Antworten zu Tutorials über die Gleichung einer Parabel

Die Antworten auf die Tutorial-Fragen von Gleichung einer Parabel werden unten mit klaren Erklärungen und analytischer Begründung präsentiert.

Frage 2

Behalten Sie die Werte von \( a \), \( h \) und \( k \) bei, finden Sie die Gleichung der Leitlinie, die Koordinaten des Scheitelpunkts \( V \) und Brennpunkts \( F \) sowie die Gleichung der Symmetrieachse.

Antwort:

• Leitlinie: \( x = -1 \)
• Scheitelpunkt: \( V(0, 0) \)
• Brennpunkt: \( F(1, 0) \)
• Symmetrieachse: \( y = 0 \)

Frage 3

Setzen Sie \( a = 2 \) und beantworten Sie dieselben Fragen wie in Frage 2.

Antwort:

• Leitlinie: \( x = -2 \)
• Scheitelpunkt: \( V(0, 0) \)
• Brennpunkt: \( F(2, 0) \)
• Symmetrieachse: \( y = 0 \)

Frage 4

Setzen Sie \( a = 1 \), \( h = 0 \), und variieren Sie \( k \). Beschreiben Sie, wie \( k \) den Scheitelpunkt, den Brennpunkt und die Symmetrieachse beeinflusst.

Antwort:

• Y-Koordinate des Brennpunkts: \( k \)
• Y-Koordinate des Scheitelpunkts: \( k \)
• Symmetrieachse: \( y = k \)

Ja, die Position des Scheitelpunkts ändert sich, wenn sich \( k \) ändert.

Frage 5

Setzen Sie \( a = 1 \), \( k = 0 \), und variieren Sie \( h \). Beschreiben Sie, wie \( h \) den Brennpunkt, den Scheitelpunkt und die Leitlinie beeinflusst.

Antwort:

• X-Koordinate des Brennpunkts: \( h \)
• X-Koordinate des Scheitelpunkts: \( h \)
• Leitlinie: \( x = h - 1 \)

Die Symmetrieachse ändert ihre Position nicht, wenn \( h \) variiert wird.

Frage 6

Drücken Sie den Scheitelpunkt, den Brennpunkt, die Leitlinie und die Symmetrieachse in Abhängigkeit von \( h \) und \( k \) aus.

Antwort:

• Scheitelpunkt: \( V(h, k) \)
• Brennpunkt: \( F(h + 1, k) \)
• Leitlinie: \( x = h - 1 \)
• Symmetrieachse: \( y = k \)

Frage 7

Für \( a = 1 \) und \( k = 0 \), bestimmen Sie die Anzahl der y-Achsenabschnitte in Abhängigkeit von \( h \).

Antwort:

• Zwei y-Achsenabschnitte, wenn \( h < 0 \)
• Ein y-Achsenabschnitt, wenn \( h = 0 \)
• Keine y-Achsenabschnitte, wenn \( h > 0 \)

Analytische Erklärung:

Ausgehend von der Standardgleichung \[ (y - k)^2 = 4a(x - h), \] setze \( x = 0 \):

• Wenn \( h < 0 \): zwei reelle Lösungen
• Wenn \( h = 0 \): eine reelle Lösung
• Wenn \( h > 0 \): keine reellen Lösungen

Frage 8

Erklären Sie, warum diese Parabel genau einen x-Achsenabschnitt hat.

Antwort:

Setzen Sie \( y = 0 \) in \[ (y - k)^2 = 4a(x - h) \] ein, um \[ k^2 = 4a(x - h) \] zu erhalten.

Diese lineare Gleichung in \( x \) hat genau eine Lösung: \[ x = h + \frac{k^2}{4a}. \]

Frage 9

Zeigen Sie, dass die Gleichung \[ y^2 - 4y - 4x = 0 \] in der Standard-Parabelform geschrieben werden kann.

Lösung:

Vervollständigen Sie das Quadrat:

Somit:

• \( a = 1 \)
• \( h = -1 \)
• \( k = 2 \)

• Scheitelpunkt: \( V(-1, 2) \)
• Brennpunkt: \( F(0, 2) \)
• Symmetrieachse: \( y = 2 \)
• Leitlinie: \( x = -2 \)