beginn der Woche?

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    Seien \( W \) und \( K \) die anfängliche Anzahl der Wissenschafts- bzw. Kunstbücher.

    Da das Verhältnis 2:5 beträgt, können wir schreiben \( W = 2x \) und \( K = 5x \). Dies bedeutet, der anfängliche Gesamtbestand betrug \( 7x \).

    Wenn 20 % der Bücher verkauft wurden, bedeutet das, dass 80 % der Bücher unverkauft blieben. Die Gesamtzahl der unverkauften Bücher beträgt 2240:

    \[ \begin{aligned} 0,80(7x) &= 2240 \\ 5,6x &= 2240 \\ x &= \dfrac{2240}{5,6} = 400 \end{aligned} \]

    Berechnen Sie nun die Anfangsmengen:

    • Wissenschaftsbücher: \( W = 2(400) = 800 \)
    • Kunstbücher: \( K = 5(400) = 2000 \)

12. Zu Beginn des Monats hatte ein Geschäft 20-Zoll- und 40-Zoll-Fernseher im Verhältnis 4:5. Bis Ende des Monats wurden 200 20-Zoll- und 500 40-Zoll-Fernseher verkauft und das Verhältnis von 20-Zoll- zu 40-Zoll-Fernsehern betrug nun 1:1. Wie viele Fernsehgeräte von jeder Art gab es zu Beginn des Monats?

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    Sei die Anfangszahl der 20-Zoll-Fernseher \( 4x \) und die der 40-Zoll-Fernseher \( 5x \), entsprechend dem Verhältnis 4:5.

    Nachdem die entsprechenden Mengen verkauft wurden, lauten die neuen Mengen \( 4x - 200 \) und \( 5x - 500 \). Da das neue Verhältnis 1:1 ist, sind die Mengen gleich:

    \[ \begin{aligned} 4x - 200 &= 5x - 500 \\ 500 - 200 &= 5x - 4x \\ 300 &= x \end{aligned} \]

    Setzen Sie \( x = 300 \) in die Anfangsausdrücke ein:

    • 20-Zoll-Fernseher: \( 4(300) = 1200 \)
    • 40-Zoll-Fernseher: \( 5(300) = 1500 \)

13. Das Seitenverhältnis eines Fernsehbildschirms ist das Verhältnis des Maßes der horizontalen Länge zum Maß der vertikalen Länge. Bestimmen Sie die horizontale Länge und die vertikale Höhe eines Fernsehbildschirms mit einem Seitenverhältnis von 4:3 und einer Diagonalen von 50 Zoll.

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    Sei die horizontale Länge \( H = 4x \) und die vertikale Höhe \( V = 3x \).

    Der Bildschirm bildet ein rechtwinkliges Dreieck mit der Diagonalen als Hypotenuse. Wir wenden den Satz des Pythagoras an (\( a^2 + b^2 = c^2 \)):

    \[ \begin{aligned} H^2 + V^2 &= 50^2 \\ (4x)^2 + (3x)^2 &= 2500 \\ 16x^2 + 9x^2 &= 2500 \\ 25x^2 &= 2500 \\ x^2 &= 100 \\ x &= 10 \end{aligned} \]

    Berechnen Sie die tatsächlichen Abmessungen:

    • Horizontale Länge: \( H = 4(10) = 40 \) Zoll
    • Vertikale Länge: \( V = 3(10) = 30 \) Zoll

Weitere Referenzen und Links

• Mathematik Mittelstufe (Klassen 6, 7, 8, 9) - Kostenlose Fragen und Probleme
• Mathematik Oberstufe (Klassen 10, 11 und 12) - Kostenlose Fragen und Probleme
• Mathematik Grundschule (Klassen 4 und 5) - Kostenlose Fragen und Probleme