kgV und ggT von ganzen Zahlen finden – Beispiele und Aufgaben mit Antworten (5. Klasse)

Lerne, wie man das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) und den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von ganzen Zahlen mit Schritt-für-Schritt-Beispielen und Übungsfragen samt Antworten ermittelt. Nutze unsere interaktiven Rechner unten, um deine Antworten zu überprüfen:

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A – Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von zwei Zahlen finden

Methode 1:
Beispiel 1: Finde das kgV von 6 und 4 durch Auflisten der Vielfachen.
Finde die ersten Vielfachen von 6 und 4:
6: 6 , 12 , 18 , 24 , 30 ,...
4: 4 , 8 , 12 , 16 , 20 ,...
Das kleinste gemeinsame Vielfache von 6 und 4 ist 12. Somit ist das kgV von 6 und 4 gleich 12.
Hinweis: Diese Methode funktioniert am besten bei kleinen Zahlen.


Methode 2:
Finde das kgV mithilfe der Primfaktorzerlegung. Die Primfaktorzerlegung verwendet Primzahlen (2, 3, 5, 7, 11, ...), um eine ganze Zahl zu zerlegen.
Beispiele für die Primfaktorzerlegung:
\(4 = 2 \times 2\)
\(14 = 2 \times 7\)
\(16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2\)
\(20 = 2 \times 2 \times 5\)

Beispiel 2: Finde das kgV von 6 und 4 mithilfe der Primfaktorzerlegung.
Finde die Primfaktorzerlegung jeder Zahl:
\(6 = 2 \times 3\)
\(4 = 2 \times 2\)
Multiplizieren der faktorisierten Formen:
\(6 \times 4 = (\underline{2} \times 3) \times (\underline{2} \times 2)\)
Da der Faktor \(\underline{2}\) doppelt gezählt wird, entferne ihn aus einem Term, um das kleinste gemeinsame Vielfache zu erhalten:
\(\text{kgV} = 3 \times (2 \times 2) = 12\).


Beispiel 3: Finde das kgV von 20 und 24 mithilfe der Primfaktorzerlegung.
\(20 = 2 \times 2 \times 5\)
\(24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3\)
Das Produkt in faktorisierter Form ist \((\underline{2} \times \underline{2} \times 5) \times (\underline{2} \times \underline{2} \times 2 \times 3)\).
Das Entfernen der doppelten Faktoren \(\underline{2} \times \underline{2}\) aus einem Term ergibt:
\(\text{kgV} = (5) \times (2 \times 2 \times 2 \times 3) = 120\).


Beispiel 4: Finde das kgV von 1240 und 5300 mithilfe der Primfaktorzerlegung.
\(1240 = \underline{2} \times \underline{2} \times 2 \times \underline{5} \times 31\)
\(5300 = \underline{2} \times \underline{2} \times \underline{5} \times 5 \times 53\)
Das Entfernen der doppelten Faktoren \(\underline{2} \times \underline{2} \times \underline{5}\) aus einem Term liefert:
\(\text{kgV} = (2 \times 31) \times (\underline{2} \times \underline{2} \times \underline{5} \times 5 \times 53) = 328.600\).


B – Den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von zwei Zahlen finden

Beispiel 5: Finde den ggT von 6 und 4 mithilfe der Primfaktorzerlegung.
\(6 = 2 \times 3\)
\(4 = 2 \times 2\)
Die Zahl 2 ist der größte gemeinsame Teiler, den sowohl 6 als auch 4 gemeinsam haben. Somit ist \(\text{ggT} = 2\).

Beispiel 6: Finde den ggT von 20 und 24 mithilfe der Primfaktorzerlegung.
\(20 = \underline{2} \times \underline{2} \times 5\)
\(24 = \underline{2} \times \underline{2} \times 2 \times 3\)
Der ggT ist das Produkt aller gemeinsamen Faktoren: \(\underline{2} \times \underline{2} = 4\).


Beispiel 7: Finde den ggT von 1240 und 5300 mithilfe der Primfaktorzerlegung.
\(1240 = \underline{2} \times \underline{2} \times 2 \times \underline{5} \times 31\)
\(5300 = \underline{2} \times \underline{2} \times \underline{5} \times 5 \times 53\)
Der ggT ergibt sich aus \(\underline{2} \times \underline{2} \times \underline{5} = 20\).


C – Beziehung zwischen dem kgV und dem ggT von zwei Zahlen

Die folgende Tabelle verdeutlicht, dass das Produkt zweier ganzer Zahlen gleich dem Produkt ihres kgV und ggT ist.

\((m , n)\) \(\text{kgV}(m,n)\) \(\text{ggT}(m,n)\) \(\text{kgV}(m,n) \times \text{ggT}(m,n)\) \(m \times n\)
\((4 , 6)\) 12 2 \(12 \times 2 = 24\) \(4 \times 6 = 24\)
\((20 , 24)\) 120 4 \(120 \times 4 = 480\) \(20 \times 24 = 480\)

Wichtige Eigenschaft: Für beliebige ganze Zahlen \(m\) und \(n\):

\(m \times n = \text{kgV}(m,n) \times \text{ggT}(m,n)\)


Fragen und Schritt-für-Schritt-Lösungen

Finde das kgV und den ggT für jedes Zahlenpaar und überprüfe, ob ihr Produkt gleich dem Produkt ihres kgV und ggT ist.

  1. Frage A: 21 und 14

    Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

    Erklärung:

    • Primfaktorzerlegung: \(21 = 3 \times 7\) und \(14 = 2 \times 7\).
    • ggT: Der gemeinsame Faktor ist 7. Somit ist \(\text{ggT} = 7\).
    • kgV: \(2 \times 3 \times 7 = 42\). Somit ist \(\text{kgV} = 42\).
    • Überprüfung: \(\text{ggT} \times \text{kgV} = 7 \times 42 = 294\) und \(21 \times 14 = 294\).

    Antwort: \(\text{ggT} = 7\), \(\text{kgV} = 42\)

  2. Frage B: 45 und 55

    Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

    Erklärung:

    • Primfaktorzerlegung: \(45 = 3^2 \times 5\) und \(55 = 5 \times 11\).
    • ggT: Der gemeinsame Faktor ist 5. Somit ist \(\text{ggT} = 5\).
    • kgV: \(3^2 \times 5 \times 11 = 9 \times 5 \times 11 = 495\). Somit ist \(\text{kgV} = 495\).
    • Überprüfung: \(\text{ggT} \times \text{kgV} = 5 \times 495 = 2475\) und \(45 \times 55 = 2475\).

    Antwort: \(\text{ggT} = 5\), \(\text{kgV} = 495\)

  3. Frage C: 120 und 248

    Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

    Erklärung:

    • Primfaktorzerlegung: \(120 = 2^3 \times 3 \times 5\) und \(248 = 2^3 \times 31\).
    • ggT: Der gemeinsame Faktor ist \(2^3 = 8\). Somit ist \(\text{ggT} = 8\).
    • kgV: \(2^3 \times 3 \times 5 \times 31 = 3720\). Somit ist \(\text{kgV} = 3720\).
    • Überprüfung: \(\text{ggT} \times \text{kgV} = 8 \times 3720 = 29760\) und \(120 \times 248 = 29760\).

    Antwort: \(\text{ggT} = 8\), \(\text{kgV} = 3720\)


Weitere Referenzen und Links