Lösungen und Erklärungen zu Fragen über Brüche der 5. Klasse werden vorgestellt.
Verwende eine beliebige ganze Zahl \( n \), um 1 als Bruch wie folgt zu schreiben:
\( n = 1 \), \( \quad 1 = \dfrac{1}{1} \)
\( n = 2 \), \( \quad 1 = \dfrac{2}{2} \)
\( n = 11 \), \( \quad 1 = \dfrac{11}{11} \)
und so weiter
BEACHTE, dass wir nicht \( 1 = \dfrac{0}{0} \) schreiben können.
BEACHTE, dass ein Bruch keinen Nenner gleich Null haben darf.
Jede ganze Zahl \( n \) kann wie folgt als gekürzter Bruch geschrieben werden: \[ \dfrac{n}{1} \] Daher kann \( 5 \) geschrieben werden als \[ \dfrac{5}{1} \]
Beim Addieren von Brüchen ist es wichtig, einen gemeinsamen Nenner zu haben. In diesem Fall haben beide Brüche einen Nenner von 4, also können wir die Zähler direkt addieren. Die Summe der Zähler ergibt den Zähler des resultierenden Bruchs. Der Nenner bleibt gleich. Der resultierende Bruch ist also \[ \dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{4} = \dfrac{1+2}{4} = \dfrac{3}{4} \]
Beim Subtrahieren von Brüchen ist es wichtig, einen gemeinsamen Nenner zu haben. In diesem Fall haben beide Brüche einen Nenner von 7, also können wir die Zähler direkt subtrahieren. Die Differenz der Zähler ergibt den Zähler des resultierenden Bruchs. Der Nenner bleibt gleich. Der resultierende Bruch ist also \[ \dfrac{4}{7} - \dfrac{2}{7} = \dfrac{4 - 2}{7} = \dfrac{2}{7} \]
\[ \dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{3} = \]
Um die Brüche zu addieren, müssen wir die folgenden Schritte befolgen:
Schritt 1: Finde einen gemeinsamen Nenner.
In diesem Fall sind die Nenner unterschiedlich (5 und 3). Um einen gemeinsamen Nenner zu finden, können wir die Nenner miteinander multiplizieren:
\( 5 \times 3 = 15 \)
Schritt 2: Schreibe die Brüche so um, dass sie denselben Nenner haben.
Um die Nenner gleich 15 zu machen, müssen wir die Brüche entsprechend skalieren.
Wir multiplizieren den Zähler und den Nenner von
\( \dfrac{1}{5} \) mit 3, und den Zähler und den Nenner von \( \dfrac{2}{3} \) mit 5:
\( \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{5} \times \dfrac{3}{3} = \dfrac{3}{15} \)
\( \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{5} = \dfrac{10}{15} \)
Jetzt haben beide Brüche denselben Nenner 15.
Schritt 3: Addiere die angepassten Brüche. Wir können nun die angepassten Brüche addieren:
\( \dfrac{3}{15} + \dfrac{10}{15} = \dfrac{3+10}{15} = \dfrac{13}{15} \)
Daher ist die Summe von
\[ \dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{13}{15}\]
Um die gemischten Zahlen \( 3 \dfrac{1}{2} \) und \( 5 \dfrac{1}{3} \) zu addieren, können wir diese Schritte befolgen:
Schritt 1: Analysiere die ganzen Teile von \( 3 \dfrac{1}{2} \) und \( 5 \dfrac{1}{3} \).
Der ganze Teil von \( 3 \dfrac{1}{2} \) ist \( 3 \), und der ganze Teil von \( 5 \dfrac{1}{3} \) ist \( 5 \).
Schritt 2: Analysiere die Brüche: Der Bruchteil von \( 3 \dfrac{1}{2} \) ist \( \dfrac{1}{2} \) und der Bruchteil von \( 5 \dfrac{1}{3} \) ist \( \dfrac{1}{3} \)
Schritt 3: Addiere die ganzen Teile.
Wir addieren die ganzen Teile: \( 3 + 5 = 8 \)
Schritt 4: Addiere die Bruchteile: \( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\)
Schritt 5: Finde einen gemeinsamen Nenner.
Um die Brüche zu addieren, müssen wir einen gemeinsamen Nenner finden. In diesem Fall ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von 2 und 3 gleich 6.
Schritt 6: Multipliziere (passe) die Brüche an, um einen gemeinsamen Nenner von 6 zu erhalten:
\( \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{3} = \dfrac{3}{6} \)
\( \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{2} = \dfrac{2}{6} \)
Schritt 7: Addiere die Brüche.
Wir addieren die angepassten Brüche:
\( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6} \)
Schritt 8: Alles zusammensetzen.
\[ 3 \dfrac{1}{2} + 5 \dfrac{1}{3} = (3+5) + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = 8 + \dfrac{5}{6} \]
Die Gesamtzeit, die Julia braucht, um für die Schule bereit zu sein, beträgt
\( \dfrac{1}{2}\text{ Stunde} + \dfrac{1}{4} \text{ Stunde} = ( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} ) \text{ Stunde} \)
Schreibe Brüche mit demselben Nenner
\( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4} \text{ Stunde} \).
Es ist einfacher, Brüche zu vergleichen, wenn sie mit demselben Nenner geschrieben werden
A)
\( \dfrac{5}{2} \) und \( \dfrac{2}{5} \) werden mit demselben Nenner zu
\( \dfrac{5}{2} = \dfrac{5}{2} \times \dfrac{5}{5} = \dfrac{25}{10}\)
\( \dfrac{2}{5} = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{2}{2} = \dfrac{4}{10}\)
Daher sind \( \dfrac{5}{2} \) und \( \dfrac{2}{5} \) nicht gleichwertig (äquivalent)
B)
Schreibe \( \dfrac{4}{3} \) mit Nenner 8 wie folgt
\( \dfrac{4}{3} = \dfrac{4}{3} \times \dfrac{2}{2} = \dfrac{8}{6} \)
Daher sind \( \dfrac{4}{3} \) und \( \dfrac{8}{6} \) gleichwertig (äquivalent)
Die Brüche in den Teilen C) und D) haben bereits denselben Nenner und sind nicht gleichwertig.
Schlussfolgerung: Die Brüche 4/3 und 8/6 sind äquivalent, denn wenn sie mit einem gemeinsamen Nenner geschrieben werden, sind sowohl die Nenner als auch die Zähler gleich.
Um die gemischten Zahlen \( 5 \dfrac{2}{3} \) und \( 3 \dfrac{1}{2} \) zu subtrahieren, befolgen wir diese Schritte:
Schritt 1: Wandle die gemischten Zahlen in unechte Brüche um.
\( 5 \dfrac{2}{3} = 5 + \dfrac{2}{3} = 5 \times \dfrac{3}{3} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{15}{3} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{17}{3}\)
und
\( 3 \dfrac{1}{2} = 3 + \dfrac{1}{2} = 3 \times \dfrac{2}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{6}{2}+\dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2}\),
Schritt 2: Finde einen gemeinsamen Nenner für die 2 Brüche: Die Nenner der Brüche sind 3 und 2, welche unterschiedlich sind. Um einen gemeinsamen Nenner zu finden, multiplizieren wir sie: \( 3 \times 2 = 6 \).
Schritt 3: Schreibe die Brüche mit einem gemeinsamen Nenner.
\( \dfrac{17}{3} = \dfrac{17}{3} \times \dfrac{2}{2} = \dfrac{34}{6} \)
\( \dfrac{7}{2} = \dfrac{7}{2} \times \dfrac{3}{3} = \dfrac{21}{6} \),
Schritt 4: Subtrahiere die angepassten Brüche.
\( 5 \dfrac{2}{3} - 3 \dfrac{1}{2} = \dfrac{34}{6} - \dfrac{21}{6} = \dfrac{13}{6} \)
Schritt 5: Kürze (wenn möglich) und wandle den unechten Bruch zurück in eine gemischte Zahl (falls gewünscht).
\(\dfrac{13}{6} \) kann nicht gekürzt werden, kann aber als gemischte Zahl geschrieben werden
\( \dfrac{13}{6} = \dfrac{12+1}{6} = \dfrac{12}{6} + \dfrac{1}{6} = 2 \dfrac{1}{6} \)
John aß mehr als Billy und der Unterschied ist gegeben durch
\( 1 \dfrac{2}{3} - 1 \dfrac{1}{4} = (1 - 1) + (\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4}) = (\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4}) \)
Schreibe Brüche mit demselben Nenner
\( \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{4}{4} = \dfrac{8}{12} \)
\( \dfrac{1}{4}= \dfrac{1}{4} \times \dfrac{3}{3} = \dfrac{3}{12} \)
Der Unterschied ist
\( 1 \dfrac{2}{3} - 1 \dfrac{1}{4} = \dfrac{8}{12} - \dfrac{3}{12} = \dfrac{5}{12} \)
John aß \( \dfrac{5}{12} \) einer Pizza mehr als Billy.
Um zwei Brüche zu dividieren, multipliziert man den ersten mit dem Kehrwert des zweiten
Der Kehrwert des Bruchs \( \dfrac{a}{b} \) ist der Bruch \( \dfrac{b}{a} \)
Wandle die Division zweier Brüche in eine Multiplikation um wie folgt
\( \dfrac{5}{2} \div \dfrac{3}{4} = \dfrac{5}{2} \times \dfrac{4}{3} = \dfrac{5 \times 4}{2 \times 3} = \dfrac{20}{6} \)
Das Ergebnis ist ein unechter Bruch und kann wie folgt als gemischte Zahl geschrieben werden:
\( \dfrac{20}{6} = \dfrac{18+2}{6} = \dfrac{18}{6} + \dfrac{2}{6} = 3 + \dfrac{2}{6}\)
Der Bruch \( \dfrac{2}{6} \) kann gekürzt werden, indem man seinen Zähler und Nenner durch \( 2 \) dividiert
\( \dfrac{2}{6} = \dfrac{2 \div 2}{6 \div 2} = \dfrac{1}{3} \)
Schließlich
\( \dfrac{5}{2} \div \dfrac{3}{4} = 3 \dfrac{1}{3} \)
Um zwei Brüche zu dividieren, multipliziert man den ersten mit dem Kehrwert des zweiten
\( 5 \div \dfrac{1}{7} = \dfrac{5}{1} \times \dfrac{7}{1} = \dfrac{5 \times 7}{1 \times 1} = \dfrac{35}{1} = 35 \)
Multipliziere die Zähler miteinander und die Nenner miteinander.
\( \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{7} = \dfrac{2 \times 3}{5 \times 7} = \dfrac{6}{35} \)
Schreibe die gegebene Gleichung
\( a + 1 \dfrac{3}{4} = 2 \)
Subtrahiere \( 1 \dfrac{3}{4} \) von beiden Seiten der Gleichung
\( a + 1 \dfrac{3}{4} - 1 \dfrac{3}{4} = 2 - 1 \dfrac{3}{4} \)
Vereinfache, um zu erhalten
\( a = 2 - 1 \dfrac{3}{4} \)
Vereinfache die rechte Seite
\( = 2 - 1 - \dfrac{3}{4} \)
Vereinfache
\( 1 - \dfrac{3}{4} \)
Schreibe \( 1 \) als Bruch \( \dfrac{4}{4} \)
\( = \dfrac{4}{4} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}\)
Daher
\( a = 1/4 \)
Es gibt zwei ganze schattierte Elemente oben und eines, das zu \( \dfrac{3}{4} \) schattiert ist. Daher repräsentiert die gemischte Zahl
\( 2 \dfrac{3}{4} \) die schattierten Teile.
Falsch: \( 2 \dfrac{1}{2} \) ist eine gemischte Zahl und ist gleich
\( 2 \dfrac{1}{2} = 2 + \dfrac{1}{2} \)
Nehmen wir an, sie hat am Freitag \( n \) Stunden gearbeitet. Die Gesamtzeit (Addition) für die 5 Tage beträgt 15 Stunden. Addieren wir alle Stunden für 5 Tage
\( 3 \dfrac{1}{2} + 4 + 2 \dfrac{1}{6} + 1 \dfrac{1}{2} + n = 15 \)
Addiere ganze Zahlen zusammen und Brüche zusammen
\( (3 + 4 + 2 + 1) + (\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{2} ) + n = 15 \)
Vereinfache die Ausdrücke innerhalb der Klammern auf der linken Seite
\( 10 + (1 + \dfrac{1}{6}) + n = 15 \)
Was sich auch vereinfacht zu
\( 11 + \dfrac{1}{6} + n = 15 \)
Subtrahiere \( 11 + \dfrac{1}{6} \) von beiden Seiten der obigen Gleichung
\( 11 + \dfrac{1}{6} + n - 11 - \dfrac{1}{6} = 15 - 11 - \dfrac{1}{6} \)
Vereinfacht die linke und die rechte Seite, um zu erhalten
\( n = 4 - \dfrac{1}{6} \)
Schreibe \( 4 \) als Bruch
\( n = \dfrac{4}{1} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{24}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{23}{6} \)
Es ist ein unechter Bruch, der als gemischte Zahl geschrieben werden kann
\( n = \dfrac{23}{6} = \dfrac{18 + 5}{6} = 3 \dfrac{5}{6} \)
Tina arbeitete am Freitag 3 und \(\dfrac{5}{6} \) Stunden.
Schreibe \( 1 \dfrac{7}{10} \) in Dezimalform wie folgt
\( 1 \dfrac{7}{10} = 1 + 7 \div 10 = 1 + 0,7 = 1,7 \) und entspricht dem Punkt W.
\(1,7 \) und entspricht dem Punkt W im Diagramm.
Schreibe die gemischte Zahl als Summe eines ganzen Teils und eines Bruchteils
\( 2 \dfrac{1}{3} = 2 + \dfrac{1}{3} \)
Schreibe \( 2 \) als Bruch mit Nenner \( 3 \)
\( = \dfrac{2}{1} \times \dfrac{3}{3} + \dfrac{1}{3} \)
Vereinfache
\( = \dfrac{6}{3} + \dfrac{1}{3} \)
Addiere Brüche mit gemeinsamem Nenner
\( = \dfrac{7}{3} \)
\( 2 \dfrac{1}{3} \) als
\( 2 \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3} \)
Dividiere 31 durch 8, um einen Quotienten von 3 und einen Rest von 7 zu erhalten, was geschrieben werden kann als
\( 31 = 3 \times 8 + 7 \)
Daher können wir schreiben, dass
\( \dfrac{31}{8} = \dfrac{3 \times 8 + 7}{8} = \dfrac{3 \times 8}{8} + \dfrac{7}{8} \)
Vereinfache
\( = 3 + \dfrac{7}{8} = 3\dfrac{7}{8} \)
\( \dfrac{31}{8} \) als gemischte Zahl ist gleich \(3\dfrac{7}{8} \)
\( 3 \times \dfrac{1}{4} \) kann geschrieben werden als
\( 3 \times \dfrac{1}{4} = (1 + 1 + 1) \times \dfrac{1}{4} \)
Verwende das Verteilungsgesetz
\( =\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} \)
\( 3 \dfrac{1}{4} \) ist eine gemischte Zahl mit einem ganzen Teil gleich 3 und einem Bruchteil gleich \( \dfrac{1}{4} \) und wird geschrieben als
\( 3 \dfrac{1}{4} = 3 + \dfrac{1}{4} \)
Schreibe die beiden Brüche mit demselben Nenner um. Der gemeinsame Nenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von 5 und 8. Liste zuerst die ersten Vielfachen von 5 und 8 auf, bis wir ein gemeinsames Vielfaches erhalten
Vielfache von 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, ...
Vielfache von 8: 8, 16, 24, 32, 40, ...
Das kgV von 5 und 8 ist 40
Schreibe die beiden Brüche mit demselben Nenner 40 (dem kgV) um
\( \dfrac{2}{5} = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{8}{8} = \dfrac{16}{40} \)
\( \dfrac{3}{8} = \dfrac{3}{8} \times \dfrac{5}{5} = \dfrac{15}{40} \)
\( \dfrac{16}{40} \) ist größer als \( \dfrac{15}{40} \) und daher ist \( \dfrac{2}{5} \) größer als \( \dfrac{3}{8} \) und daher ist die obige Aussage wahr.
Der Bruch \( \dfrac{7}{6} \) hat einen Zähler, der größer ist als sein Nenner, und daher ist er größer als 1.
Die verbleibenden 3 Brüche \( \dfrac{3}{5} \; , \; \dfrac{1}{3} \) und \( \dfrac{4}{9} \) haben Zähler, die kleiner sind als ihre Nenner, und sind daher alle kleiner als 1. Sie können verglichen werden, indem man sie zuerst mit demselben Nenner schreibt.
Der gemeinsame Nenner kann das kleinste gemeinsame Vielfache ihrer Nenner 5, 3 und 9 sein.
Vielfache von 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45,...
Vielfache von 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45,...
Vielfache von 9: 9, 18, 27, 36, 45,...
Das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner 5, 3 und 9 ist 45. Daher schreiben wir die drei Brüche mit dem gemeinsamen Nenner 45 wie folgt um:
\( \dfrac{3}{5} = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{9}{9} = \dfrac{27}{45} \)
\( \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{15}{15} = \dfrac{15}{45} \)
\( \dfrac{4}{9} = \dfrac{4}{9} \times \dfrac{5}{5} = \dfrac{20}{45} \)
Unter Verwendung der obigen Brüche ordnen wir nun die gegebenen Brüche vom kleinsten zum größten wie folgt
\( \dfrac{1}{3} \; , \; \dfrac{4}{9} \; , \; \dfrac{3}{5} \; , \; \dfrac{7}{6} \)
\( \dfrac{2}{3} \) von \( 4 \) ist gleich:
\( \dfrac{2}{3} \times 4 = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{4}{1} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 1} \)
Vereinfache
\( = \dfrac{8}{3} \)
Schreibe 8 als 6 + 2. (6 ist ein Vielfaches von 3)
\( = \dfrac{6 + 2}{3} \)
Schreibe als Summe von Brüchen um
\( = \dfrac{6}{3} + \dfrac{2}{3} \)
Vereinfache
\( = 2 + \dfrac{2}{3} = 2 \dfrac{2}{3} \)
Daher ist \( \dfrac{2}{3} \) von \( 4 \) als gemischte Zahl gleich
\(2 \dfrac{2}{3} \)
Eine Stunde entspricht 60 Minuten. Daher ist \( \dfrac{2}{3} \) einer Stunde gleich
\( \dfrac{2}{3} \times 60 \)
Schreibe 60 als Bruch \( \dfrac{60}{1} \)
\( = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{60}{1} \)
Multipliziere Brüche und vereinfache
\( = \dfrac{2 \times 60}{3 \times 1} = \dfrac{120}{3} \)
Schreibe den Bruch als Division und vereinfache
\( = 120 \div 3 = 40 \) Minuten
Schlussfolgerung: Daher entspricht \( \dfrac{2}{3} \) einer Stunde 40 Minuten.
Das große Quadrat ist in 16 kleine Quadrate unterteilt. Daher ist jedes kleine Quadrat \( \dfrac{1}{16} \) des großen Quadrats.
rot: 4 kleine Quadrate repräsentieren \( 4 \times \dfrac{1}{16} = \dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4} \) des großen Quadrats
blau: 1 kleines Quadrat repräsentiert \( 1 \times \dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{16} \) des großen Quadrats
orange: ein halbes kleines Quadrat repräsentiert \( \dfrac{1}{2} \) von \( \dfrac{1}{16} \) = \( \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{32} \) des großen Quadrats
grün: 1 kleines Quadrat und 1/2 eines kleinen Quadrats repräsentieren \( \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{16} \)
Vereinfache
\( = \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{32} \)
Schreibe den Bruch \( \dfrac{1}{16} \) mit Nenner 32 um
\( = \dfrac{1}{16} \times \dfrac{2}{2} + \dfrac{1}{32} \)
Vereinfache
\( = \dfrac{3}{32} \) des großen Quadrats
schwarz: 3 kleine Quadrate repräsentieren \( 3 \times \dfrac{1}{16} = \dfrac{3}{16} \) des großen Quadrats
gelb: 3 kleine Quadrate repräsentieren \( 3 \times \dfrac{1}{16} = \dfrac{3}{16} \) des großen Quadrats
Wir können die Farbe mit den entsprechenden Brüchen wie folgt schreiben:
rot: \( \dfrac{1}{4} \) , blau: \( \dfrac{1}{16} \) , orange: \( \dfrac{1}{32} \) , grün: \( \dfrac{3}{32} \) , schwarz: \( \dfrac{3}{16} \) , gelb: \( \dfrac{3}{16} \)