Die Position des Brennpunkts einer Parabolantenne (oder eines Parabolreflektors) kann anhand des Durchmessers und der Tiefe der Antenne bestimmt werden.
Die Gleichung einer Parabel kann so geschrieben werden, dass die Brennweite \(f\) (Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt) explizit angegeben wird.
Betrachten Sie eine Parabel mit Brennpunkt \(F(0,f)\) und Leitlinie \(y=-f\):
Gemäß der Definition einer Parabel ist jeder Punkt \(M(x,y)\) auf der Parabel gleich weit vom Brennpunkt und von der Leitlinie entfernt:
\[ \sqrt{(x-0)^2 + (y-f)^2} = \sqrt{(x-x)^2 + (y-(-f))^2} \]Quadrieren beider Seiten und Vereinfachen ergibt die Standardgleichung in Bezug auf die Brennweite \(f\):
\[ x^2 + y^2 + f^2 - 2yf = y^2 + f^2 + 2yf \quad \Rightarrow \quad y = \frac{x^2}{4f} \]Bei einer Parabolantenne mit Durchmesser \(D\) und Tiefe \(d\) verläuft die Parabel durch die Punkte \((D/2, d)\) und \((-D/2, d)\). Mit der Parabelgleichung:
\[ d = \frac{(D/2)^2}{4f} \quad \Rightarrow \quad f = \frac{D^2}{16d} \]
Diese Formel wird verwendet, um die Speiseeinheit der Parabolantenne zu positionieren. In der Praxis sind oft kleinere Anpassungen erforderlich, da die Antennen nicht perfekt parabelförmig sind.
Ein Rechner für den Brennpunkt von Parabolreflektoren ist online verfügbar.