Tutorial zu diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Tutorial zu diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit Beispielen und detaillierten Lösungen.

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung

Beispiel 1

Lösung zu Beispiel 1

• a) Wir erstellen zunächst ein Baumdiagramm, um alle möglichen Verteilungen von Jungen (B) und Mädchen (G) in der Familie darzustellen.
  
  
• Unter der Annahme, dass alle oben genannten Möglichkeiten gleich wahrscheinlich sind, sind die Wahrscheinlichkeiten:
  P(X=2) = P(BB) = 1 / 4
  P(X=1) = P(BG) + P(GB) = 1 / 4 + 1 / 4 = 1 / 2
  P(X=0) = P(GG) = 1 / 4
  
• Die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung von X ist gegeben durch
  

  X	P(X)
  0	1 / 4
  1	1 / 2
  2	1 / 4

  
  
• Beachte das
  ∑ P(X) = 1
  
• b) Der Mittelwert µ der Zufallsvariablen X ist definiert durch
  µ = ∑ X P(X)
  = 0 * (1/4) + 1 * (1/2) + 2 * (1/4) = 1
  
• Die Standardabweichung σ der Zufallsvariablen X ist definiert durch
  σ = √ [ ∑ (X- µ) ² P(X) ]
  = √[ (0 - 1) ² * (1/4) + (1 - 1) ² * (1/2) + (2 - 1) ² * (1/4) ]
  = 1 / √ (2)

Beispiel 2

Lösung zu Beispiel 2

• a) Wenn die beiden ausgeglichenen Würfel gewürfelt werden, gibt es 36 gleich wahrscheinliche mögliche Ergebnisse, wie unten gezeigt.
  
  
• Die möglichen Werte von X sind: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 und 12.
  
• Die möglichen Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich, daher sind die Wahrscheinlichkeiten P(X) gegeben durch
  P(2) = P(1,1) = 1 / 36
  P(3) = P(1,2) + P(2,1) = 2 / 36 = 1 / 18
  P(4) = P(1,3) + P(2,2) + P(3,1) = 3 / 36 = 1 / 12
  P(5) = P(1,4) + P(2,3) + P(3,2) + P(4,1) = 4 / 36 = 1 / 9
  P(6) = P(1,5) + P(2,4) + P(3,3) + P(4,2) + P(5,1)= 5 / 36
  P(7) = P(1,6) + P(2,5) + P(3,4) + P(4,3) + P(5,2) + P(6,1)
  = 6 / 36 = 1 / 6
  P(8) = P(2,6) + P(3,5) + P(4,4) + P(5,3) + P(6,2) = 5 / 36
  P(9) = P(3,6) + P(4,5) + P(5,4) + P(6,3) = 4 / 36 = 1 / 9
  P(10) = P(4,6) + P(5,5) + P(6,4) = 3 / 36 = 1 / 12
  P(11) = P(5,6) + P(6,5) 2 / 36 = 1 / 18
  P(12) = P(6,6) = 1 / 36
  
• Die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung von X ist gegeben durch
  

  X	P(X)
  2	1 / 36
  3	1 / 18
  4	1 / 12
  5	1 / 9
  6	5 / 36
  7	1 / 6
  8	5 / 36
  9	1 / 9
  10	1 / 12
  11	1 / 18
  12	1 / 36

  
  Das Diagramm der Wahrscheinlichkeit der Summe zweier Würfel ist unten dargestellt.
  
  
  
  
• Überprüfen Sie das als Übung
  ∑ P(X) = 1
  
• b) Der Mittelwert von X ist gegeben durch
  µ = ∑ X P(X)
  = 2*(1/36)+3*(1/18)+4*(1/12)+5*(1/9)+6*(5/36)
  +7*(1/6)+8*(5/36)+9*(1/9)+10*(1/12)
  +11*(1/18)+12*(1/36)
  = 7
  
• Die Standardabweichung von ist gegeben durch
  µ = σ √ [ ∑ (X- µ) ² P(X) ]
  = √ [ (2-7)²*(1/36)+(3-7)²*(1/18)
  +(4-7)²*(1/12)+(5-7)²*(1/9)+(6-7)²*(5/36)
  +(7-7)²*(1/6)+(8-7)²*(5/36)+(9-7)²*(1/9)
  +(10-7)²*(1/12)+(11-7)²*(1/18)+(12-7)²*(1/36) ]
  = 2.41

Beispiel 3

Lösung zu Beispiel 3

• Das Baumdiagramm, das alle möglichen Ergebnisse beim Werfen von drei Münzen darstellt, ist unten dargestellt.H steht für Kopf und T für Zahl.
  
  
• Unter der Annahme, dass alle drei Münzen identisch sind und alle möglichen Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, sind die Wahrscheinlichkeiten:
  P(X=0) = P(TTT) = 1 / 8
  P(X=1) = P(HTT) + P(THT) + P(TTH)
  = 1 / 8 + 1 / 8 + 1 / 8
  = 3 / 8
  P(X=2) = P(HHT) + P(HTH) + P(THH)
  = 1 / 8 + 1 / 8 + 1 / 8
  = 3 / 8
  P(X=3) = P(HHH) = 1 / 8
  
• Die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung von X ist gegeben durch
  

  X	P(X)
  0	1 / 8
  1	3 / 8
  2	3 / 8
  3	1 / 8

  
  
• Beachten Sie, dass
  ∑ P(X) = 1
  
• Wir berechnen nun den Mittelwert µ der Zufallsvariablen X wie folgt
  µ = ∑ X P(X)
  = 0 * (1/8) + 1 * (3/8) + 2 * (3/8) + 3 * (1/8) = 1.5
  
• Wir berechnen nun die Standardabweichung σ der Zufallsvariablen X wie folgt
  σ = √ [ ∑ (X- µ) ² P(X) ]
  = √ [ (0 - 1.5) ² * (1/8) + (1 - 1.5) ² * (3/8) + (2 - 1.5) ² * (3/8) + (3 - 1.5) ² * (1/8) ]
  = 0.87 (auf 2 Dezimalstellen gerundet)

Weitere Referenzen und Links