Probleme mit quadratischen Funktionen und Lösungen

Quadratische funktionen Probleme mit detaillierten Lösungen werden zusammen mit grafischen Interpretationen der Lösungen dargestellt.

Überprüfen Sie Scheitelpunkt und Diskriminante quadratischer Funktionen

der Graph einer quadratischen Funktion in der Form geschrieben

f(x) = a x ² + b x + c

hat einen Scheitelpunkt am Punkt (h , k), wo h und k gegeben sind durch
h = - b / (2 a) und k = f(h) = c - b ² / (4 a)

Wenn a > 0, der Scheitelpunkt ist ein Minimalpunkt und der Minimalwert der quadratischen Funktion f ist gleich k. Dieser Minimalwert liegt bei x = h.
Wenn a < 0, der Scheitelpunkt ist ein Maximalpunkt und der Maximalwert der quadratischen Funktion f ist gleich k. Dieser Maximalwert tritt bei x = h.
Die quadratische Funktion f(x) = a x ² + b x + c kann wie folgt in Scheitelpunktform geschrieben werden:

f(x) = a (x - h) ² + k

Die Diskriminante D der quadratischen Gleichung: a x ² + b x + c = 0 ist gegeben durch D = b² - 4 a c
Wenn D = 0, hat die quadratische Gleichung a x ² + b x + c = 0 eine Lösung und der Graph von f(x) = a x ² + b x + c hat EINE x-Achsenabschnitt.
Wenn D > 0, hat die quadratische Gleichung a x ² + b x + c = 0 zwei reelle Lösungen und der Graph von f(x) = a x ² + b x + c ZWEI zwei x-Achsenabschnitte.
Wenn D > 0, hat die quadratische Gleichung a x ² + b x + c = 0 zwei komplexe Lösungen und der Graph von f(x) = a x ² + b x + c hat KEIN x-Achsenabschnitt.

Probleme mit Lösungen

Problem 1
Der Gewinn (in Tausend Dollar) eines Unternehmens wird angegeben durch.

P(x) = 5000 + 1000 x - 5 x²

Dabei ist x der Betrag (in Tausend Dollar), den das Unternehmen für Werbung ausgibt.
a) Ermitteln Sie den Betrag x, den das Unternehmen ausgeben muss, um seinen Gewinn zu maximieren.
b) Finden Sie den maximalen Gewinn Pmax.
Lösung für Problem 1

Funktion P, die den Gewinn angibt, ist eine quadratische Funktion mit dem führenden Koeffizienten a = - 5. Diese Funktion (Gewinn) hat einen Maximalwert bei x = h = - b / (2a )
x = h = -1000 / (2(-5)) = 100
Der maximale Gewinn Pmax, wenn x = 100 Tausend für Werbung ausgegeben wird, ist durch den Maximalwert der Funktion P gegeben
k = c - b ² / (4 a)
b)
Der maximale Gewinn Pmax, wenn x = 100 Tausend für Werbung ausgegeben wird, ergibt sich ebenfalls aus P(h = 100)
P(100) = 5000 + 1000 (100) - 5 (100) ² = 55000.
Wenn das Unternehmen 100 Tausend Dollar für Werbung ausgibt, ist der Gewinn maximal und beträgt 55000 Dollar.
Unten ist der Graph von P(x) dargestellt. Beachten Sie den Maximalpunkt, der den Scheitelpunkt darstellt, bei (100, 55000).

Problem 2
Ein Objekt wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit von V_o Fuß/Sek. vertikal nach oben geschleudert. Sein Abstand S(t) in Fuß über dem Boden ist gegeben durch

S(t) = -16 t ² + v_o t.
Finden Sie v_o so, dass der höchste Punkt, den das Objekt erreichen kann, 300 Fuß über dem Boden liegt.

Lösung für Problem 2

S(t) ist eine quadratische Funktion und der Maximalwert von S(t) ist gegeben durch
k = c - b ² /(4 a) = 0 - (v_o)² / (4(-16))
Dieser Maximalwert von S(t) muss 300 Fuß betragen, damit das Objekt eine maximale Entfernung von 300 Fuß über dem Boden erreicht.
- (v_o) ² / (4(-16)) = 300
wir lösen nun - (v_o) ² / (4(-16)) = 300 für v_o
v_o = 64 × 300 = 80 √3 Fuß/Sek.

Diagramm von S(t).

Problem 3
Finden Sie die Gleichung der quadratischen Funktion f, deren Graph durch den Punkt (2, -8) verläuft und x Achsenabschnitte bei (1, 0) und (-2, 0) hat.
Lösung für Problem 3

Da der Graph x Achsenabschnitte bei (1 , 0) und (-2 , 0) hat, hat die Funktion Nullen bei x = 1 und x = - 2 und kann geschrieben werden als folgt.
f(x) = a (x - 1)(x + 2)
Der Graph von f verläuft durch den Punkt (2 , -8), daraus folgt
f(2) = - 8
was zu führt
- 8 = a (2 - 1)(2 + 2)
Erweitern Sie die rechte Seite der obigen Gleichung und gruppieren Sie ähnliche Begriffe
-8 = 4 a
Lösen Sie die obige Gleichung nach a, um zu erhalten
a = - 2
Die Gleichung von f ist gegeben durch
f(x) = - 2 (x - 1)(x + 2)
Antwort prüfen
f(1) = 0
f(-2) = 0
f(2) = - 2 (2 - 1)(2 + 2) = - 8

Problem 4
Finden Sie Werte des Parameters m, sodass der Graph der quadratischen Funktion f gegeben durch ist

f(x) = x ² + x + 1 und der Graph der Geraden, deren Gleichung gegeben ist durch y = m x
haben:
a) 2 Schnittpunkte,
b) 1 Schnittpunkt,
c) keine Schnittpunkte.
Lösung für Problem 4

Um die Schnittpunkte zu finden, müssen Sie gleichzeitig das Gleichungssystem lösen
y = x ² + x + 1
y = m x
Ersetzen Sie y in der ersten Gleichung durch m x, um zu erhalten
mx = x ² + x + 1
Schreiben Sie die obige quadratische Gleichung in Standardform.
x ² + x (1 - m) + 1 = 0
Finden Sie die Diskriminante D der obigen Gleichung.
D = (1 - m) ² - 4(1)(1)
D = (1 - m) ² - 4
a)
Damit der Graph von f und der der Geraden zwei Schnittpunkte haben, muss D positiv sein, was zu führt
(1 - m) ² - 4 > 0
Lösen Sie die obige Ungleichung, um einen Lösungssatz für m in den Intervallen zu erhalten
(- ∞ , -1) U (3 , + ∞)
b)
Damit der Graph von f und der der Geraden einen Schnittpunkt haben, muss D Null sein, was zu führt
(1 - m) ² - 4 = 0
Lösen Sie die obige Gleichung, um 2 Lösungen für m zu erhalten.
m = -1
m = 3
c)
Damit der Graph von f und der der Geraden keine Schnittpunkte haben, muss D negativ sein, was zu führt
(1 - m) ² - 4 < 0
Lösen Sie die obige Ungleichung, um einen Lösungssatz für m im Intervall zu erhalten
(-1 , 3)
Die Graphen von y = 3 x, y = - x und der der quadratischen Funktion f(x) = x ² + x + 1 sind in der folgenden Abbildung dargestellt.

Problem 5
Die quadratische Funktion C(x) = a x ² + b x + c stellt die Kosten in Tausend Dollar für die Herstellung von x Artikeln dar. C(x) hat einen Mindestwert von 120 Tausend für x = 2000 und die Fixkosten betragen 200 Tausend. Finden Sie die Koeffizienten a,b und c.
Lösung für Problem 5

Funktion C ist eine quadratische Funktion. Sein Minimalpunkt, der als (2000,120) angegeben ist, ist der Scheitelpunkt des Graphen von C. Daher können wir C(x) wie folgt in Scheitelpunktform schreiben
C(x) = a (x - 2000) ² + 120
Die Fixkosten sind der Wert von C(x), wenn x = 0. Daher
C(0) = a (0 - 2000) ² + 120 = 200
Auflösen nach a
a = 80 / 2000 ² = 0,00002
Wir entwickeln C(x) und identifizieren die Koeffizienten a, b und c.
C(x) = 0,00002 (x - 2000) ² + 120 = 0,00002 x ² - 0,08 x + 200
a = 0,00002, b = -0,08 und c = 200.
Der Graph von C(x) ist unten dargestellt und wir können überprüfen, dass der Minimalpunkt bei (2000,120) liegt und die Fixkosten C(0) = 200 sind.

Problem 6
Finden Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f(x) = - x ² + x - 2 bei x = 1.
Lösung für Problem 6

Es gibt mindestens zwei Methoden, um die obige Frage zu lösen.
Methode 1
Die Gleichung der Tangente habe die Form
y = m x + b
und wir müssen daher m und b finden. Die Tangente verläuft durch den Punkt
(1 , f(1)) = (1 , -2)
Daher die Gleichung in m und b
- 2 = m (1) + b oder m + b = -2
Um den Tangentenpunkt der Geraden und des Graphen der quadratischen Funktion zu finden, müssen wir das System lösen
y = m x + b und y = - x ² + x - 2
Ersetzen Sie y durch m x + b in der zweiten Gleichung des Systems, um zu erhalten
m x + b = - x ² + x - 2
Schreiben Sie die obige Gleichung in Standardform
- x ² + x (1 - m) - 2 - b = 0
Damit die Linie den Graphen der quadratischen Funktion tangiert, muss die Diskriminante D der obigen Gleichung gleich Null sein. Daher
D = b ² - 4 a c = (1 - m)² - 4 (-1) (- 2 - b) = 0
was gibt
(1 - (- 2 - b) )² + 4 (- 2 - b) = 0
Erweitern, vereinfachen und schreiben Sie die obige Gleichung in Standardform
b² 2 b + 1 = 0
(b + 1)² = 0
Nach b auflösen
b = - 1
Finde m
m = - 2 - b = -1
Die Gleichung der Tangente ist gegeben durch
y = - x - 1
Die grafische Interpretation (oder Überprüfung) wird unten mit dem Diagramm von y = - x - 1 tangential zum Diagramm von f(x) = - x ² + x - 2 bei x = 1 gezeigt.

Methode 2
Die zweite Methode basiert auf dem in der Analysis untersuchten Konzept der Ableitung; siehe Frage 4 in Infinitesimalrechnungsfragen mit Antworten (5)

Fragen mit Lösungen

Frage 1
Finden Sie die Gleichung der quadratischen Funktion f, deren Graph x-Achsenabschnitte bei (- 1 , 0) und (3 , 0) und einen y-Achsenabschnitt bei (0 , - 4) hat.

Frage 2
Finden Sie Werte des Parameters c, sodass die Graphen der quadratischen Funktion f gegeben durch sind
f(x) = x ² + x + c
und der Graph der Geraden, deren Gleichung durch y = 2 x gegeben ist
haben:
a) 2 Schnittpunkte,
b) 1 Schnittpunkt,
c) keine Schnittpunkte.

Lösungen zu den oben genannten Fragen

Lösung zu Frage 1

Die x-Achsenabschnitte des Graphen von f sind die Nullstellen von f(x). Daher hat f(x) die Form
f(x) = a (x + 1)(x - 3)
Wir müssen jetzt den Koeffizienten a mithilfe des y-Achsenabschnitts ermitteln
f(0) = a(0 + 1)(0 - 3) = - 4
Auflösen nach a
a = 4 / 3
Daher
f(x) = (4 / 3) (x + 1)(x - 3)

Lösung zu Frage 2

Um die Koordinaten des Schnittpunkts der Graphen von f(x) = x ² + x + c zu finden und y = 2 x, wir müssen das System lösen
y = x ² + x + c und y = 2 x
was durch Substitution die Gleichung ergibt
x ² + x + c = 2 x
Formulieren Sie die obige Gleichung in Standardform um
x ² - x + c = 0
Finden Sie die Diskriminante D
D = 1 - 4 c
Fazit
Wenn D positiv ist oder c < 1 / 4 , die beiden Graphen schneiden sich in zwei Punkten.
Wenn D gleich 0 oder c = 1 / 4 ist, schneiden (berühren) sich die beiden Graphen an einem Punkt.
Wenn D negativ ist oder c > 1 / 4 , die beiden Graphen haben keinen Schnittpunkt.

Weitere Referenzen und Links zu quadratischen Funktionen

Mathefragen mit Antworten (13): Quadratische Funktionen.
Vertex- und Intercepts-Parabel-Probleme.
Scheitelpunkt und Achsenabschnitte quadratischer Funktionen finden – Rechner: Ein Applet zur Lösung der Berechnung des Scheitelpunkts sowie von x und y Achsenabschnitte des Graphen einer quadratischen Funktion.
Quadratische Funktionen (allgemeine Form).
Quadratische Funktionen (Standardform).
Quadratische Funktionen grafisch darstellen.
Löser zum Analysieren und Zeichnen einer quadratischen Funktion