Wie findet man das kgV und den ggT von ganzen Zahlen? Es werden Beispiele und Fragen mit Antworten präsentiert. Dies ist ein Tutorial, wie man das kgV und den ggT findet. Um dir bei der Überprüfung deiner Antworten zu helfen, werden ein Rechner für das kgV und ein Rechner für den ggT zweier Zahlen bereitgestellt.
kgV-Rechner (kleinstes gemeinsames Vielfaches). Berechne das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei positiven ganzen Zahlen.
ggT-Rechner (größter gemeinsamer Teiler). Berechne den größten gemeinsamen Teiler von zwei positiven ganzen Zahlen.
Methode 1:
Beispiel 1:
Finde das kgV von 6 und 4, indem du die Vielfachen auflistest.
Finde die ersten paar Vielfachen der beiden Zahlen 6 und 4 wie folgt:
6: 6 , 12 , 18 , 24 , 30 ,...
4: 4 , 8 , 12 , 16 , 20 ,...
Das kleinste Vielfache, das 6 und 4 gemeinsam haben, ist 12. Das kgV von 6 und 4 ist also 12.
Die obige Methode funktioniert nur gut für kleine Zahlen.
Methode 2:
Finde das kgV mithilfe der Primfaktorzerlegung.
Die Primfaktorzerlegung verwendet die Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11, ... um eine ganze Zahl zu zerlegen.
Beispiele für Primfaktorzerlegungen:
4 = 2 × 2
14 = 2 × 7
16 = 2 × 2 × 2 × 2
20 = 2 × 2 × 5
Beispiel 2:
Finde das kgV von 6 und 4 mithilfe der Primfaktorzerlegung.
Finde die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen.
6 = 2 × 3
4 = 2 × 2
Ein gemeinsames Vielfaches kann durch Multiplikation der beiden Zahlen 6 und 4 gefunden werden. Es ist jedoch möglicherweise nicht das kleinste. Lassen Sie uns die beiden Zahlen in faktorisierter Form multiplizieren:
6 × 4 = (2 × 3) × (2 × 2)
Ein Faktor 2 wird doppelt gezählt und muss daher aus einem Term des Produkts entfernt werden, wenn wir wollen, dass unser gemeinsames Vielfaches das kleinste ist.
Das kgV von 4 und 6 = 3 × (2 × 2) = 12
Beispiel 3:
Finde das kgV von 20 und 24 mithilfe der Primfaktorzerlegung.
Finde die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen.
20 = 2 × 2 × 5
24 = 2 × 2 × 2 × 3
Das Produkt von 20 und 24 ist gegeben durch (2 × 2 × 5) × (2 × 2 × 2 × 3)
2 x 2 wird doppelt gezählt und muss daher aus einem Term entfernt werden, und so ist das kgV gegeben durch
kgV = (5) × (2 × 2 × 2 × 3) = 120
Beispiel 4: Finde das kgV von 1240 und 5300 mithilfe der Primfaktorzerlegung.
Finde die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen.
1240 = 2 × 2 × 2 × 5 × 31
5300 = 2 × 2 × 5 × 5 × 53
Das Produkt von 1240 und 5300 ist gegeben durch (2 × 2 × 2 × 5 × 31) × (2 × 2 × 5 × 5 × 53)
2 × 2 × 5 wird doppelt gezählt und muss daher aus einem Term entfernt werden, und so
kgV von 1240 und 5300 = (2 × 31) × (2 × 2 × 5 × 5 × 53) = 328.600
Beispiel 5:
Finde den ggT von 6 und 4 mithilfe der Primfaktorzerlegung.
6 = 2 × 3
4 = 2 × 2
2 ist ein gemeinsamer Teiler von 6 und 4 und es ist der größte.
Der ggT von 6 und 4 ist also gleich 2.
Beispiel 6:
Finde den ggT von 20 und 24 mithilfe der Primfaktorzerlegung.
20 = 2 × 2 × 5
24 = 2 × 2 × 2 × 3
Unterstreiche alle gemeinsamen Faktoren in der Zerlegung von 20 und 24.
20 = 2 × 2 × 5
24 = 2 × 2 × 2 × 3
Der größte gemeinsame Teiler von 20 und 24 ist das Produkt aller gemeinsamen Faktoren 2 × 2 = 4.
Beispiel 7:
Finde den ggT von 1240 und 5300 mithilfe der Primfaktorzerlegung.
1240 = 2 × 2 × 2 × 5 × 31
5300 = 2 × 2 × 5 × 5 × 53
Unterstreiche gemeinsame Faktoren
1240 = 2 × 2 × 2 × 5 × 31
5300 = 2 × 2 × 5 × 5 × 53
Der ggT von 1240 und 5300 ist gegeben durch 2 × 2 × 5 = 20
Die oben gefundenen kgV und ggT sind in der Tabelle aufgeführt. Es wird gezeigt, dass das Produkt zweier beliebiger ganzer Zahlen gleich dem Produkt ihres kgV und ggT ist.
| (m , n) | kgV(m,n) | ggT(m,n) | kgV(m,n) × ggT(m,n) | m × n |
|---|---|---|---|---|
| (4 , 6) | 12 | 2 | 12 × 2 = 24 | 4 × 6 = 24 |
| (20 , 24) | 120 | 4 | 120 × 4 = 480 | 20 × 24 = 480 |
Finde das kgV und den ggT jedes Zahlenpaares und überprüfe, dass das Produkt der beiden Zahlen gleich dem Produkt aus kgV und ggT ist.