Lösungen und Erklärungen zu Bruchfragen

Verwenden Sie eine ganze Zahl \( n \), um 1 als Bruch wie folgt zu schreiben:
\( n = 1 \), \( \quad 1 = \frac{1}{1} \)
\( n = 2 \), \( \quad 1 = \frac{2}{2} \)
\( n = 11 \), \( \quad 1 = \frac{11}{11} \)
und so weiter
BEACHTEN Sie, dass wir \( 1 = \frac{0}{0} \) nicht schreiben können.
BEACHTEN Sie, dass ein Bruch keinen Nenner gleich null haben kann.
Jede ganze Zahl \( n \) kann als reduzierter Bruch geschrieben werden, wie folgt: \[ \frac{n}{1} \] Also kann \( 5 \) geschrieben werden als \[ \frac{5}{1} \]
Beim Addieren von Brüchen ist es wichtig, einen gemeinsamen Nenner zu haben. In diesem Fall haben beide Brüche einen Nenner von 4, sodass wir die Zähler direkt addieren können. Die Summe der Zähler ergibt den Zähler des resultierenden Bruchs. Der Nenner bleibt gleich. Also ist der resultierende Bruch \[ \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1+2}{4} = \frac{3}{4} \]
Beim Subtrahieren von Brüchen ist es wichtig, einen gemeinsamen Nenner zu haben. In diesem Fall haben beide Brüche einen Nenner von 7, sodass wir die Zähler direkt subtrahieren können. Die Differenz der Zähler ergibt den Zähler des resultierenden Bruchs. Der Nenner bleibt gleich. Also ist der resultierende Bruch \[ \frac{4}{7} - \frac{2}{7} = \frac{4 - 2}{7} = \frac{2}{7} \]
\[ \frac{1}{5} + \frac{2}{3} = \] Um die Brüche zu addieren, müssen wir folgende Schritte befolgen:
Schritt 1: Einen gemeinsamen Nenner finden.
In diesem Fall sind die Nenner unterschiedlich (5 und 3). Um einen gemeinsamen Nenner zu finden, können wir die Nenner miteinander multiplizieren:
\( 5 \times 3 = 15 \)
Schritt 2: Die Brüche umschreiben, sodass sie denselben Nenner haben. Um die Nenner auf 15 zu bringen, müssen wir die Brüche entsprechend skalieren.
Wir multiplizieren den Zähler und Nenner von \( \frac{1}{5} \) mit 3 und den Zähler und Nenner von \( \frac{2}{3} \) mit 5:
\( \frac{1}{5} = \frac{1}{5} \times \frac{3}{3} = \frac{3}{15} \)
\( \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{5} = \frac{10}{15} \)
Nun haben beide Brüche denselben Nenner von 15.
Schritt 3: Addieren Sie die angepassten Brüche. Jetzt können wir die angepassten Brüche addieren:
\( \frac{3}{15} + \frac{10}{15} = \frac{3+10}{15} = \frac{13}{15} \)
Daher ist die Summe von
\[ \frac{1}{5} + \frac{2}{3} = \frac{13}{15}\]
Um die gemischten Zahlen \( 3 \frac{1}{2} \) und \( 5 \frac{1}{3} \) zu addieren, können wir folgende Schritte befolgen:
Schritt 1: Analysieren Sie die ganzen Teile von \( 3 \frac{1}{2} \) und \( 5 \frac{1}{3} \).
Der ganze Teil von \( 3 \frac{1}{2} \) ist \( 3 \), und der ganze Teil von \( 5 \frac{1}{3} \) ist \( 5 \).
Schritt 2: Analysieren Sie die Bruchteile: Der Bruchteil von \( 3 \frac{1}{2} \) ist \( \frac{1}{2} \) und der Bruchteil von \( 5 \frac{1}{3} \) ist \( \frac{1}{3} \)
Schritt 3: Addieren Sie die ganzen Teile.
Wir addieren die ganzen Teile zusammen: \( 3 + 5 = 8 \)
Schritt 4: Addieren Sie die Bruchteile: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\)
Schritt 5: Einen gemeinsamen Nenner finden.
Um die Brüche zu addieren, müssen wir einen gemeinsamen Nenner finden. In diesem Fall ist das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) von 2 und 3 gleich 6.
Schritt 6: Multiplizieren (anpassen) Sie die Brüche, um einen gemeinsamen Nenner von 6 zu haben:
\( \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{3} = \frac{3}{6} \)
\( \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \times \frac{2}{2} = \frac{2}{6} \)
Schritt 7: Addieren Sie die Brüche.
Wir addieren die angepassten Brüche zusammen:
\( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \)
Schritt 8: Alles zusammenfügen.
\[ 3 \frac{1}{2} + 5 \frac{1}{3} = (3+5) + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = 8 + \frac{5}{6} \]
Die Gesamtzeit, die Julia für die Schule bereit sein muss, beträgt
\( \frac{1}{2} \text{ Stunde} + \frac{1}{4} \text{ Stunde} = \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \right) \text{ Stunde} \)
Schreibe Brüche mit dem gleichen Nenner
\( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \text{ Stunde} \).
Es ist einfacher, Brüche zu vergleichen, wenn sie mit dem gleichen Nenner geschrieben sind
A)
\( \frac{5}{2} \) und \( \frac{2}{5} \) werden mit dem gleichen Nenner zu
\( \frac{5}{2} = \frac{5}{2} \times \frac{5}{5} = \frac{25}{10}\)
\( \frac{2}{5} = \frac{2}{5} \times \frac{2}{2} = \frac{4}{10}\)
Daher sind \( \frac{5}{2} \) und \( \frac{2}{5} \) nicht äquivalent
B)
Schreibe \( \frac{4}{3} \) mit dem Nenner 8 wie folgt
\( \frac{4}{3} = \frac{4}{3} \times \frac{2}{2} = \frac{8}{6} \)
Daher sind \( \frac{4}{3} \) und \( \frac{8}{6} \) äquivalent
Die Brüche in den Teilen C) und D) haben bereits die gleichen Nenner und sind nicht äquivalent.
Schlussfolgerung: Die Brüche \( \frac{4}{3} \) und \( \frac{8}{6} \) sind äquivalent, weil bei gemeinsamem Nenner sowohl Nenner als auch Zähler gleich sind.
Um die gemischten Zahlen \( 5 \frac{2}{3} \) und \( 3 \frac{1}{2} \) zu subtrahieren, befolgen wir diese Schritte:
Schritt 1: Wandeln Sie die gemischten Zahlen in unechte Brüche um.
\( 5 \frac{2}{3} = 5 + \frac{2}{3} = 5 \frac{3}{3} + \frac{2}{3} = \frac{15}{3} + \frac{2}{3} = \frac{17}{3}\)
und
\( 3 \frac{1}{2} = 3 + \frac{1}{2} = 3 \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{6}{2}+\frac{1}{2} = \frac{7}{2}\),
Schritt 2: Finden Sie einen gemeinsamen Nenner für die 2 Brüche: Die Nenner der Brüche sind 3 und 2, die unterschiedlich sind. Um einen gemeinsamen Nenner zu finden, multiplizieren wir sie: \( 3 \times 2 = 6 \).
Schritt 2: Schreiben Sie die Brüche mit einem gemeinsamen Nenner.
\( \frac{17}{3} = \frac{17}{3} \times \frac{2}{2} = \frac{34}{6} \)
\( \frac{7}{2} = \frac{7}{2} \times \frac{3}{3} = \frac{21}{6} \),
Schritt 4: Subtrahieren Sie die angepassten Brüche.
\( 5 \frac{2}{3} - 3 \frac{1}{2} = \frac{34}{6} - \frac{21}{6} = \frac{13}{6} \)
Schritt 5: Reduzieren Sie (wenn möglich) und wandeln Sie den unechten Bruch zurück in eine gemischte Zahl um (wenn gewünscht).
\(\frac{13}{6} \) kann nicht reduziert werden, kann aber als gemischte Zahl geschrieben werden
\( \frac{13}{6} = \frac{12+1}{6} = \frac{12}{6} + \frac{1}{6} = 2 \frac{1}{6} \)
John hat mehr gegessen als Billy und der Unterschied ist gegeben durch
\( 1 \frac{2}{3} - 1 \frac{1}{4} = (1 - 1) + (\frac{2}{3} - \frac{1}{4}) = (\frac{2}{3} - \frac{1}{4}) \)
Schreibe Brüche mit dem gleichen Nenner
\( \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \times \frac{4}{4} = \frac{8}{12} \)
\( \frac{1}{4}= \frac{1}{4} \times \frac{3}{3} = \frac{3}{12} \)
Der Unterschied ist
\( 1 \frac{2}{3} - 1 \frac{1}{4} = \frac{8}{12} - \frac{3}{12} = \frac{5}{12} \)
John hat \( \frac{5}{12} \) mehr Pizza gegessen als Billy.
Um zwei Brüche zu dividieren, multiplizieren Sie den ersten mit dem multiplikativen Inversen des zweiten
Das multiplikative Inverse der Bruchzahl \( \frac{a}{b} \) ist die Bruchzahl \( \frac{b}{a} \)
Ändern Sie die Division von zwei Brüchen in eine Multiplikation wie folgt
\( \frac{5}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{5}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{5 \times 4}{2 \times 3} = \frac{20}{6} \)
Das Ergebnis ist ein unechter Bruch und kann wie folgt als gemischte Zahl geschrieben werden:
\( \frac{20}{6} = \frac{18+2}{6} = \frac{18}{6} + \frac{2}{6} = 3 + \frac{2}{6}\)
Der Bruch \( \frac{2}{6} \) kann durch Division seines Zählers und Nenners durch \( 2 \) reduziert werden
\( \frac{2}{6} = \frac{2 \div 2}{6 \div 2} = \frac{1}{3} \)
Schließlich
\( \frac{5}{2} \div \frac{3}{4} = 3 \frac{1}{3} \)
Um zwei Brüche zu dividieren, multiplizieren Sie den ersten mit dem multiplikativen Inversen des zweiten
\( 5 \div \frac{1}{7} = \frac{5}{1} \times \frac{7}{1} = \frac{5 \times 7}{1 \times 1} = \frac{35}{1} = 35 \)
Multiplizieren Sie die Zähler und Nenner zusammen.
\( \frac{2}{5} \times \frac{3}{7} = \frac{2 \times 3}{5 \times 7} = \frac{6}{35} \)
Schreiben Sie die gegebene Gleichung
\( a + 1 \frac{3}{4} = 2 \)
Subtrahieren Sie \( 1 \frac{3}{4} \) von beiden Seiten der Gleichung
\( a + 1 \frac{3}{4} - 1 \frac{3}{4} = 2 - 1 \frac{3}{4} \)
Vereinfachen Sie, um zu erhalten
\( a = 2 - 1 \frac{3}{4} \)
Vereinfachen Sie die rechte Seite
\( = 2 - 1 - \frac{3}{4} \)
Vereinfachen Sie
\( 1 - \frac{3}{4} \)
Schreiben Sie \( 1 \) als Bruch \( \frac{4}{4} \)
\( = \frac{4}{4} - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\)
Daher
\( a = \frac{1}{4} \)
Es gibt zwei ganze schattierte Elemente oben und eines bei \( \frac{3}{4} \). Daher repräsentiert die gemischte Zahl
\( 2 \frac{3}{4} \) die schattierten Teile.
Falsch: \( 2 \dfrac{1}{2} \) ist eine gemischte Zahl und entspricht
\( 2 \dfrac{1}{2} = 2 + \dfrac{1}{2} \)
Angenommen, sie hat \( n \) Stunden am Freitag gearbeitet. Die Gesamtstunden für die 5 Tage betragen 15 Stunden. Addieren Sie alle Stunden für 5 Tage
\( 3 \dfrac{1}{2} + 4 + 2 \dfrac{1}{6} + 1 \dfrac{1}{2} + n = 15 \)
Addiere ganze Zahlen zusammen und Brüche zusammen
\( (3 + 4 + 2 + 1) + (\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{2} ) + n = 15 \)
Vereinfache die Ausdrücke in den Klammern auf der linken Seite
\( 10 + (1 + \dfrac{1}{6}) + n = 15 \)
Was auch zu
\( 11 + \dfrac{1}{6} + n = 15 \)
Subtrahiere \( 11 + \dfrac{1}{6} \) von beiden Seiten der obigen Gleichung
\( 11 + \dfrac{1}{6} + n - 11 - \dfrac{1}{6} = 15 - 11 - \dfrac{1}{6} \)
Vereinfacht die linke und rechte Seite, um zu erhalten
\( n = 4 - \dfrac{1}{6} \) Schreibe \( 4 \) als Bruch mit Nenner \( 4 \)
\( n = \dfrac{16}{4} - \dfrac{1}{6} \)
\( n = \dfrac{15}{4} \)
Es ist ein unechter Bruch, der als gemischte Zahl geschrieben werden kann
\( n = \dfrac{15}{4} = \dfrac{12 + 3}{4} = 3 \dfrac{3}{4} \)
Tina hat am Freitag 3 Stunden und \(\dfrac{3}{4} \) gearbeitet.
Schreibe \( 1 \dfrac{7}{10} \) in Dezimalform wie folgt
\( 1 \dfrac{7}{10} = 1 + 7 \div 10 = 1 + 0.7 = 1.7 \) und entspricht Punkt W.
\(1.7 \) und entspricht Punkt W auf dem Graphen.
Schreibe die gemischte Zahl als Summe aus einem ganzen Teil und einem Bruchteil
\( 2 \dfrac{1}{3} = 2 + \dfrac{1}{3} \)
Schreibe \( 2 \) als Bruch mit Nenner \( 3 \)
\( = \dfrac{2}{1} \times \dfrac{3}{3} + \dfrac{1}{3} \)
Vereinfache
\( = \dfrac{6}{3} + \dfrac{1}{3} \)
Addiere Brüche mit gemeinsamem Nenner
\( = \dfrac{7}{3} \)
\( 2 \dfrac{1}{3} \) als
\( 2 \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3} \)
Teile 31 durch 8, um einen Quotienten von 3 und einem Rest von 7 zu erhalten, der als
\( 31 = 3 \times 8 + 7 \)
geschrieben werden kann. Daher können wir schreiben, dass
\( \dfrac{31}{8} = \dfrac{3 \times 8 + 7}{8} = \dfrac{3 \times 8}{8} + \dfrac{7}{8} \)
Vereinfache
\( = 3 + \dfrac{7}{8} = 3\dfrac{7}{8} \)
\( \dfrac{31}{8} \) als gemischte Zahl ist gleich \(3\dfrac{7}{8} \)
\( 3 \times \dfrac{1}{4} \) kann geschrieben werden als
\( 3 \times \dfrac{1}{4} = (1 + 1 + 1) \times \dfrac{1}{4} \)
Verwende die Distribution
\( =\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} \)
\( 3 \dfrac{1}{4} \) ist eine gemischte Zahl mit einem ganzen Teil gleich 3 und einem Bruchteil gleich \( \dfrac{1}{4} \) und wird geschrieben als
\( 3 \dfrac{1}{4} = 3 + \dfrac{1}{4} \)
Schreibe die beiden Brüche mit dem gleichen Nenner. Der gleiche Nenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) von 5 und 8. Listet zuerst die ersten wenigen Vielfachen von 5 und 8 auf, bis wir ein gemeinsames Vielfaches erhalten
Faktoren von 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, ...
Faktoren von 8: 8, 16, 24, 32, 40, ...
Das LCM von 5 und 8 ist 40
Schreibe die beiden Brüche mit dem gleichen Nenner 40 (das ist das LCM)
\( \dfrac{2}{5} = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{8}{8} = \dfrac{16}{40} \)
\( \dfrac{3}{8} = \dfrac{3}{8} \times \dfrac{5}{5} = \dfrac{15}{40} \)
\( \dfrac{16}{40} \) ist größer als \( \dfrac{15}{40} \) und daher ist \( \dfrac{2}{5} \) größer als \( \dfrac{3}{8} \) und daher ist die obige Aussage wahr.
Der Bruch \( \dfrac{7}{6} \) hat seinen Zähler größer als seinen Nenner und ist daher größer als 1.
Die verbleibenden 3 Brüche \( \dfrac{3}{5} \; , \; \dfrac{1}{3} \) und \( \dfrac{4}{9} \) haben ihre Zähler kleiner als ihre Nenner und sind daher alle kleiner als 1. Sie können verglichen werden, indem sie zunächst mit dem gleichen Nenner geschrieben werden.
Der gleiche Nenner kann das kleinste gemeinsame Vielfache ihrer Nenner 5, 3 und 9 sein.
Faktoren von 5: 5, 10, 15, 25, 30, 35, 40, 45,...
Faktoren von 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45,...
Faktoren von 9: 9, 18, 27, 36, 45,...
Das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner 5, 3 und 9 ist 45. Daher schreiben wir die drei Brüche mit dem gemeinsamen Nenner 45 wie folgt:
\( \dfrac{3}{5} = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{9}{9} = \dfrac{27}{45} \)
\( \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{15}{15} = \dfrac{15}{45} \)
\( \dfrac{4}{9} = \dfrac{4}{9} \times \dfrac{5}{5} = \dfrac{20}{45} \)
Unter Verwendung der obigen Brüche ordnen wir die gegebenen Brüche von klein nach groß wie folgt:
\( \dfrac{1}{3} \; , \; \dfrac{4}{9} \; , \; \dfrac{3}{5} \; , \; \dfrac{7}{6} \)
\( \dfrac{2}{3} \) von \( 4 \) ist gleich:
\( \dfrac{2}{3} \times 4 = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{4}{1} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 1} \)
Vereinfache
\( = \dfrac{8}{3} \)
Schreibe 8 als 6 + 2. (6 ist ein Vielfaches von 3)
\( = \dfrac{6 + 2 }{3} \)
Schreibe als Summe von Brüchen
\( = \dfrac{6}{3} + \dfrac{2 }{3} \)
Vereinfache
\( = 2 + \dfrac{2 }{3} = 2 \dfrac{2 }{3} \)
Daher ist \( \dfrac{2}{3} \) von \( 4 \) als gemischte Zahl gleich
\(2 \dfrac{2 }{3} \)
Eine Stunde ist gleich 60 Minuten. Daher ist \( \dfrac{2}{3} \) einer Stunde gleich
\( \dfrac{2}{3} \times 60 \)
Schreibe 60 als Bruch \( \dfrac{60}{1} \)
\( = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{60}{1} \)
Multipliziere Brüche und vereinfache
\( = \dfrac{2 \times 60}{3 \times 1} = \dfrac{120}{3} \)
Schreibe den Bruch als Division und vereinfache
\( = 120 \div 3 = 40 \) Minuten
Fazit: Daher ist \( \dfrac{2}{3} \) einer Stunde gleich 40 Minuten.
Das große Quadrat ist in 16 kleine Quadrate unterteilt. Daher ist jedes kleine Quadrat \( \dfrac{1}{16} \) des großen Quadrats.
Rot: 4 kleine Quadrate repräsentieren \( 4 \times \dfrac{1}{16} = \dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4} \) des großen Quadrats
Blau: 1 kleines Quadrat repräsentiert \( 1 \times \dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{16} \) des großen Quadrats
Orange: Die Hälfte eines kleinen Quadrats repräsentiert \( \dfrac{1}{2} \) von \( \dfrac{1}{16} \) = \( \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{32} \) des großen Quadrats
Grün: 1 kleines Quadrat und die Hälfte eines kleinen Quadrats repräsentieren \( \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{16} \)
Vereinfache
\( = \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{32} \)
Schreibe den Bruch \( \dfrac{1}{16} \) mit Nenner 32
\( = \dfrac{1}{16} \times \dfrac{2}{2} + \dfrac{1}{32} \)
Vereinfache
\( = \dfrac{3}{32} \) des großen Quadrats
Schwarz: 3 kleine Quadrate repräsentieren \( 3 \times \dfrac{1}{16} = \dfrac{3}{16} \) des großen Quadrats
Gelb: 3 kleine Quadrate repräsentieren \( 3 \times \dfrac{1}{16} = \dfrac{3}{16} \) des großen Quadrats
Wir können die Farben mit den entsprechenden Brüchen wie folgt schreiben:
Rot: \( \dfrac{1}{4} \) , Blau: \( \dfrac{1}{16} \) , Orange: \( \dfrac{1}{32} \) , Grün: \( \dfrac{3}{32} \) , Schwarz: \( \dfrac{3}{16} \) , Gelb: \( \dfrac{3}{16} \)

Lösungen und Erklärungen zu Bruchfragen - Klasse 5

Weitere Referenzen und Links