Matheaufgaben mit Lösungen für Klasse 5
Textaufgaben und Probleme der 5. Klasse zu Mustern, Zeitaddition und -subtraktion, Zeit-Distanz-Geschwindigkeit, Brüchen und gemischten Zahlen, Verhältnissen, Prozenten sowie Flächen- und Volumenberechnung von Rechtecken und Quadraten werden vorgestellt. Jede Aufgabe beinhaltet ausführliche Lösungen und klare Erklärungen. Einige anspruchsvolle Probleme sind ebenfalls enthalten, um das Denken zu fördern und Vertrauen aufzubauen.
Aufgabe 1
Sarah hat einen Kuchen gebacken und ihn in 8 gleich große Stücke geschnitten. Sie aß 3 Stücke und ihr Freund Jake aß 1 Stück. Welcher Bruchteil des Kuchens ist übrig? Vereinfache den Bruch, wenn möglich.
Gesamtstücke = 8
Gegessene Stücke = 3 (Sarah) + 1 (Jake) = 4
Übrige Stücke = 8 - 4 = 4
\[ \text{Der übrige Bruchteil} = \dfrac{4}{8}\]
Teile sowohl Zähler als auch Nenner durch 4:
\[ \text{Der übrige Bruchteil} = \dfrac{4\div 4}{8\div 4}\]
Vereinfachen
\[ \text{Der übrige Bruchteil} = \dfrac{ 1 }{2}\]
Aufgabe 2
Ein Buchladen verkauft Bücher für je 15 $. Wenn ein Kunde 3 Bücher kauft und dann 25% Rabatt auf den Gesamtpreis erhält, wie viel muss der Kunde insgesamt bezahlen?
Gesamtpreis vor Rabatt ist: \[ 3 \times 15 = 45 \; \text{Dollar } \]
Gesamtrabatt ist: \[ 25\% \; \text{von} \; 45 = \dfrac{25}{100} \times 45 \]
\[ = 0.25 \times 45 = 11.25 \; \text{Dollar } \]
Gesamtpreis nach Rabatt: \[ 45 - 11.25 = 33.75 \; \text{Dollar } \]
Der Kunde wird 33,75 $ bezahlen.
Aufgabe 3
Die ersten vier Zahlen einer Folge sind 3, 6, 12, 24. Erkläre das Muster und finde die 7. Zahl der Folge?
Das Muster beginnt mit 3 und dann wird jede Zahl mit 2 multipliziert, um die nächste Zahl zu erhalten.
1.: 3
2.: \( 3 \times 2 = 6 \)
3.: \( 6 \times 2 = 12 \)
4.: \( 12 \times 2 = 24 \)
5.: \( 24 \times 2 = 48 \)
6.: \( 48 \times 2 = 96 \)
7.: \( 96 \times 2 = 192 \)
Die 7. Zahl in der Folge ist 192.
Aufgabe 4
John braucht 25 Minuten, um zum Parkplatz zu gehen, und 45 Minuten, um zur Arbeit zu fahren. Wann muss er das Haus verlassen, um um 9:00 Uhr bei der Arbeit zu sein?
Die Zeit, die John benötigt, um zur Arbeit zu kommen, ist die Summe aus der Zeit, die er zum Parkplatz geht, und der Zeit, die er fährt:
\[ \text{Gesamtzeit} = 25 + 45 = 70 \text{ Minuten} \]
Da \( 70 \text{ Minuten} = 60 \text{ Minuten} + 10 \text{ Minuten} \) sind, und da \( 1 \text{ Stunde} = 60 \text{ Minuten} \) ist, können wir schreiben:
\[ \text{Gesamtzeit} = 1 \text{ Stunde und } 10 \text{ Minuten} \]
John muss das Haus 1 Stunde und 10 Minuten vor 9:00 Uhr verlassen:
\[ 9:00 - 1:10 = 9:00 - 1:00 - 0:10 = 8 - 0:10 = 7:50 \text{ Uhr} \]
John sollte das Haus um 7:50 Uhr verlassen.
Aufgabe 5
Kim kann \( 4 \) Kilometer in einer Stunde gehen. Wie lange braucht Kim, um \( 18 \) Kilometer zu gehen?
Wenn Kim \( 4 \) km in \( 1 \) Stunde geht, dann ist die Zeit für \( 18 \) km:
\[ \dfrac{18}{4} = 4.5 = 4 + \dfrac{1}{2} \]
Kim braucht \( 4.5 \) Stunden (oder 4 Stunden und 30 Minuten), um 18 Kilometer zu gehen.
Aufgabe 6
Eine Fabrik produzierte im ersten Produktionsjahr 2.300 Fernsehgeräte. Im zweiten Jahr wurden 4.500 Geräte produziert, und im dritten Jahr wurden 500 Geräte mehr produziert als im zweiten Jahr. Wie viele Fernsehgeräte wurden in drei Jahren produziert?
Im dritten Jahr wurden 500 Fernsehgeräte mehr produziert als im zweiten Jahr. Daher ist die Anzahl der im dritten Jahr produzierten Geräte:
\[ 4500 + 500 = 5000 \]
Die Gesamtzahl der in drei Jahren produzierten Fernsehgeräte beträgt:
\[ 2300 + 4500 + 5000 = 11800 \]
Schlussfolgerung: In 3 Jahren wurden 11.800 Fernsehgeräte produziert.
Aufgabe 7
Tom und Bob haben insgesamt 49 Spielzeuge. Wenn Bob 5 Spielzeuge mehr hat als Tom, wie viele Spielzeuge hat jeder?
Wenn man 5 Spielzeuge von den 49 Spielzeugen wegnimmt und die restlichen gleichmäßig auf Tom und Bob verteilt, werden beide gleich viele Spielzeuge haben.
\[ 49 - 5 = 44 \quad \text{(gleichmäßig zu verteilen)} \]
Bei gleicher Verteilung hat jeder:
\[ \dfrac{44}{2} = 22 \quad \text{Spielzeuge} \]
Bob hat 5 Spielzeuge mehr als Tom, also hat Bob:
\[ 22 + 5 = 27 \quad \text{Spielzeuge} \]
Tom hat 22 Spielzeuge und Bob hat 27 Spielzeuge.
Hinweis: Überprüfe, dass die Summe 49 ist und dass Bob 5 Spielzeuge mehr als Tom hat.
Aufgabe 8
John kann in einer Minute ein Viertel einer Pizza essen. Wie lange braucht John, um eineinhalb Pizzen zu essen?
2 Mögliche Lösungen:
1) Eine ganze Pizza hat 4 Viertel, und eine halbe Pizza hat 2 Viertel. Eineinhalb Pizzen haben also insgesamt:
\[ 4 + 2 = 6 \text{ Viertel} \]
Wenn John ein Viertel in einer Minute isst, braucht er:
\[ 6 \times 1 = 6 \text{ Minuten} \]
um eineinhalb Pizzen zu essen.
2) Das Problem kann auch mit Brüchen gelöst werden:
Eineinhalb Pizzen wird als gemischte Zahl geschrieben:
\[ 1\dfrac{1}{2} \]
John braucht eine Minute, um ein Viertel zu essen. Um herauszufinden, wie viele Viertel in \(1\dfrac{1}{2}\) sind, dividieren wir:
\[ 1\dfrac{1}{2} \div \dfrac{1}{4} \quad (1) \]
Wandle die gemischte Zahl in einen unechten Bruch um:
\[ 1\dfrac{1}{2} = 1+ \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} \]
Führe nun die Division (1) durch, um die Anzahl der Viertel in \( 1\dfrac{1}{2} \) zu finden:
\[ \dfrac{3}{2} \div \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{4}{1} = \dfrac{12}{2} = 6 \]
Es gibt also 6 Viertel in eineinhalb Pizzen. Daher braucht John:
\[ 6 \times 1 = 6 \text{ Minuten} \]
um die ganze Pizza und eine halbe zu essen.
Aufgabe 9
John las ein Viertel der Zeit, die Tom las. Tom las nur zwei Fünftel der Zeit, die Sasha las. Sasha las doppelt so lange wie Mike. Wenn Mike 5 Stunden las, wie lange las John?
Mike las 5 Stunden. Sasha las doppelt so lange wie Mike. Somit las Sasha:
\[ 2 \times 5 = 10 \text{ Stunden} \]
Tom las zwei Fünftel der Zeit, die Sasha las. Somit las Tom:
\[ \dfrac{2}{5} \times 10 = 4 \text{ Stunden} \]
John las ein Viertel der Zeit, die Tom las. Somit las John:
\[ \dfrac{1}{4} \times 4 = 1 \text{ Stunde} \]
Schlussfolgerung: John las 1 Stunde.
Aufgabe 11
Jim, Carla und Tomy sind Mitglieder derselben Familie. Carla ist 5 Jahre älter als Jim. Tomy ist 6 Jahre älter als Carla. Die Summe ihrer drei Alter ist 31 Jahre. Wie alt ist jeder von ihnen?
Dieses Problem kann mit Algebra oder einer Tabelle gelöst werden:
Algebraische Methode
Sei \( x \) Jims Alter.
Carla ist 5 Jahre älter als Jim, daher ist Carlas Alter \[ x + 5 \]
Tomy ist 6 Jahre älter als Carla, daher ist Tomys Alter \[ x + 5 + 6 = x + 11 \].
Die Summe aller 3 Alter ist 31, also:
\[ x + ( x + 5 ) + (x+11) = 31 \]
Gleiche Terme zusammenfassen
\[ 3 x + 16 = 31 \]
Subtrahiere 16 von beiden Seiten der Gleichung und vereinfache:
\[ 3 x = 15 \]
Löse nach x auf:
\[ x = 5 \]
Jims Alter ist: 5, Carlas Alter ist: 5 + 5 = 10 und Tomys Alter ist: 10 + 6 = 16.
Tabellenmethode
Wenn du dieses Problem aus irgendeinem Grund nicht mit Algebra lösen kannst, kann es mit einer Tabelle gelöst werden, wie unten gezeigt, wobei Jims Alter geschätzt wird und dann Carlas und Tomys Alter berechnet werden. Die Berechnungen werden gestoppt, wenn die Bedingung der Aufgabe erreicht ist, nämlich "die Summe ihrer drei Alter ist 31 Jahre".
| Jims Alter | Carlas Alter | Tomys Alter | Die Summe aller Alter |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 + 5 = 6 | 6 + 6 = 12 | 1 + 6 + 12 = 19 |
| 2 | 2 + 5 =7 | 7 + 6 = 13 | 2+ 7 + 13 = 22 |
| 3 | 3 + 5 = 8 | 8 + 6 = 14 | 3 + 8 + 14 = 25 |
| 4 | 4 + 5 = 9 | 9 + 6 = 15 | 4 + 9 + 15 = 28 |
| 5 | 5 + 5 = 10 | 10 + 6 = 16 | 5 + 10 + 16 = 31 |
Aufgabe 12
Mel hatte \( \$35.00 \) und hob etwas mehr Geld von seinem Bankkonto ab. Er kaufte eine Hose für \( \$34.00 \), zwei Hemden für je \( \$16.00 \) und zwei Paar Schuhe für je \( \$24.00 \). Nach dem Einkaufen hatte er \( \$32.00 \) übrig. Wie viel Geld hob Mel von der Bank ab?
Mel gab aus:
\( \$34.00 \) für eine Hose
\(2 \times 16.00 = \$32.00\) für zwei Hemden (je \( \$16.00 \))
\(2 \times 24.00 = \$48.00\) für zwei Paar Schuhe (je \( \$24.00 \))
Der Gesamtbetrag, den Mel ausgab, ist:
\[ 34.00 + 32.00 + 48.00 = 114.00 \]
Er hatte nach dem Einkaufen \( \$32.00 \) übrig, also war der Gesamtbetrag, den er vor dem Einkaufen hatte:
\[ 114.00 + 32.00 = 146.00 \]
Dieser Gesamtbetrag beinhaltet die \( \$35.00 \), die er ursprünglich hatte, plus den Betrag, den er von der Bank abhob. Daher ist der abgehobene Betrag:
\[ 146.00 - 35.00 = 111.00 \]
Mel hob \( \$111.00 \) von der Bank ab.
Aufgabe 13
Wie viele Minuten hat eine Woche?
1 Woche = 7 Tage
1 Tag = 24 Stunden
1 Stunde = 60 Minuten
Somit gibt es in einer Woche:
\[ 7 \times 24 \times 60 = 10080 \; \text{Minuten in einer Woche} \]
Aufgabe 14
In Tims Haus ist ein rechteckiger Swimmingpool (blau) mit einer Länge von 30 Metern und einer Breite von 10 Metern von Gras (grün) umgeben. Der Pool mit der Grünfläche bildet ein großes Rechteck mit einer Länge von 50 Metern und einer Breite von 20 Metern. Welche Fläche nimmt das Gras ein?
Die Fläche eines Rechtecks wird mit der Formel berechnet:
\[ \text{Fläche} = \text{Länge} \times \text{Breite} \]
Fläche des großen Rechtecks (Pool und Gras) ist: \[ 50 \times 20 = 1000 \; \text{Quadratmeter} \]
Fläche des Pools ist: \[ 30 \times 10 = 300 \; \text{Quadratmeter} \]
\[ \text{Grasfläche = Fläche des großen Rechtecks - Fläche des Pools} \]
\[ = 1000 - 300 = 700 \; \text{Quadratmeter} \]
Aufgabe 15
Mary möchte eine Schachtel basteln. Sie beginnt mit einem Stück Pappe, dessen Länge 15 Zentimeter und Breite 10 Zentimeter beträgt. Dann schneidet sie aus jeder der vier Ecken deckungsgleiche Quadrate mit einer Seitenlänge von 3 Zentimetern aus. Wie groß ist die Fläche der Pappe, nachdem sie die 4 Ecken ausgeschnitten hat?
Die Gesamtfläche der Pappe vor dem Zuschneiden beträgt:
\[ \text{Fläche} = \text{Länge} \times \text{Breite} = 15 \times 10 = 150 \text{ cm}^2 \]
Fläche eines aus einer Ecke geschnittenen Quadrats:
\[ \text{Fläche von 1 Quadrat} = 3 \times 3 = 9 \text{ cm}^2 \]
Es gibt 4 solcher Quadrate, also beträgt die gesamte ausgeschnittene Fläche:
\[ 4 \times 9 = 36 \text{ cm}^2 \]
Daher ist die Fläche der Pappe nach dem Ausschneiden der 4 Ecken:
\[ 150 - 36 = 114 \text{ cm}^2 \]
Aufgabe 16
Ein Maler berechnet \$225,00 für Material und \$35,00 pro Stunde für Arbeitszeit. Die Gesamtkosten für das Streichen eines Büros betragen \$330,00. Wie viele Stunden hat der Maler für das Streichen des Büros gebraucht?
Wenn wir die Materialkosten von den Gesamtkosten abziehen, erhalten wir die gesamten Arbeitskosten:
\[ 330.00 - 225.00 = 105.00 \]
Also sind 105,00 $ die gesamten Arbeitskosten. Da der Maler 35,00 $ pro Stunde berechnet, beträgt die Anzahl der Stunden:
\[ \dfrac{105.00}{35} = 3 \text{ Stunden} \]
Aufgabe 17
Drei Spielzeugautos und 4 Spielzeugeisenbahnen kosten 18 $. Zwei Spielzeugautos und 3 Spielzeugeisenbahnen kosten 13 $. Was ist der Preis für ein Spielzeugauto und der Preis für eine Spielzeugeisenbahn, wenn beide Preise ganze Dollar-Beträge sind? (Hinweis: Verwende eine Tabelle)
Verwende eine Tabelle und schätze den Preis für ein Spielzeugauto und eine Spielzeugeisenbahn, dann überprüfe die 2 Bedingungen:
1) Bedingung 1: Drei Spielzeugautos und 4 Spielzeugeisenbahnen sollten 18 $ kosten
2) Bedingung 2: Zwei Spielzeugautos und 3 Spielzeugeisenbahnen sollten 13 $ kosten
Beachte, dass solange Bedingung 1 nicht erfüllt ist, es nicht nötig ist, Bedingung 2 zu erfüllen, da wir beide gleichzeitig erfüllen müssen.
Die Ergebnisse in der Tabelle unten zeigen, dass Bedingungen 1 und 2 erfüllt sind, wenn
der Preis für 1 Auto 2 $ und der Preis für einen Zug 3 $ beträgt.
| Schätzung Preis 1 Auto |
Schätzung Preis 1 Zug |
Berechne Bedingung(1) 3 Autos + 4 Züge |
Berechne Bedingung(2) 2 Autos + 3 Züge |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 3×1+4×1 = 7 | Keine Berechnung nötig |
| 1 | 2 | 3×1+4×2 = 11 | Keine Berechnung nötig |
| 1 | 3 | 3×1+4×3 = 15 | Keine Berechnung nötig |
| 1 | 4 | 3×1+4×4 = 19 | Keine Berechnung nötig |
| 2 | 1 | 3×2+4×1 = 10 | Keine Berechnung nötig |
| 2 | 2 | 3×2+4×2 = 14 | Keine Berechnung nötig |
| 2 | 3 | 3×2+4×3 = 18 | 2×2+3×3 = 13 |
Hinweis dass dieses Problem algebraisch wie folgt gelöst werden kann:
Sei \( x \) der Preis für ein Spielzeugauto (in Dollar)
Sei \( y \) der Preis für eine Spielzeugeisenbahn (in Dollar)
Die obige Aussage wird übersetzt als:
1. Drei Spielzeugautos und vier Spielzeugeisenbahnen kosten 18 $: \[ 3x + 4y = 18 \]
2. Zwei Spielzeugautos und drei Spielzeugeisenbahnen kosten 13 $: \[ 2x + 3y = 13 \]
Wir erhalten also ein Gleichungssystem: \[ \begin{cases} 3x + 4y = 18 \\ 2x + 3y = 13 \end{cases} \]
Löse das System, um den Preis für ein Auto \( x = \$2 \) und den Preis für einen Zug \( y = \$3 \) zu erhalten.
Aufgabe 18
Eine Schachtel hat eine Länge von 5 cm, eine Breite von 3 cm und eine Höhe von 4 cm. Wie groß ist das Volumen der Schachtel?
\[ \text{Volumen = Länge } \times \text{Breite} \times \text{Höhe} \]
\[ = 5 \times 3 \times 4 = 60 \; \text{Kubikzentimeter} \]
Das Volumen der Schachtel beträgt 60 cm3.
Aufgabe 19
Ein Beutel enthält 6 rote Kugeln, 4 blaue Kugeln und 10 grüne Kugeln. Wenn eine Kugel zufällig gezogen wird, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel blau ist? Schreibe deine Antwort als Bruch in der einfachsten Form.
Gesamtzahl der Kugeln ist: \[ 6 + 4 + 10 = 20 \]
Anzahl der blauen Kugeln = 4
Die Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu ziehen, ist: \[ \dfrac{\text{Anzahl der blauen Kugeln}}{\text{Gesamtzahl der Kugeln}} = \dfrac{4}{20} = \dfrac{1}{5} \]
Die Wahrscheinlichkeit ist \( \dfrac{1}{5} \).
Aufgabe 20
John kaufte 3,75 Meter Stoff, um einen Vorhang zu nähen. Er verwendete 2,4 Meter für einen Vorhang und 0,85 Meter für einen anderen. Wie viel Stoff hat er übrig?
Insgesamt verwendeter Stoff: \[ 2.4 + 0.85 = 3.25 \; \text{ Meter } \]
Übriger Stoff: \[ 3.75 - 3.25 = 0.5 \; \text{ Meter } \]
John hat 0,5 Meter Stoff übrig.
Aufgabe 21
Linda gab \( \dfrac{3}{4} \) ihrer Ersparnisse für Möbel aus. Dann gab sie \( \dfrac{1}{2} \) ihrer verbleibenden Ersparnisse für einen Kühlschrank aus. Wenn der Kühlschrank 150 $ kostete, wie hoch waren ihre ursprünglichen Ersparnisse?
Sei \( x \) Lindas gesamte Ersparnisse. Wenn sie \( \dfrac{3}{4} \) ihrer Ersparnisse für Möbel ausgab, dann verbleiben
\[ 1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{4}{4} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4} \]
Sie gab dann \( \dfrac{1}{2} \) ihrer verbleibenden Ersparnisse für einen Kühlschrank aus, der 150 $ kostet. Daher haben wir die Gleichung:
\[
\dfrac{1}{2} \times \left( \dfrac{1}{4} x \right) = 150
\]
\[
x = 1200
\]
Lindas ursprüngliche Ersparnisse betrugen 1200 $.
Aufgabe 22
Der Umfang von Quadrat A ist 3-mal so groß wie der Umfang von Quadrat B. Wie ist das Verhältnis der Fläche von Quadrat A zur Fläche von Quadrat B?
Sei \( x \) die Seitenlänge von Quadrat A und \( y \) die Seitenlänge von Quadrat B.
Die Umfänge der beiden Quadrate sind gegeben durch:
Umfang von Quadrat A: \[ 4x \]
Umfang von Quadrat B: \[ 4y \]
Der Ausdruck "Der Umfang von Quadrat A ist 3-mal so groß wie der Umfang von Quadrat B" wird mathematisch geschrieben als:
\[ 4x = 3(4y) = 12y \]
Teile linke und rechte Seite durch 4:
\[ x = 3y \]
Quadriere beide Seiten der Gleichung:
\[ x^2 = (3y)^2 \]
Vereinfache:
\[ x^2 = 9y^2 \]
Die Flächen der beiden Quadrate sind:
Fläche von Quadrat A: \[ x^2 \] Fläche von Quadrat B: \[ y^2 \]
Das Verhältnis der Fläche von Quadrat A zur Fläche von Quadrat B ist:
\[ \dfrac{x^2}{y^2} \]
Unter Verwendung der Gleichung \( x^2 = 9y^2 \), teile beide Seiten durch \( y^2 \):
\[ \dfrac{x^2}{y^2} = \dfrac{9y^2}{y^2} \]
Vereinfache:
\[ \dfrac{x^2}{y^2} = 9 \]
Das Verhältnis der Fläche von Quadrat A zur Fläche von Quadrat B ist \( 9:1 \).
Aufgabe 23
Mary möchte eine offene rechteckige Schachtel basteln. Sie beginnt mit einem Stück Pappe, dessen Länge 15 Zentimeter und Breite 10 Zentimeter beträgt. Dann schneidet sie 4 deckungsgleiche Quadrate mit Seitenlängen von 3 Zentimetern an den vier Ecken aus und faltet an den gestrichelten Linien, um die Schachtel zu formen. Wie groß ist das Volumen der Schachtel?
Die Länge der Schachtel ergibt sich aus (2 mal 3 cm abziehen):
\[
15 - 3 - 3 = 9 \text{ cm}
\]
\[ V = \text{Länge} \times \text{Breite} \times \text{Höhe} = 9 \times 4 \times 3 = 108 \text{ cm}^3 \]
Aufgabe 24
Von einer Ecke eines Rechtecks mit einer Breite von 10 Zentimetern und einer Länge von 20 Zentimetern wird ein kleines Quadrat mit der Seitenlänge \( 2x \) abgeschnitten. Schreibe einen Ausdruck in Termen von \( x \) für die Fläche der verbleibenden Form.
Lass uns zuerst die Gesamtfläche \( A \) des Rechtecks berechnen, bevor das Quadrat abgeschnitten wird:
\[
A = \text{Länge} \times \text{Breite} = 20 \times 10 = 200
\]
Aufgabe 25
Die Koordinaten von Punkt A sind (2, 3) und die Koordinaten von Punkt B sind (6, 7). Wie groß ist der Abstand \( d \) zwischen den Punkten A und B? (Verwende die Abstandsformel: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
Unter Verwendung der Abstandsformel:
\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
Setze \( A = (x_1, y_1) = (2, 3) \) und \( B = (x_2, y_2) = (6, 7) \) und setze in die oben angegebene Formel ein.
\[ d = \sqrt{ (6 - 2)^2 + (7 - 3)^2 } \]
\[ = \sqrt{ 4^2 + 4^2} \]
\[ = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} \]
\[ d = \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} \; \text{Einheiten} \]
Der Abstand zwischen Punkt A und B beträgt \( 4\sqrt{2} \) Einheiten.